Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol

Presentación del tema: "Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol"— Transcripción de la presentación:

1 Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol
José Ignacio Royo Prieto

2 Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa)
Se empieza con un único trozo de papel cuadrado; Sólo se puede plegar el papel; No se pueden realizar cortes; No se puede usar pegamento.

3 Modelos tradicionales
Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis Carrol Barco de papel

4 León, leona y cría (David Brill)

5 Mantis religiosa (Ronald Koh)

6 Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)

7 Dos Cisnes (David Derudas)

8 Peces (John Montroll)

9 Demonio (Jun Maekawa)

10 Dragón (Shatoshi Kamiya)

11 Insectos (Robert Lang)

12 Rosa (Toshikazu Kawasaki)

13

14 Eric Joisel

15 Jedi Master Yoda (Fumiaki Kawahata)

16

17 Demonio de Tasmania (J.I.R.)

18 Origami Ori = Doblar Kami= Papel

19 “Un mago convierte hojas de papel en pájaros”
Grabado en madera japonés de 1818.

20 “Senbazuru Orikata” Japón, 1789

21 Miguel de Unamuno (Zuloaga)

22 Monumento a la Pajarita
(Ramón Acín), Parque de Huesca

23 Akira Yoshizawa

24 Akira Yoshizawa

25

26 Elefantes (Akira Yoshizawa)

27 Avispa (Kamiya)

28 Avispa (Kamiya)

29 Avispa (Kamiya)

30 Avispa (Kamiya)

31 Tomoko Fuse

32 Instrucciones de plegado de un insecto de Robert Lang

33 Relación Matemáticas-Papiroflexia
Papiroflexia modular Constructibilidad de puntos con Origami Diseño de figuras con métodos matemáticos

34 Poliedros Definición: conjunto conexo de R3 formado por polígonos (caras) que cumplen: cada lado de cada cara es compartido con otra cara; en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.

35 Poliedros convexos Su interior es convexo, y su interior se puede definir mediante fórmulas: Siendo C el número de caras.

36 Sólidos Platónicos - Definición: Un poliedro convexo es regular si:
-sus caras son polígonos regulares; -en cada vértice concurre el mismo número de aristas. -(Teeteto, a.C.): Tan sólo existen cinco, y son: Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

37

38 Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)

39 Icosaedro truncado, cuestión de estado.

40 Papiroflexia modular Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos) El interés para con las matemáticas es doble: representación de poliedros y otras figuras; la construcción nos acerca a las propiedades de esas figuras.

41 Clases de módulos Por vértices; por aristas; por caras.

42 Problema de la coloración
Construir el poliedro en cuestión de modo que sus caras, vértices o aristas sigan un patrón. Ejemplo: que no concurran dos colores iguales Utilizaremos el grafo plano de un poliedro

43 Grafos planos de los sólidos platónicos

44 Coloración icosidodecaedro
Coloración icosaedro  Coloración icosidodecaedro

45 Icosidodecaedro

46 6 ciclos de aristas en un icosidodecaedro

47 Coloración icosaedro estrellado  Coloración triacontaedro rómbico

48 Triacontaedro rómbico

49 Coloración icosaedro estrellado usando módulos Sonobè

50 Dualidad de poliedros

51 Dualidad icosaedro-dodecaedro

52 Cinco Tetraedros Intersecados

53 Satoshi Kamiya

54 Balón de fútbol 12 pentágonos; 20 hexágonos;
En cada vértice, se juntan 2 hexágonos y un pentágono.

55 Fullerenos Están formados por hexágonos y pentágonos;
Concurren 3 aristas en cada vértice Cúpula geodésica de Montreal (Richard Buckminster Fuller)

56 Característica de Euler

57 Pentágonos de un fullereno

58 Construcción de nuevos fullerenos

59 Fullereno gigante (810 piezas)

60 Teorema de Steinitz Problema de Steinitz
Un grafo se puede realizar como un poliedro convexo de 3 si y sólo si es plano y 3-conexo. Problema de Steinitz Decidir cuándo un grafo se puede realizar en 3 como un poliedro convexo circunscrito en la esfera usual.

61 Fórmula de Euler para 2

62 Dominios fundamentales
Sergei Lupashin (120 piezas) Roberto Gretter (555 piezas) Sarah Belcastro (105 piezas)

63 Curvatura de 2 con origami
Pentágonos: curvatura positiva Hexágonos: curvatura cero Heptágonos: curvatura negativa

64 Trisección del ángulo con Origami
Método de Hisashi Abe

65 Axiomática de Humiaki Huzita

66 New York Journal of Mathematics, 2000

67 Métodos matemáticos de diseño

68 Propiedades del mapa de cicatrices de un modelo plano

69 Proyección sobre la base de un modelo plano
Mapa de cicatrices y base correspondiente

70 Método de Kawahata-Meguro

71 Pliegue oreja de conejo
Hipérbola: lugar geométrico de los incentros

72 Figuras de Fumiaki Kawahata

73 Treemaker de Robert Lang

74 “Tree theorem” de Lang

75 Figura diseñada con Treemaker

76 Origag (Roberto Morassi, 1984)

77

78 Bibliografía