ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Consideremos un sistema de dos partículas de masas m 1 y m 0. Podemos calcular la energía potencial de este sistema especificando.

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1 ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Consideremos un sistema de dos partículas de masas m 1 y m 0. Podemos calcular la energía potencial de este sistema especificando arbitrariamente un punto de referencia donde por convención se le da a la energía potencial, E p, valor cero (se escoge r , donde la fuerza es cero). La diferencia de energía potencial cuando el sistema se mueve desde una configuración donde las dos partículas están separadas una distancia r 1 a otra donde están separadas r 2, está dada por el trabajo hecho por la fuerza de la gravedad, con signo contrario, es decir,

2 La fuerza de interacción que la masa m 1 (supuesta en reposo y situada en el origen de coordenadas) ejerce sobre m 0 está dada por la expresión F= -  m 1 m 0 r 2 ûrûr m1m1 ûrûr r m0m0 F r1r1 r2r2 ds dr 

3 Supongamos además, que el planeta de masa m 0 se mueve desde la posición inicial, especificada por r 1 y medida a partir de m 1 hasta la posición final determinada por r 2 y que m 1 >>m 0 (m 1 esta aproximadamente en reposo). Si sustituimos la expresión de la fuerza en la expresión del trabajo, donde ds representa un elemento infinitesimal de la trayectoria, tendremos que,

4 Como,es la componente radial de ds, resulta que û r.ds = |ûr||ds|cos  = ds.cos  = dr

5 que con una energía potencial de referencia igual a cero (E p1 =0, para r 1  ) se tiene que, Si r 2 tiene cualquier valor arbitrario, r 2 =r, se tiene entonces para la energía potencial, E p2 =E p, del sistema de dos partículas m 0 m 1, que Ep=Ep= -  m 1 m 0 r E p2 = -  m 1 m 0 r 2 Observe que la energía potencial aumenta, se hace menos negativa, cuando r crece, es decir, que aumenta a medida que el planeta (m 0 ) se aleja del centro de fuerza.

6 Si consideramos las energías cinéticas, la energía total del sistema anterior sería,, y para un sistema de n partículas, la energía total es E= m1v122m1v122 m0v022m0v022 -  m 1 m 0 r +

7 En el caso en que la masa de la partícula m 1 sea mucho mayor que la de m 0 (m 1 >>m 0 ), entonces resulta que, v 0 >>v 1, v 1  0, y, E  m0v022m0v022 -  m 1 m 0 r

8 Podemos generalizar utilizando m en vez de m 0, v en vez de v 0, y escribir la expresión de la energía total como Si la partícula se mueve en una trayectoria circular, la fuerza que actúa sobre la masa m esta dada por la fuerza centrípeta, F c =mv 2 /r, e igualando, F c a la fuerza gravitatoria, tenemos E  mv 2 2 -  m 1 m r

9 Y por consiguiente, y la ecuación de la energía total, E se reduce a, indicando que la energía total es negativa, característica esta de todas las órbitas elípticas (o cerradas), es decir, E<0 cuando definimos la energía potencial 0 para una separación infinita.