Introducción a la Informática Introducción a los Modelos Introducción a los Modelos Matemáticos Discretos Modelo Matemático: Modelo en que se establecen.

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1 Introducción a la Informática Introducción a los Modelos Introducción a los Modelos Matemáticos Discretos Modelo Matemático: Modelo en que se establecen correspondencias entre los valores de las variables del modelo y las magnitudes, estados o propiedades.

2 Introducción a la Informática Introducción a Modelos
Y = F(X, E) E = T (X,E) E X Y Modelo matemático de respuesta inmediata

3 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Matemáticos
Mts. Mts. 29,6 22,8 15,6 8 Seg. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Seg. Modelo a intervalos discretos Modelos a intervalos continuos

4 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
X[t] Y[t] Variables a intervalos de tiempo discretos T = 0,1,2, El tiempo como una variable discretea Conjuntos de variables que toman valores o enteros X[t] variables que describen las entradas al instante t Y[t] variables que describen las salidas en el instante t E[t] variables que describen el estado al instante t Y[t] = F(X[t],E[t]) las salidas en función de las entradas y el estado del sistema si se considera una respuesta inmediata o instantánea. Y[t+1] = F(X[t],E(t) las salidas en función de las entradas y el estado del sistema si se considera un tiempo de respuesta de un intervalo. E[t+1] = T(X[t],E[t])

5 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Matemáticos
X[t], Y[t] coordenadas Vx[t], Vy[t] velocidades proyectadas en ejes x e y g aceleración de gravedad Y Vy Vx m * g X

6 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
Método de Desarrollo de Modelos. Descripción gráfica y narrativa del sistema a modelar Identificación de variables. Conjunto de valores para la variables. Formular de relaciones variables. Definición de escenarios. Simulación. Ajuste de modelos

7 Introducción a la Informática Introducción a los Modelos Modelos Matemáticos Conjuntos de números
Números naturales. Enteros Racionales Reales Imaginarios. Complejos.

8 Ejemplo: La edad de una persona
Introducción a la Informática Introducción a los Modelos Modelos Matemáticos Conjuntos de números Números Naturales N = {0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…} Ejemplo: La edad de una persona Números Enteros. Z = {…, -11, -10, -9,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11,…} Ejemplo: La altura de una ciudad en relación al nivel del mar

9 Introducción a la Informática Introducción a los Modelos Modelos Matemáticos Conjuntos de números
Números racionales. ½, 2/4, 3/6 Ejemplo: El peso de una cantidad de alimento. Número irracional Pi = El conjunto de los números racionales e irracionales forman el conjunto de los número reales.

10 Introducción a la Informática Introducción a los Modelos Introducción a Modelos Matemáticos Discretos Ejemplo de Variable, Constante y Parámetro Variable Const. Param. Mes Producc. Mat. Imp. ($) Costo mat. importada Precio Dolar Enero 2000 0.25 500 1900 Diciembre 5000 1250

11 Introducción a la Informática Introducción a los Modelos Introducción a Modelos Matemáticos Discretos Ejemplo de Variable, Constante y Parámetro Variable Const. Param. Modelo Precio Intereses Número Meses Modelo 1 0.25 12,24,36 Modelo 2 Modelo 3

12 Introducción a la Informática Introducción a los Modelos Introducción a Modelos Matemáticos Discretos Conceptos de Escenario y Simulación Escenario: Caracterización del experimento a simular. Objetivo de la simulación: La simulación tiene como principal objetivo, la producción, es decir, puede mostrar la que sucedera en un sistema real cuando se realicen determinados cambios bajo determinados cambios.

13 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos Ejemplo No. 1 1. Descripción narrativa del sistema Velocidad inicial eje X Velocidad eje X [t] Velocidad inicial eje X Velocidad eje Y [t] Proyectil Gravedad

14 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos Ejemplo No. 1 2. Identificar las variables. X[t], Y[t] coordenadas Vx[t], Vy[t] velocidades proyectadas en ejes x e y g aceleración de gravedad

15 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos Ejemplo No. 1 3. Conjunto de valores para las variables X,Y Conjunto de los número racionales. Vx, Vy = Conjunto de los número naturales. G = Gravedad (Constante) Conjunto de los número naturales

16 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos Ejemplo No. 1 4. Formular relaciones entre la variables. Vx[t+1] = Vx[t] No hay roce ni fuerza que se oponga sobre el eje x, luego la velocidad es constante. Vy[t+1] = Vy[t] – g*t La velocidad sobre el eje y crece o decrece según la aceleración de gravedad “g”. Esta es una aproximacióon si “dt” tiende a cero. X[t+1] = X[t] + Vx[t]*dt Cambio de posición en eje X. Y[t+1] = Y[t] + Vy[t]*dt Cambio de posición en eje, éstas son aproximacione válidas si “dt” es muy pequeño.

17 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
1. Descripición gráfica del problema Alumnos que ingresan Alumnos en cada año. Alumnos que egresan Alumnos que abandonan Modelo de un año Año 2 Año 1 Año3 Año4 Año5 Modelo para los 5 años

18 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
AP[i-1,t-1] AP[i,t] AL[i,t] AB[i,t]

19 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
2. Identificación de las variables (año de estudio “i” en al año calendario “t”). AL[i,t] Alumnos cursan año de estudios i en año t IN[1,t] Alumnos que ingresan al primer año de estudios en t. AB[i,t] Alumnos que abandonan la carrera el año t, estando en años de estudios i AP[i,t] Alumnos que aprueban el año de estudios i en año t RE [i,t] Alumnos que repiten el año de estudios i en año t

20 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
3. Conjunto de valores para la las variables AL[i,t]: Conjunto de los números naturales. IN[1,t]: Conjunto de los números naturales. AB[i,t]: Conjunto de los números naturales. AP[i,t]: Conjunto de los números naturales. RE [i,t] Conjunto de los números naturales.

21 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
4. Formular relaciones entre las variables. HIPOTESIS: ABAND [i]: Tasa de abandono en año de estuidos i APROB [i]: Tasa de aprobación en año de estudios i REPET [i]: Tasa de repitencia en años de estudios i

22 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
4. Establecer relaciones entre las variables (Cont.). a) AP[i,t] = APROB[i]*AL[i,t] Alum. que aprueban el año de estudios en año t b) AB[i,t] = ABAND[i]*AL[i,t] Alum. que abandonan la carrera en año t, cursando el año de estudios i. c) RE[i,t] = REPET[I]*AL[i,t] Alum. que repiten el curso i (año de estudios) el año t d) AL[1,t] = IN[t]+RE[1,t-1] Alum. Del primer año de estudios son los que ingresan más los que repitieron el añon anterior. e) AL[i,t] = AP[i-1,t-1] +RE[i,t-1] Alumnos del año de estudios i, son los que aprobaron el curso i-1 anterior al año anterior más los que repitieron el curso i el año anterior. AL[i,t] = AP[i-1,t-1] RE[i,t-1] Los alumnos del año de est. I, son los que aprob. El curso i-1 anterior más los que reptitieron el curso i en el año anterior

23 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos – Simulación - Ejemplos
5.Definición de escenario. Año de estudio 1 2 3 4 5 % de repitencia 20 15 10 70 80 85

24 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
1. Descripción gráfica y narrativa del sistema a modelar. Deuda Total: M US$ Exportaciones: M US$ Importaciones: M $ Plazo de contratación de la deuda: Entre 5 y 20 años. Tasa de interés: 8% y 16% Monto a pagar este año: M$ en intereses y M$ en amortizaciones Capital disponible: M$

25 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
1. Descripción gráfica y narrativa del sistema a modelar (Cont.) Ingresos exporataciones Pagos Otros paises Gastos importaciones País Bancos

26 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
2 y 3. Identificación de las variables y parámetros y conjunto de valores que puede tomar las variables. DEUDA [t] Deuda total al año t. INTDE [t] Intereses a pagar por la deuda en año t. AMORT [t] Amortización a pagar por la deuda en año t EXPTR [t] Valor de exportaciones tradicionales en año t. EXPNO [t] Valor de exportaciones no tradicionales en año t. IMPORT [t] Valor de importaciones en año t

27 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
2 y 3. Identificación de variables y parámetros y conjunto de valores que puede tomar (Cont). I tasa de interés de deuda, a negociar (6% a 9%). P fracción del valor de las exportaciones que se dedica a pagos de la deuda externa (10% a 20%). AT tasa anual de invremento de exportaciones tradicionales (0,5% a 1%). AN tasa anual de incremento no tradicionales (3% a 6%). Todas las variables toman valores de los conjunto de números reales.

28 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
3. Formulación de relaciones entre variables: EXPTR[t+1] = EXPTR[t+1] + AT*EXPTR[t] Crecimiento de exportaciones no tradicionales. EXPNO[t+1] = EXPNO[t] + AN*EXPNO[t] INTDE[t] = I*DEUDA[t] Interés de pagar por la deuda en año t. AMORT[t] = P*(EXPTR[t]+EXPNO[t] – INTDE[t] Se amortiza lo disponible luego de pagar los intereses siempre se paga una fracción P de las exportaciones. Si no se cubren los intereses, la amortización es negativa e implica capitalización de intereses

29 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
Formulación de relaciones entre variables (Cont.): IMPORT[t] = (1-P)*(EXPTR[t]+EXPNO[t]) Las importaciones son una fracción de las exportaciones. DEUDA[t+1] = DEUDA[t] – AMORT[t] La deuda se amortiza cada año t.

30 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
5. Definición de escenarios: Condiciones iniciales EXPTR[1] = 4200; EXPONO[1] = 1800; DEUDA[1] = Parámetros: I = 0,06 (6%); AN = 0,06 (6%); AT 0 0,01 (1%) P = 0,2 (20%) Variables exógenas no hay.

31 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
1. Descripción gráfica del sistema a modelar. C[t] Población de conejos en el periodo t L[t] Población de lobos en el periodo t CL[t] Conejos que se comen los lobos en el periodo t CL[t] Conejos cazados Conejos C[t] Lobos L[t] Caza L[t]

32 Introducción a la Informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
2 y 3. Identificación de las variables y conjuntos de valores que pueden tomar: C[t] = población de conejos en el periodo t L[t] = población de lobos en el periodo t CL[t] = conejos que se comen los lobos en el periodo t Todas las variables toman valores del conjunto de números naturales

33 Introducción a la informática introducción a Modelos Modelos Matemáticos – Simulación - Ejemplos
4. Formulación de relaciones entre las variables. CL[t] = D*C[t]*L[t] Conejos cazados por lobos en periodo t. C[t+1] = C[t]+A*C[t]- CL[t] Los conejos en el periodo t+1 son: Los conejos del periodo t Mas el aumentos de conejos en periodo t Menos los que son cazados en periodo t L[t+1] = L[t] – B*L[t] +E*CL[t] Los lobos al periodo t+1 son: Los lobos del período y Menos los que mueren en periodo t Mas el aumento de acuerdo al alimento consumido

34 Intoducción a la informática Introducción a Modelos Modelos Matemáticos – Simulación - Ejemplos
5. Definición de escenarios: Situación inicial : C[1] = 1000; L[1] = 100 Parámetros y coeficientes: A = 0,2; B = 0,07; D = 0,002; E = 0,02

35 Intoducción a la Informática Introducción a los Modelos Modelos Matemáticos Discretos
Ingresos Dinero Ganancia Egresos Pérdida Tiempo

36 Intoducción a la Informática Introducción a los Modelos Modelos Matemáticos Discretos- Ejercicio
Inventario Inicial Bs Num. Inicial Vídeos 2.000 Costo Video Bs Costos Fijos Mes Bs Num. Inic. Cltes. 500 Incr. Mens. Cltes. 2% Num. Interc. Sem. 3 Costo Interc. Bs. 2000 Costo Bolsa Bs. 500 Inflac. Mens.

37 Intoducción a la Informática Introducción a los modelos Modelos Matemáticos Discretos- Ejercicio 2 y 3 Identificacón de Variables y conjunto de valores que puede tomar Inventario Inicial Constante, Natural Num. Inicial Vídeos Costo Video Costos Fijos Mes Num. Inic. Cltes. Incr. Mens. Cltes. Parametro Num. Interc. Sem. Costo Interc. Costo Bolsa Inflac. Mens. Tiempo Retorno Variable, Natural

38 Intoducción a la Informática Introducción a los modelos Modelos Matemáticos Discretos- Ejercicio 4. Establecer relaciones entre las variables CLIENTES (I+1) = CLIENTES (I)*0,1 Los clientes se incrementan en 10% cada mes. INGRESOS (I+1) = CLIENTES (I+1)*12*2000 Los ingresos son iguales al número de clientes ese mes multiplicado por el valor del cambio del vídeo y por el número de cambios hechos por mes. COSTO BOLSA (I+1) = COSTO BOLSA (I) + COSTO BOLSA (I)*0,02 El costo de una bolsa se incremente en 2% mensual. COSTO CAMBIO (I) = CLIENTES (I)*COSTO BOLSA El costo de cambio (o sea el costo de las bolsas suministradas a los cliente) es igual al número de clientes que existen en ese mes multiplicado por el costo de una bolsa. COSTO ALQUILER LOCAL (I+1) = (COSTO ALQUILER LOCAL (I) + COSTO ALQUILER LOCAL(I)*0.2 El costo alquiler del local cada mes se incrementa en un 2%. GANANCIA (I+1) = GANANCIA (I) + GANANCIA (I+1) La ganancia acumulada es igual a la ganancia del año anterior mas la ganancia del mes actual.