INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR 5 Semejanza INTERNET LECTURA INICIAL ESQUEMA ACTIVIDAD.

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1 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR 5 Semejanza INTERNET LECTURA INICIAL ESQUEMA ACTIVIDAD Las transformaciones que mantienen la forma y las proporciones se llaman semejanzas. 6

2 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR La proporción y la forma Busca en la web Leonardo da Vinci El número de oro en el arte y la naturaleza

3 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Esquema de contenidos Semejanza Construcción de triángulos Teorema de Thales Semejanza en triángulos Criterios Semejanza en áreas y volúmenes Semejanza en triángulos rectángulos Aplicaciones Cálculo de distancias

4 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales. Semejanza Una semejanza transforma una figura en otra figura semejante, y a la razón de proporcionalidad que guardan sus dimensiones se le llama razón de semejanza. Figuras semejantes Figuras no semejantes SIGUIENTE

5 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR La forma más sencilla es el método de la proyección. Construcción de figuras semejantes Fijamos un punto O. Trazamos rectas que pasen por O y por los vértices de la figura original. Los vértices de la nueva figura están alineados con O y con los vértices de la original, y sus lados serán paralelos a los de la figura original. SIGUIENTE

6 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Teorema de Thales Comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como teorema de Thales. Teorema de Thales Si tres o más rectas paralelas a, b y c son intersecadas por dos transversales r y s, y los segmentos de las rectas transversales determinados por las paralelas son proporcionales. SIGUIENTE

7 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Pirámide Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Teorema de Thales Bastón SIGUIENTE

8 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Rayos del sol Pirámide Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Teorema de Thales SIGUIENTE

9 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Rayos del sol Pirámide Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Teorema de Thales S (sombra pirámide) s (sombra bastón) SIGUIENTE

10 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Rayos del sol Pirámide Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Teorema de Thales H S (sombra pirámide) s (sombra bastón) h SIGUIENTE

11 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Rayos del sol Pirámide Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Podemos establecer la proporción Teorema de Thales H S (sombra pirámide) s (sombra bastón) h SIGUIENTE

12 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Ejemplo: Calcular la medida del segmento x. Teorema de Thales Ordenamos los datos en la proporción, según el teorema de Thales. SIGUIENTE

13 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Dividimos un segmento AB en tres partes iguales. Aplicaciones del teorema de Thales 1. Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación. 2. Dibujamos sobre ella, a partir de A, 3 segmentos iguales. 3. Unimos el extremo del último segmento con el punto B, y trazamos paralelas a esa recta desde las demás divisiones. Por el teorema de Thales, los segmentos en los que queda dividido el segmento AB son proporcionales a los dibujados sobre la recta, y por lo tanto, son iguales entre sí.

14 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Dos triángulos son semejantes cuando verifican las siguientes condiciones: - Sus lados son proporcionales: - Sus ángulos son iguales: Semejanza de triángulos SIGUIENTE

15 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. Criterios de semejanza de triángulos SIGUIENTE

16 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. Criterios de semejanza de triángulos PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales. SIGUIENTE

17 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. Criterios de semejanza de triángulos SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales. PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales. SIGUIENTE

18 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. Criterios de semejanza de triángulos SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales. PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales. TERCER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. SIGUIENTE

19 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Los triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen igual uno de sus ángulos agudos. Semejanza de triángulos rectángulos Cualquier triángulo obtenido trazando una recta perpendicular sobre uno de sus lados es semejante al primero. Si trazamos la altura de un triángulo rectángulo sobre su hipotenusa obtenemos dos triángulos rectángulos semejantes al primero. SIGUIENTE

20 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Teorema del cateto Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos El cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de este sobre la hipotenusa. El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos. Teorema de la altura SIGUIENTE

21 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm 3 cm SIGUIENTE

22 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm 3 cm Por Pitágoras: SIGUIENTE

23 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm 3 cm Por Pitágoras: Aplicando el teorema del cateto: cm 8,1 5 9 53 2,3 5 16 54 22 22               nnanb m mamc SIGUIENTE

24 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm 3 cm Por Pitágoras: Aplicando el teorema del cateto: Aplicando el teorema de la altura: cm 8,1 5 9 53 2,3 5 16 54 22 22   nnanb mmamc SIGUIENTE

25 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Calcular la altura de la torre. Los triángulos siguientes son semejantes por ser triángulos rectángulos y tener un ángulo común. Por lo tanto, la altura de la torre es 8,12 metros.

26 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Semejanza de áreas y volúmenes Si dos figuras planas son semejantes, con razón de semejanza r, sus áreas serán proporcionales y la razón de la proporción es r 2. SIGUIENTE

27 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Semejanza de áreas y volúmenes Si dos cuerpos son semejantes, con razón de semejanza r, sus volúmenes serán proporcionales y la razón de la proporción es r 3.

28 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Enlaces de interés Teselar IR A ESTA WEB Mosaicos IR A ESTA WEB

29 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 5: Semejanzas ANTERIOR SALIR Actividad: El teorema de Thales Dirección: http://www.santillana.cl/mat2/unidad4b.htmhttp://www.santillana.cl/mat2/unidad4b.htm En la sección chilena de la Editorial Santillana, en esta actividad del teorema de Tales describen las relaciones que se observan en los segmentos obtenidos al intersectar rectas paralelas con rectas secantes. Para desarrollarla, sigue este enlace. enlace INICIO