M.C. Meliza Contreras González Unidad 1: Lógica, Conjuntos y Clases Tercera parte.

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1 M.C. Meliza Contreras González Unidad 1: Lógica, Conjuntos y Clases Tercera parte

2 Método axiomático Surgió en Grecia en el siglo IV a.c. que lo propuso para la ciencia y para la lógica. El objeto de un sistema axiomático es utilizar un pequeño número de propiedades y precisar cómo deducir de ellas todas las demás.

3 Método axiomático Lo constituyen los axiomas que son enunciados verdaderos y son absolutos e indemostrables. ¿qué son los números?, nosotros podemos decir los números son el 1, el 2, el 3, etc pero, ¿por que el 1 es 1, y el 2 el 2?. El método axiomático considera a los números como ya existentes y las propiedades se estipulan mediante axiomas (proposiciones), a partir de estos axiomas se pueden deducir las otras propiedades a través de la lógica habitual.

4 Tipos de métodos axiomáticos Sintácticos (no interpretados) Se caracterizan por el hecho de que sus expresiones carecen de significado y se componen de fórmulas (sucesiones de signos). Semánticos (interpretados) Formados por enunciados que poseen significado y valores de verdad.

5 Reglas de Inferencia Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración.

6 Ejemplo de inferencia Juan invierte en el mercado de valores. Si Juan invierte en el mercado de valores entonces se hace rico. _________________________________  Juan es rico Sea: p: Juan invierte en el mercado de valores. q: Juan es rico [p  (p  q)   q

7 Primera Solución Tablas de verdad pq pqpqp  (p  q)[p  (p  q)]  q vvvvv vfffv fvvfv ffvfv

8 Tautologías 0.- p  q   p v q Ley de la implicación

9 Tautologías

10 Reglas de Inferencia MPP Modus ponendo ponens A → B A - - - - - B MTT Modus tollendo tollens A → B ¬B - - - - - ¬A SD Silogismo Disyuntivo A ∨ B ¬A - - - - - B SH Silogismo hipotético A → B B → C - - - - - A → C LS Ley de simplificación A ∧ B - - - - - A LA Ley de adición A - - - - - A ∨ B CONTRAPOSITIVA A → B - - - - - ¬B → ¬A

11 Segunda solución Mediante reducciones con tautologías. [p  (p  q)   q  p  (p  q  q  p   (  p  q  q  p  ( p   q  q (  p  p)  (  p   q  q T  (  p   q  q (  p   q  q (  p)  (  q  q) (  p)  T T