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1 BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ CURSO DE ACTUALIZACIÓN PARA PROFESORES ECONOMETRÍA ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS (MCO) Profesora: Donita.

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1 1 BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ CURSO DE ACTUALIZACIÓN PARA PROFESORES ECONOMETRÍA ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS (MCO) Profesora: Donita Rodríguez. Agosto 2011

2 2 ESQUEMA 1.Metodología de Estimación MCO: MRLC2. 2.Metodología de Estimación MCO: MRLCK. 3.Características Muestrales de los estimadores MCO. 4.Regresión Ortogonal. 5.Estimación MCO como Proyección. 6.Aplicaciones

3 3 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2 Dado el modelo de regresión poblacional y el estimado: se definen los residuos de cualquier línea ajustada como: Cada valor observado de la variable endógena puede expresarse como:

4 4 P4P4 En la práctica sólo observamos los puntos P. P3P3 P2P2 P1P1 7 Y X X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2

5 5 P4P4 P3P3 P2P2 P1P1 8 b1b1 Y X X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 Podemos usar los puntos P para dibujar una línea recta que sea una aproximación de Y = X. Esta línea estimada será Y = b 1 + b 2 X, donde b 1 es un estimador de 1 y b 2 es un estimador de 2.

6 6 P4P4 P3P3 P2P2 P1P1 R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 9 b1b1 Y X X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2 La linea se llama modelo ajustado y los valores de Y estimados se llaman valores ajustados de Y. Se representan por la altura de los puntos R.

7 7 P4P4 X X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 P3P3 P2P2 P1P1 R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 10 b1b1 Y 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2 La discrepancia entre el valor observado y el valor ajustado de Y se conoce como residuo.

8 8 P4P4 P3P3 P2P2 P1P1 R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 b1b Y X X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2 Importante: Note que el residuo no es igual al término de perturbación.

9 9 P4P4 P3P3 P2P2 P1P1 12 Q2Q2 Q1Q1 Q3Q3 Q4Q4 1 b1b1 Y X X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2 El término de perturbación en cada observación es el responsable de la divergencia entre el valor observado y el componente no aleatorio de la verdadera relación.

10 10 P4P4 P3P3 P2P2 P1P1 R1R1 R2R2 R3R3 R4R b1b1 Y X X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2 El residuo es la discrepancia entre el valor observado y el valor ajustado de la variable endógena.

11 METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2 P4P4 P3P3 P2P2 P1P1 R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 1 b1b1 Y X X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 Si la regresión es buena, los residuos y los valores del término de perturbación serán similares (ver primera y segunda obs.), pero son conceptualmente distintos.

12 12 P4P4 15 Q4Q4 u4u4 1 b1b1 Y X X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2 Las dos rectas serán analizadas en el curso. Cada una permite la descomposición del valor de Y. Esta descomposición se ilustrará con la cuarta observación.

13 13 P4P4 16 Q4Q4 u4u4 1 b1b1 Y X X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2 Usando la relación teórica, Y puede descomponerse en un componente no estocástico y un componente aleatorio.

14 METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2 P4P4 Q4Q4 u4u4 1 b1b1 Y X X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 Es una descomposición teórica porque desconocemos los valores de β 1, β 2 o los valores del término de perturbación.

15 15 P4P4 18 e4e4 R4R4 1 b1b1 Y X X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2 La otra descomposición es en referencia a la línea ajustada. En cada observación, el valor observado de Y es igual al valor ajustado de Y más el residuo. Esta es una descomposición operativa que se utilizará para usos prácticos.

16 16 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2 El Principio de Mínimos Cuadrados consiste en: Condiciones de Primer Orden. Ecuaciones Normales:

17 23 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2 - Primera condición de primer orden: - Segunda condición de primer orden:

18 23 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2

19 34 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2 Demostración de Resultados Importantes: Análogamente:

20 20 Estimador MCO de beta1 Estimador MCO de beta2: Estos estimadores replican los poblacionales (normalidad): 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2

21 21 Estimador de la varianza del término de perturbación. –No se puede estimar a partir de una muestra de valores de u, pues depende de los parámetros poblacionales no observados beta1 y beta2. –Puede obtenerse un estimado a partir de los errores de estimación. El estimador es: 1. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLC2

22 22 2. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLCK El modelo de regresión poblacional de k variables, para una observación o período de tiempo, se denota por: y el modelo de regresión estimado:

23 23 Matricialmente, para las n observaciones: Entonces, dado, se tiene: 2. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLCK

24 24 Suma de los cuadrados de los residuos o errores de estimación: De acuerdo al Principio de Mínimos Cuadrados Ordinarios, se minimiza SCR, lo cual implica que se cumpla las C.P.O. y C.S.O: 2. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLCK

25 25 Las Ecuaciones Normales se obtienen a partir de las Condiciones de Primer Orden (C.P.O.): 2. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLCK

26 26 En el modelo de regresión lineal clásico de k variables se obtiene k ecuaciones normales: una para cada parámetro especificado en la ecuación de regresión. A partir de la CPO se obtiene el vector de estimadores de MCO del MRLCK: Supuesto de rango completo por columnas es importante! Para derivar el estimador MCO sólo se necesita que XX tenga inversa y ello se cumple sólo si se cumple el SC METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLCK

27 27 Estimador de la Varianza s 2. Es razonable obtener el estimador a partir de la suma de cuadrados de los residuos: Donde M es una matriz simétrica e idempotente; además: 2. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLCK

28 28 Con estas propiedades, se tiene que: Elevando al cuadrado los residuos: Aplicando la esperanza matemática a esta expresión y aprovechando las propiedades de la traza obtenemos: 2. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLCK

29 29 2. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLCK

30 30 Así, el estimador de la varianza del término de perturbación, y de la regresión, es: El error estándar de la estimación o error estándar de la regresión, s, es la desviación estándar de los valores de Y alrededor del plano de regresión. 2. METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN MCO: MRLCK

31 31 Presentan tres principales características asociadas a las EN: –La línea de regresión estimada pasa por los valores medios muestrales de las variables. –El promedio observado es igual al promedio estimado: –Los residuos de MCO tienen correlación cero con la variable independiente (en la muestra). –No existe correlación muestral entre los valores estimados de la variable endógena y los residuos. 3. CARACTERÍSTICAS MUESTRALES DE MCO

32 32 Para el modelo de regresión clásico de k variables: La ecuación de regresión o hiperplano de regresión pasa por los puntos medios del espacio k dimensional. El promedio observado es igual al promedio estimado: La correlación muestral de los regresores con los residuos es cero. Los valores estimados de la variable dependiente no están correlacionados con los residuos. 3. CARACTERÍSTICAS MUESTRALES DE MCO

33 33 Sea el siguiente MRLC3: Los estimadores MCO son: 6. REGRESIÓN ORTOGONAL

34 34 Si se estima el modelo de dos variables: Los estimadores MCO son: Además: Si los regresores no están correlacionados (ortogonales), las pendientes del modelo múltiple son iguales a las pendientes de regresiones individuales. 4. REGRESIÓN ORTOGONAL

35 35 M es la Matriz Generadora de Residuos: M (nxn), simétrica, idempotente, dim(M)=tr(M). M es la Matriz Aniquiladora: la proyección de X sobre X es perfecta y el residuo es cero. P es la Matriz de Proyección sobre el espacio columna X P (nxn), simétrica, idempotente, dim(P)=tr(P). La proyección de X sobre X es igual a X: 5. ESTIMACIÓN MCO COMO PROYECCIÓN

36 36 Además, PM = MP = 0. Entonces, la estimación por MCO particiona y en dos componentes ortogonales: Teorema de Pitágoras: Suma de Cuadrados 5. ESTIMACIÓN MCO COMO PROYECCIÓN

37 37 Geometría de MCO: 5. ESTIMACIÓN MCO COMO PROYECCIÓN

38 38 Geometría de MCO: 5. ESTIMACIÓN MCO COMO PROYECCIÓN X1X1

39 39 Geometría de MCO: 5. ESTIMACIÓN MCO COMO PROYECCIÓN X1X1 X2X2

40 40 Geometría de MCO: 5. ESTIMACIÓN MCO COMO PROYECCIÓN X1X1 X2X2 y

41 41 Geometría de MCO: 5. ESTIMACIÓN MCO COMO PROYECCIÓN X1X1 X2X2 y Xb

42 42 Geometría de MCO: 5. ESTIMACIÓN MCO COMO PROYECCIÓN X1X1 X2X2 y e Xb

43 43 Geometría de MCO: 5. ESTIMACIÓN MCO COMO PROYECCIÓN X1X1 X2X2 y e y* Xb

44 44 Geometría de MCO: 5. ESTIMACIÓN MCO COMO PROYECCIÓN X1X1 X2X2 Xb y e y* Xb*

45 45 A través del uso de matrices : caso de dos variables 5. ESTIMACIÓN MCO COMO PROYECCIÓN Se obtiene una línea de regresión

46 46 A través del uso de matrices : caso de tres variables 5. ESTIMACIÓN MCO COMO PROYECCIÓN Se obtiene un plano de regresión

47 1 6. APLICACIÓN: Estimación del salario por hora Earnings: salario por hora S: años de educación Mayores observaciones para eduación básica y secundaria. Pocas observaciones para mayores años de estudio en la muestra analizada.

48 1 6. APLICACIÓN: Estimación del salario por hora Dependent Variable: EARNINGS Method: Least Squares Date: 07/31/11 Time: 22:59 Sample: Included observations: 540 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C S R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

49 1 6. APLICACIÓN: Estimación del salario por hora Dependent Variable: EARNINGS Method: Least Squares Date: 07/31/11 Time: 22:59 Sample: Included observations: 540 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C S R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

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