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Acción débilmente dominante 4,46,1 B 7, 110, 2 A DI 1,1 B 2,2 A DI A: acción dominante (estrictamente) para 1 A: acción débilmente dominante para 1.

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1 Acción débilmente dominante 4,46,1 B 7, 110, 2 A DI 1,1 B 2,2 A DI A: acción dominante (estrictamente) para 1 A: acción débilmente dominante para 1

2 Son pocos los juegos en los que los jugadores poseen acciones dominantes. Pero aún podemos ofrecer alguna orientación que permita reducir el conjunto de posibles resultados en un juego explotando la idea de dominancia entre acciones de un mismo jugador. Diremos que una acción de un jugador está dominada si existe otra acción que siempre proporciona al jugador unos pagos mayores que la primera, hagan lo que hagan los rivales. Por ejemplo, en el juego del hotel, la acción ser honesto está dominada por la acción estafar, ya que ésta última siempre le ocasiona unos pagos mayores que la primera, elija la acción que elija su oponente. En el dilema del prisionero la acción callarse que está dominada por la acción confesar.

3 Podemos encontrar otro ejemplo de acción dominada en la siguiente matriz:

4 El jugador 1 no tiene acción dominante, ya que A es mejor que B cuando el jugador 2 utiliza I o C, pero B da unos pagos mayores que A cuando el jugador 2 elige la acción D. Por su parte, para el jugador 2, la acción D está dominada por la acción C. La acción D siempre le proporciona unos pagos estrictamente menores que la acción C, juegue la acción que juegue el jugador 1. Sin embargo, para el jugador 2, la acción C no está dominada por I ni la acción I está dominada por C. Luego, el jugador 2 tampoco tiene una acción dominante.

5 No podemos ofrecer una predicción sobre el desarrollo del juego entre jugadores racionales en este juego. Ahora bien, sí podemos descartar determinadas acciones. Si el jugador 2 es maximizador de pagos, nunca elegirá la acción dominada D. No sabemos qué acción elegirá el jugador 2, pero sí podemos predecir qué acción no jugará. Es decir, hagan lo que hagan mis rivales, jugar una acción dominada siempre me dará unos pagos menores que elegir otra acción.

6 Conviene aclarar la relación entre acción dominante y dominada. Una acción dominante es aquella que domina a todas las demás acciones, es decir, proporciona los mejores pagos frente a cualquier elección del rival. Sin embargo, una acción puede estar dominada por otra acción, pero ésta última no tiene por que ser dominante. En el ejemplo anterior la acción D está dominada por la acción C, sin embargo la acción C no es una acción dominante para el jugador 2, pues para ello debería dominar también a la acción I.

7 Podemos concluir que no importa lo que un jugador piensa acerca de lo que hará su oponente, nunca es racional adoptar una acción estrictamente dominada.

8 2.4 La función de mejor respuesta de un jugador. La función de mejor respuesta de un jugador indica la acción (o acciones) que maximiza (o maximizan) sus pagos para cada posible creencia sobre las acciones de los oponentes

9 Obtengamos las mejores respuestas para los ejemplos de juegos simultáneos. En el juego del hotel, las mejores respuestas del jugador 1 son: si 2 juega ser honesto, la mejor respuesta de 1 es estafar si 2 juega estafar, la mejor respuesta de 1 es : estafar. 4,46,3 Estafar 3,65,5 Ser honesto EstafarSer honesto

10 Obtengamos las mejores respuestas para los ejemplos de juegos simultáneos. En el juego del hotel, las mejores respuestas del jugador 2 son: si 1 juega ser honesto, mejor respuesta de 2: estafar si 1 juega estafar, mejor respuesta de 2: estafar. 4,46,3 Estafar 3,65,5 Ser honesto EstafarSer honesto

11 Así mismo, en el juego del dilema del prisionero, si 1 elige callarse, mejor espuesta de 2: confesar si 1 elige confesar, mejor respuesta de 2: confesar. El jugador 1 tiene la misma función de mejor respuesta, ya que el juego es simétrico. si 2 elige callarse, mejor espuesta de 1: confesar si 2 elige confesar, mejor respuesta de 1: confesar -1,-1-10,0 Callarse 0,-10-8,-8 Confesar Callarse Confesar

12 Consideremos el anterior juego matricial La función de mejor respuesta del jugador 1, f 1, será: f 1 (I) = A f 1 (C) = A f 1 (D) = B. Asimismo, la función de mejor respuesta del jugador 2, f 2, viene dada por, f 2 (A) = C f 2 (B) = I

13 1,1 B 2,2 A DI Consideremos el juego matricial La función de mejor respuesta del jugador 1, f 1, será: f 1 (I)= A f 1 (D)= A, B. A es una acción débilmente dominante para 1 Asimismo, la función de mejor respuesta del jugador 2, f 2, viene dada por, f 2 (A) = I f 2 (B) = I, D. I es una acción débilmente dominante para 2

14 Relación entre mejor respuesta y dominancia. Podemos comprobar en los ejemplos anteriores que una acción dominada nunca es mejor respuesta a ninguna acción del rival. Por ejemplo en el juego de del hotel, la acción dominada ser honesto nunca aparece como mejor respuesta. De forma similar, la acción D tampoco aparece como mejor respuesta para el jugador 2 en el juego matricial anterior. Sin embargo, como el jugador 1 no tiene acciones dominadas aparecen como posibles mejores respuestas sus dos acciones, A y B. Este resultado es evidente: una acción dominada nunca puede ser mejor respuesta ante ninguna acción del oponente, pues por definición existe otra acción que la domina, es decir, que ofrece al jugador mayores pagos sea cual sea la acción del oponente.

15 Esto no implica necesariamente que la acción que domina a la dominada sea la mejor respuesta, pero descarta que lo sea esta segunda. La acción C domina a la D, pero no es mejor respuesta frente a B. Por otro lado, en los juegos bipersonales, si una acción de un jugador nunca es mejor respuesta (es decir, no es mejor respuesta ante ninguna acción del rival o mezcla aleatoria de acciones del rival), entonces dicha acción está dominada: en ocasiones por otra acción o posiblemente por una mezcla aleatoria de varias acciones del jugador.

16 Las funciones de mejor respuesta nos proporcionan un método alternativo en juegos bipersonales para localizar si existen acciones dominantes y dominadas. a) Si un jugador en un juego simultáneo G tiene siempre una única y misma mejor respuesta ante todas las acciones del rival, entonces esta acción será su acción dominante. b) Si un jugador tiene una acción que siempre es mejor respuesta ( aunque no necesariamente única) entonces esta acción será su acción débilmente dominante. c) Si existe alguna acción que nunca es mejor respuesta, a ninguna acción del rival o mezcla aleatoria de éstas, entonces será una acción dominada.


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