Babilónicos Egipcios Griegos Chinos Árabes Indúes Romanos.

Presentación del tema: "Babilónicos Egipcios Griegos Chinos Árabes Indúes Romanos."— Transcripción de la presentación:

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2 Babilónicos Egipcios Griegos Chinos Árabes Indúes Romanos

3 BABILONIA: Los babilonios vivieron hace unos 4.000 años en lo que ahora es Irak. Era un pueblo muy culto y organizado. Por saber, hasta sabían resolver ecuaciones. En la Universidad de Colombia, en Nueva York, se conservan tablillas con inscripciones babilónicas. En una de ellas aparece el siguiente problema: He multiplicado largo y ancho y he obtenido el área. He agregado al área el exceso del largo sobre el ancho: 183. He sumado largo y ancho: 27. Se pide largo, ancho y área. ¿Te sientes capaz de ayudar al estudiante babilónico a resolver el problema?. Menú

4 Papiro de Rhind (prob. 40) (s. XVII a.C.) Papiro de Rhind (prob. 79) (s. VII a.C.) Áreas y volúmenes (I) Áreas y volúmenes (II)

5 Menú El papiro de Ahmes: prob. 40.- (s. XVII a.C.) Repártanse diez hogazas de pan entre cinco hombres de tal manera que las partes correspondientes estén en progresión aritmética y que además un séptimo de la suma de las tres partes más grandes sea igual a la suma de las dos más pequeñas. Egipto

6 Menú El papiro de Rhind: problema 79.- (s. VII a.C.) Había una propiedad compuesta por siete casas; cada casa tenía siete gatos; cada gato se comía siete ratones; cada ratón se comía siete granos de cebada; cada grano de cebada había producido siete medidas. ¿Cuánto sumaba todo? Egipto

7 MenúEgipto Los geómetras egipcios dieron gran importancia al cálculo de áreas y volúmenes de los cuerpos sólidos. El siguiente problema está extraído del Papiro de Moscú... a)....... Imaginad que tenéis una pirámide y os quitan el pico, ¿cómo sabríais el volumen que os queda? Según este papiro, si los datos fuesen : a h b h = 6 a = 4 b = 2 (hallar la 3ª parte) (al cuadrado) = 16 (por b) = 8 (al cuadrado) = 4 + 28 2 56... es evidente que el autor conocía la fórmula:

8 MenúEgipto Los egipcios conocían de forma empírica algunas fórmulas para calcular el volumen de la pirámide. Veamos una forma sencilla de conseguirlo cuando la pirámide es de base cuadrada y recta: - Sea O el centro del cubo. Uniendo ese punto con los vértices del cubo, obtenemos 6 pirámides, luego: Pues bien, ¿es cierta esta igualdad para cualquier pirámide?

9 Menú Pitágoras (s.IV a.C.) (Números perfectos) Criba de Erastótenes (s. III a.C.) Epitafio de Diofanto (s. III d.C.) Pitágoras (s.IV a.C.) (Números deficientes) Pitágoras (s.IV a.C.) (Números abundantes) Pitágoras (s.IV a.C.) (Números amistosos) Euclides (s. III a.C.)

10 Pitágoras de Samos.- (s.VI a.C.) Pitágoras de Samos llamó números amistosos a los que cum- plían la propiedad de que cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro... Ejemplo: Los divisores de 284 son: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 Los divisores de 220 son: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 ¡Luego los números 284 y 220 son amistosos! Ejercicio: ¿Cuáles son los siguientes números amis- tosos? MenúGrecia

11 Pitágoras de Samos.- (s.VI a.C.) Pitágoras de Samos llamó número perfecto a aquel que es igual a la suma de sus divisores, excepto él mismo Ejemplo: El 6 es un número perfecto ya que 6 = 1+2+3 Según un clásico teorema: Ejercicio: ¿Cuál es el siguiente número perfecto? MenúGrecia

12 Pitágoras de Samos.- (s.VI a.C.) Pitágoras de Samos llamó número deficiente al que es mayor que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 8 es deficiente, puesto que: 8 > 1 + 2 + 4 Así mismo, decía que un número era abundante si era menor que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 12 es un número abundante, puesto que: 12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6 Ejercicio: ¿Cuál es el siguiente número deficiente? ¿Y el siguiente número abundante? MenúGrecia

13 Menú Euclides.- (s. III a.C.) La proposición 4 del libro II de los Elementos de Euclides, ofrece la demostración geométrica del cuadrado de la suma que se indica en la figura adjunta. Ejercicio: a b a2a2 b2b2 Demuestra, geométricamente, las identidades siguientes: (a-b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ; (a+b)(a-b) = a 2 - b 2 y (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 + 2ab + 2ac + 2bc Demostración del cubo de la suma: (a+b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Cubo de la suma Grecia

14 Menú Criba de Erastótenes: (s. III a.C.) Para obtener los 100 primeros números primos, en la siguiente tabla, a partir del 2, tacha todos los números saltando de 2 en 2. A continuación, a partir del 3, tacha todos los números de 3 en 3, y así sucesivamente. Los números que queden si tachar son los números primos. Compruébalo: Grecia

15 Menú Hic Diophantus habet tumulum, qui tempora vitae illius mira denotat arte tibi: Egit sextantem juvenis; lanugine malas vestire hinc coepit parte duodecima; septante uxori post haec sociatur et anno formosus quinto nascitur, vide, puer. Heminam aetatis postquam attigit ille paternae, infelix, subita morte peremptus, obit. Quattuor aestates genitor lugere superstes. Cogitur hinc annos illius assequere. Hic Diophantus habet tumulum, qui tempora vitae illius mira denotat arte tibi: Egit sextantem juvenis; lanugine malas vestire hinc coepit parte duodecima; septante uxori post haec sociatur et anno formosus quinto nascitur, vide, puer. Heminam aetatis postquam attigit ille paternae, infelix, subita morte peremptus, obit. Quattuor aestates genitor lugere superstes. Cogitur hinc annos illius assequere. Aquí Diofanto tiene el sepulcro, el cual las épocas de la vida de aquel, con arte admirable, te señala: Joven pasó la sexta parte; de vello sus mejillas comenzó a cubrir, a partir de aquí, una duodécima parte. Una séptima parte, después de esto, se casa, y al año quinto he aquí que nace un hermoso niño. Después que éste llegó a la mitad de la edad paterna muere el desgraciado, arrebatado por una súbita muerte. Cuatro veranos le sobrevive su padre para llorarlo. De donde, conclúyese, alcances a saber los años de aquél. Aquí Diofanto tiene el sepulcro, el cual las épocas de la vida de aquel, con arte admirable, te señala: Joven pasó la sexta parte; de vello sus mejillas comenzó a cubrir, a partir de aquí, una duodécima parte. Una séptima parte, después de esto, se casa, y al año quinto he aquí que nace un hermoso niño. Después que éste llegó a la mitad de la edad paterna muere el desgraciado, arrebatado por una súbita muerte. Cuatro veranos le sobrevive su padre para llorarlo. De donde, conclúyese, alcances a saber los años de aquél. Epitafio de Diofanto.- (s. III d.C.) Esta importante figura de la época final de la matemática griega es trascendental en la Historia del Álgebra. Cuentan que en la tumba de Diofanto había una inscripción que explicaba, en forma de problema, la edad que tenía el sabio cuando murió. Se trata de un sugerente problema algebraico de fácil solución, oculto en el llamado Epitafio de Diofanto, que aquí presento en latín y traducido al castellano, para posibilitar el enfoque interdisciplinar de la actividad. Grecia

16 Menú El divertido juego de Josefó: En cierta ocasión, Josefó, célebre historiador y gobernador de Galilea, tras resistir heroicamente las legiones de Vespasiano, se refugió en una caverna, junto otros 40 patriotas judíos. Al verse acorralado, Josefó propuso a sus compañeros el siguien- te juego: Los 41 debían colocarse en círculo. Se van contando, numerándose y al que le toque tres lo matan (¡qué divertido!). Así hasta que no quede nadie. Pues bien, ¿en qué lugar crees que se colocó Josefó?

17 Menú Anécdota del 885 Los aros mágicos Estrella mágica Cuadrados mágicos

18 Menú Los ladrones: Una anécdota del año 885, cuenta cómo elegía Yang Suen a los funcionarios...: En cierta ocasión dos clérigos con el mismo cargo, las mismas recomendaciones e igual expediente, pretendían el mismo puesto. Para resolver el empate Yang Suen les propuso el siguiente problema: Una vez unos ladrones robaron varias piezas de tela. Alguien que pasaba por el bosque oyó hablar: Si nos quedamos con seis cada uno, sobran cinco rollos; pero si nos quedamos con siete cada uno, faltarán ocho. ¿Cuántos rollos de tela y ladrones hay? China

19 Menú Los aros mágicos: Se trata de colocar en las intersecciones los números del 1 al 6, de forma que la suma en cada circunferencia sea la misma. China

20 Menú Estrella mágica: Sólo tienes que rellenar esta estrella para que sea mágica, es decir, que cada lado sume lo mismo..... Del 1 al 12 China

21 Menú Cuadrado mágico de 4º orden, extraído del grabado Melancolía de A. Duero Cuadrados mágicos: Especialmente emblemáticos en la Historia de las Matemáticas son los cuadra- dos mágicos, de origen chino, que ya se pro- pusieron como actividades números 46, 47 y 48 en la sección de pasatiempos. Los cuadrados mágicos eran conoci- dos en China 45 siglos antes de Mahoma. El más antiguo conocido, es el llamado Io Shu, que según la leyenda fue hallado por el emperador de aquella época (año 2.000 a.C.) bajo el caparazón de una tortuga divina que paseaba por el río amarillo. En la actualidad, los cuadrados mágicos han sido muy estudiados y se han publicado multitud de trabajos curiosos sobre ellos. Como ejem- plo véase el método para construir cuadrados mágicos de órdenes impares expuesto en el apartado de pasatiempos. Orden 3 China Orden 4Orden impar

22 Menú Cuadrado mágico 3 x 3: Coloca en cada casilla del cuadrado una cifra del 1 al 9 sin que haya repeticiones y de modo que en vertical, en horizontal y también en diagonal, la suma sea siempre quince. China

23 Menú Cuadrado mágico 4 x 4: Coloca en cada casilla del cuadrado una cifra del 1 al 16 sin que haya repeticiones y de modo que en vertical, en horizontal y también en diagonal, la suma sea siempre la misma.

24 Menú Cuadrado mágico 4 x 4: Coloca en cada casilla del cuadrado una cifra del 1 al 16 sin que haya repeticiones y de modo que en vertical, en horizontal y también en diagonal, la suma sea siempre la misma. 12 34 56 78 910 1112 1314 1516

25 Menú Cuadrado mágico 4 x 4: Coloca en cada casilla del cuadrado una cifra del 1 al 16 sin que haya repeticiones y de modo que en vertical, en horizontal y también en diagonal, la suma sea siempre la misma. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 16

26 Menú Cuadrado mágico 4 x 4: Coloca en cada casilla del cuadrado una cifra del 1 al 16 sin que haya repeticiones y de modo que en vertical, en horizontal y también en diagonal, la suma sea siempre la misma. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 16 ChinaCuadrados mágicos

27 Menú Cuadrados mágicos de tamaño impar:

28 Menú Cuadrados mágicos de tamaño impar: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 521 6 24 2 20 4 16 22 10 21 China Cuadrados mágicos

29 Menú Historia de Lilavati Cuadratura del rectángulo (Apastamba) El enjambre de abejas (A Lilavati de Baskara) Problema geométrico (Baskara) El arte de invertir (A Lilavati de Baskara) El pavo y la culebra El precio del ajedrez El problema de los catils Las perlas y las princesas

30 El primer escrito indú de matemáticas del que tenemos referencia es obra de Apastamba y contiene los Sulvasutra (Reglas de la cuerda). Apastamba halló una curiosa forma de encontrar un cuadrado de área equivalente a un rectángulo dado: Construimos un cuadrado de lado igual al menor de los lados del rectángulo, y colocamos este cuadrado sobre el rectángulo, dividiendo la superficie no cubierta en dos rectángulos iguales. Después formamos un cuadrado como se indica en la figura: Área del rectángulo = + + = x 2 – y 2 x y 2 1 2 3 3 2 33 India

31 Menú Ahora nos ayudamos de un triángulo rectángulo de lados x e y con el que, aplicando el Teorema de Pitágoras, deducimos que el área del cuadrado construido sobre uno de los catetos es de igual área que el rectángulo inicial: Veámoslo: l 2 + y 2 = x 2 Área = x 2 - y 2 = = Área del rectángulo India

32 MenúIndia En el año 492 nace Baskara Acharia, de cuyas actividades matemáticas que datan del siglo XII tiene muestra en sus obras Bijaganita y sobre todo Lilavati, de curioso origen: Baskara tuvo una hija a la que llamó Lilavati. Cuando nació Lilavati, su padre consultó a los astros y vio que ella nunca se casaría. Sin embargo, un día un astrólogo le dijo a Baskara que su hija debía casarse con el primer pretendiente, pero que la hora de la boda debía ser marcada por el cilindro del tiempo, que era un cilindro graduado y hueco, con un pequeño orificio. El cilindro se metía en un recipiente con agua y se iba sumergiendo muy lentamente al llenarse por el agujero. Según las marcas del cilindro se sabía la hora. Un día Lilavati fue pedida en matrimonio por un joven de buena familia y decidieron casarse. Se fijó la fecha y hora de la boda y Baskara colocó el cilindro del tiempo, pero Lilavati, impaciente, se asomó para mirar el cilindro, y se desprendió una perla de su vestido, que fue a taponar el orificio de su base, deteniéndose el cilindro. Pasó la hora sin que fuese marcada por el curioso reloj y no se celebró la boda. Entonces Baskara dijo a Lilavati: Escribiré un libro que perpetuará tu nombre. Vivirás en el pensamiento de los hombres más tiempo que los hijos que pudieran haber nacido de tu matrimonio...

33 MenúIndia Baskara.- (s. XII) Bella muchacha de ojos relucientes, dime tú, si conoces el arte de invertir, cuál es el número que multiplicado por tres, aumentado en tres cuartos del producto, dividido por siete, disminuido en un tercio del cociente, multiplicado por sí mismo, disminuido en cincuenta y dos, mediante extracción de la raíz cuadrada, adición de ocho y división por diez, da por último el número dos.

34 MenúIndia De nuevo Lilavati.- Un quinto de un enjambre de abejas se posa sobre una flor de Kadamba; un tercio, sobre una flor de silindha. Tres veces la diferencia entre los dos números voló a las flores de un kutuja, y quedó una sola abeja que se alzó en el aire, igualmente atraída por el grato perfume de un jazmín y de un pandamus. Dime tú ahora, mujer fascinante, cuál era el número de abejas.

35 MenúIndia Otro problema indio.- Un pavo estaba posado sobre un poste de nueve codos de altura. En la base del poste había un agujero de culebra. El pavo se lanza por la culebra, que está a una distancia del poste igual a tres veces su altura. Cuando la atrapa, los dos han recorrido la misma distancia. ¿A qué distancia del poste cogió el pavo a la culebra?

36 MenúIndia El precio del ajedrez.- El ajedrez fue inventado por el indio Lahur Sessa, y va unido a una curiosa leyenda: Al rey Sirham de la India, le gustó tanto el juego que le dijo a Lahur: pídeme lo que quieras. Lahur le pidió el trigo que resultara de, comenzando por la primera casilla del ajedrez con un grano de trigo, colocar en cada casilla el doble del número de granos que hubiera en la anterior. Los contables del rey le dijeron que, a pesar de la riqueza de su reino, no podía cumplir el deseo de Lahur. ¿Cuánto trigo pedía Lahur?

37 El problema de las catils.- Un navío que volvía de Serendibe, trayendo gran cantidad de especias, fue alcanzado por un violento temporal. La embarcación habría sido destruida por las olas, si no fuera por el valor y el esfuerzo de tres marineros que, en medio de la tormenta, manejaban las velas con extremada pericia. El capitán, queriendo recompensar a los denodados marineros, les dio cierto número de catils. Los catils eran más de 200 y menos de 300. Las monedas fueron colocadas en una caja para que al día siguiente, al desembarcar el almojarife las repartiese entre los tres valientes. Sucedió, sin embargo, que durante la noche, uno de los tres marineros se despertó y pensó: - Sería mejor que retirase mi parte. Así no tendré oportunidad de discutir con mis amigos. Y, sin decir nada a los compañeros, fue en puntas de pie hasta donde se hallaba guardado el dinero, lo dividió en tres partes iguales y notó que la división no era exacta, ya que sobraba un catil. - Por causa de esta mísera monedita, es probable que mañana haya riña y discusión. Será mejor sacarla. Y el marinero la tiró al mar retirándose cauteloso. Llevaba su parte y dejaba las que correspondían a sus compañeros en el mismo lugar. MenúIndia

38 MenúIndia Horas después el segundo marinero tuvo la misma idea. Fue al arca donde se depositaba el premio colectivo y lo dividió en tres partes iguales. Sobraba una moneda. El marinero optó por tirarla al mar, para evitar discusiones. Y salió de allí llevándose la parte que creía le correspondía. El tercer marinero, ignorando por completo que sus compañeros se le habían anticipado, tuvo el mismo pensamiento. Levantose de madrugada y fue a la caja de los catils. Dividió las monedas que en ella encontró, y la división tampoco resultó exacta, sobró un catil. No queriendo complicar el reparto, el marinero lo tiró al mar y regresó satisfecho a su litera. Al día siguiente, al desembarcar, el almojarife encontró un puñado de catils en la caja. Sabiendo que esas monedas pertenecían a los marineros, las dividió en tres porciones, que repartió entre sus dueños. Tampoco fue exacta la división. Sobraba una moneda que el almojarife se guardó como retribución de su trabajo y habilidad. Es claro que ninguno de los marineros reclamó, pues cada uno estaba convencido de haber retirado su parte. Ahora bien: ¿Cuántas monedas había? ¿Cuántas recibió cada marinero?

39 Las perlas y las princesas: Un rajá dejó a sus hijas cierto número de perlas y ordenó que el reparto se hiciese del siguiente modo: a la hija mayor correspondería una perla más un séptimo de las que quedasen; la segunda tomaría dos perlas y un séptimo de las restantes; la tercera recibiría tres perlas y un séptimo de las que quedasen. Y así sucesivamente para las restantes hijas. Las hijas más jóvenes del rajá presentaron sus quejas a un juez, alegando que por ese sistema ellas serían fatalmente perjudicadas. El juez, que era hábil en la resolución de problemas, respondió rápidamente que las demandantes estaban equivocadas, y que la división propuesta por el rajá era justa y perfecta. El juez tenía razón. Hecha la división, cada una de las hermanas tenía el mismo número de perlas. ¿Cuántas hijas tenía el rajá?¿Cuántas perlas se llevó cada una? MenúIndia

40 MenúIndia Problema geométrico: Singular elegancia procedimental posee el siguiente problema de Baskara, en el que se pregunta cuántas veces mayor que el pequeño es el cuadrado grande en la siguiente figura:

41 Menú No está bien destrozar camellos Suma de cubos Las vendedoras de manzanas !Leche!, Vaya premio Una herencia sexista Los ladrones de camellos

42 MenúÁrabes Suma de cubos: De particular belleza es la demostración de la fórmula de la suma de cubos de AlKarni, matemático árabe de los siglos X y XI, veámosla: ¿Cuántos puntos hay en cada una de las regiones de la figura?

43 MenúÁrabes Las vendedoras de manzanas: Un cadí encarga a sus tres hijas que vendan 90 manzanas de la siguiente manera: Fátima venderá 50 manzanas, Cunda 30 manzanas y Sima 10; que Fátima ponga el precio de la venta, con la condición de que las tres obtengan el mismo beneficio.

44 MenúÁrabes !Leche!, vaya premio: AlMamun, Al-Hossein y Karashi, son tres amigos que viven en Bagdag y reciben un premio por un trabajo bien hecho, consistente en: 7 botellas llenas de leche de camella, 7 botellas medio llenas y 7 botellas vacías. ¿Cómo deben repartir el premio para que cada uno reciba la misma cantidad de botellas y de leche? (¿Te suena?)

45 Los ladrones de camellos: Unos ladrones fuertemente jerarquizados (sólo hay uno de cada grado), roban unos camellos que reparten de la siguiente manera: El primero 1 camello El segundo 2 camellos El tercero 3 camellos El enésimo n camellos Pero al que le tocaba un camello, que era el que tenía menos anti- guedad en la empresa pero poseía una fuerte personalidad y sentido de la justicia, dice que ni hablar, que todos deben recibir el mismo número de camellos, si no ¿qué dirían en el sindicato?. Finalmente, dado el gran poder de convicción del chaval, cada ladrón termina llevándose 5 camellos. ¿Cuántos camellos robaron y cuántos ladrones eran? MenúÁrabes

46 Menú Leonardo de Pisa Fibonacci (Italia 1170 -1240) Nicolo Tartaglia (Italia 1499-1577) Robert Recorde (Gales 1510-1558) Isaac Newton (Inglaterra 1642-1727) Leonhard Euler (Suiza 1707-1783) Albert Einstein (Alemania 1879-1955)

47 MenúOtros Leonardo de Pisa Fibonacci (Italia 1170-1240): El origen de la conocida serie que lleva el nombre de la serie de Fibonacci fue el siguiente problema de los conejos: Una pareja de conejos al cabo del segundo mes de vida produce una nueva pareja, que a su vez, al cabo del segundo mes de vida produce una nueva pareja que hace lo mismo, y así sucesivamente. ¿Cuántas parejas de conejos se obtendrán al año?

48 MenúOtros Nicolo Tartaglia (Italia 1499-1557) - El barquero, el lobo, la cabra y las coles: Un barquero quiere pasar de una orilla a otra del río a su lobo, su cabra y un saco de coles, y en la barca sólo caben él y una de las tres cosas. El barquero sabe que si deja solos al lobo y a la cabra, el lobo se comerá a la cabra. Si deja a la cabra junto al saco de coles, la cabra se comerá las coles. ¿Qué puede hacer para pasar el río con todas sus posesiones?

49 MenúOtros Robert Recorde (Pais de Gales 1510-1558): Hay cuatro clases de vino de precios diferentes, uno de seis peniques el galón, otro de ocho, el tercero de once, y el cuarto de quince peniques el galón. De estos vinos, deseo una mezcla de 50 galones, de manera que cada galón valga nueve peniques. ¿Cuál será la proporción de cada vino en esta mezcla?

50 MenúOtros Isaac Newton (Inglaterra 1642-1727): Un negociante separa al principio de cada año 100 escudos para los gastos de ese año. Todos los años aumenta su capital en un tercio y al cabo de tres años ha duplicado su dinero. ¿Qué capital tenía al inicio de los tres años?

51 MenúOtros Leonhard Euler (Suiza 1707-1783): Un padre deja una herencia de 8600 libras a sus cuatro hijos. Se- gún el testamento, la parte del mayor debe ser inferior en 100 libras al doble de la parte del segundo. La parte del segundo, inferior en 200 libras al triple de la parte del tercero. Y la parte del tercero inferior en 300 libras al cuádruple de la parte del más joven. ¿Cuál es la parte de cada uno?

52 MenúOtros Albert Einstein (Alemania 1879-1955): Este problema le fue planteado a Einstein por un alumno: Dos profesores pasean charlando de sus respectivas familias. - Por cierto - pregunta uno - ¿de qué edades son sus tres hijas? - El producto de sus edades es 36 - contesta su colega -, y su suma, casualmente es igual al número de tu casa. Tras pensar un poco, el que ha formulado la pregunta dice: - Me falta un dato. - Es verdad - dice el otro -. Me había olvidado de aclararte que la mayor toca el piano ¿Qué edades tienen las tres hijas del profesor?