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SISTEMAS DE ECUACIONES 1 Tema 6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

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1 SISTEMAS DE ECUACIONES 1 Tema 6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2 SISTEMAS DE ECUACIONES 2 Tema 6 1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Nos vamos a ocupar ahora de las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Una ecuación de este tipo es, por ejemplo: 2x + y = 50 Observa que el par de valores x = 20, y = 10, hace cierta la igualdad: 2· = 50 Decimos entonces que ese par de valores es una solución de la ecuación. Sin embargo, la solución no es única. Observa que hay otros pares que también son soluciones de la misma ecuación: x = 5, y = 40 2· = 50 En realidad, la ecuación tiene infinitas soluciones. x = 10, y = 30 2· = 50 x = 15, y = 20 2· = 50

3 SISTEMAS DE ECUACIONES 3 Tema 6 Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas reciben el nombre de ecuaciones lineales. Una solución de una ecuación lineal es un par de valores que hace cierta la igualdad. Una ecuación lineal tiene infinitas soluciones. FORMA GENERAL Toda ecuación lineal puede escribirse de la forma: ax + by = c donde a, b y c son valores conocidos.

4 SISTEMAS DE ECUACIONES 4 Tema 6 término independiente incógnitas Una ecuación de primer grado con dos incógnitas x, y se puede escribir así: ax + by = c coeficientes a x + b y = c

5 SISTEMAS DE ECUACIONES 5 Tema 6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN LINEAL Para obtener distintos pares de valores que sean soluciones de una ecuación lineal, se suele despejar una incógnita y dar valores a la otra. Los valores se recogen, ordenados, en una tabla. 2x + y = 5 y = 5 – 2x Despeja y Obtén distintas soluciones en una tabla x y = 5 – 2x –1 y = 5 – 2·0 = 5 y = 5 – 2·1 = 3 y = 5 – 2·2 = 1 y = 5 – 2·3 = –1 y = 5 – 2·(–1) = 7 EJEMPLO Con la tabla de valores hemos encontrado cinco soluciones (0, 5), (1, 3), (2, 1), (3, –1), y (–1, 7). Dibuja los puntos. Nota que aparecen alineados en una recta.

6 SISTEMAS DE ECUACIONES 6 Tema 6 Cada ecuación lineal tiene una recta asociada en el plano. Cada punto de esa recta representa una de las infinitas soluciones de la ecuación. Representar gráficamente la ecuación 3x – 2y = 4. Despejamos y para construir la tabla de valores: 3x – 2y = 4 3x – 4 = 2y Representamos los pares de valores en el plano. EJEMPLO x y ,5 –1 –3,5 –2 –5 La línea recta que pasa por los puntos es la gráfica de la ecuación. y = = –2 3·0 – 4 2 y = = –0,5 3·1 – 4 2 –2 –0,5

7 SISTEMAS DE ECUACIONES 7 Tema 6 2. Sistemas de ecuaciones lineales ax + by = c a'x + b'y = c' Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones en las que las incógnitas representan los mismos valores. Una solución de un sistema es un par de números que verifican las dos ecuaciones simultáneamente. Resolver un sistema es hallar las soluciones del sistema.

8 SISTEMAS DE ECUACIONES 8 Tema 6 x + y = 7 y = 7 – x 3x – y = 9 y = 3x – 9 La solución del sistema es el punto común: x = 4, y = 3 El par de valores x = 4, y = 3 satisface ambas igual- dades, es decir, es solución de las dos ecuaciones: x = = 7 y = 3 3·4 – 3 = 9 EJEMPLO Halla gráficamente la solución del sistema: x + y = 7 3x – y = 9 Gráficamente, la solución del sistema es el punto de corte de las rectas que representan a las ecuaciones. x y x y –6 –

9 SISTEMAS DE ECUACIONES 9 Tema 6 a) x + y = 5 x – y = 3 1. Resuelve gráficamente: c) y – x = 3 2x + y = 0 ACTIVIDADES b) x + y = 1 y = 2x + 1 d) 2x + 3y = 12 3x – y = 7

10 SISTEMAS DE ECUACIONES 10 Tema 6 Ya has visto que la solución de un sistema lineal es el punto de corte de dos rectas. Por tanto, un sistema lineal tendrá generalmente una solución única. Sin embargo, como verás a continuación, hay casos especiales. SISTEMAS SIN SOLUCIÓN Puede ocurrir que las dos ecuaciones del sistema sean portadoras de información contradictoria. x + y = 3 x + y = 6 En este caso es imposible encontrar un par de valores ( x, y ) que haga ciertas ambas igualdades a la vez. El sistema no tiene solución. Los sistemas sin solución se llaman incompatibles. Gráficamente, las rectas que representan a las ecuaciones no tienen ningún punto común, es decir, son paralelas. EJEMPLO

11 SISTEMAS DE ECUACIONES 11 Tema 6 SISTEMAS CON INFINITAS SOLUCIONES También puede ocurrir que las dos ecuaciones sean portadoras de informaciones idénticas. x + y = 3 2x + 2y = 6 En este caso, cualquier par de valores que haga cierta la primera igualdad, también hace cierta la segunda. El sistema tiene infinitas soluciones. Los sistemas con infinitas soluciones se llaman indeterminados. Gráficamente, las rectas que representan ambas ecuaciones tienen todos sus puntos comunes, es decir, coinciden. EJEMPLO

12 SISTEMAS DE ECUACIONES 12 Tema 6 2. Escribe un sistema de ecuaciones lineales que sea: a) Incompatible b) Indeterminado Representa gráficamente las ecuaciones. 3. Representa estos sistemas y di cuál es determinado, cuál es incompatible y cuál es indeterminado. a) x + y = 3 x – y = 5 ACTIVIDADES b) 2x – y = 1 2x – y = 5 c) x – 2y = 3 3x – 6y = 9

13 SISTEMAS DE ECUACIONES 13 Tema 6 3. Sistemas equivalentes Sistemas equivalentes: son aquellos que tienen las mismas soluciones Solución: x = 2, y = 1 Para resolver un sistema hay que obtener otro equivalente más sencillo 2x + 3y = 7 x = 4y – 2 –2x + 3y = –1 x – 4y = – 2 Son equivalentes

14 SISTEMAS DE ECUACIONES 14 Tema 6 Si a los dos miembros de una ecuación de un sistema se le suma o resta un mismo número o una misma expresión algebraica, resulta otro sistema equivalente al dado. 3x = –6 + 4y x + 2y = 8 3x – 4y = –6 x + 2y = 8 Sumamos 4y a los dos miembros de la primera ecuación

15 SISTEMAS DE ECUACIONES 15 Tema 6 Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un mismo número distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado. Multiplicamos los dos miembros de la segunda ecuación por 2. 3x = –6 + 4y x + 2y = 8 3x – 4y = –6 x + 2y = 8 3x – 4y = –6 2x + 4y = 16

16 SISTEMAS DE ECUACIONES 16 Tema 6 Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, resulta otro sistema equivalente al dado Sumamos a la segunda ecuación la primera. 3x – 4y = –6 2x + 4y = 16 3x – 4y = –6 5x = 10 3x – 4y = –6 x = 2 y = 3 x = 2

17 SISTEMAS DE ECUACIONES 17 Tema 6 4. Métodos para la resolución de sistemas lineales A continuación vas a aprender una serie de técnicas para resolver sistemas de ecuaciones. Todas siguen una línea común: obtener, a partir de las dos ecuaciones, otra ecuación de una sola incógnita. Resuelta esta, es tarea fácil obtener el valor de la otra incógnita.

18 SISTEMAS DE ECUACIONES 18 Tema 6 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Este método consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituir el valor obtenido en la otra. De esta manera, se obtiene una ecuación de una sola incógnita. EJEMPLO 1. Se despeja una incógnita: 2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación: 3. Se resuelve la ecuación de una incógnita: 4. Se calcula la incógnita en la ecuación despejada: 5. Se comprueba el resultado en el sistema inicial: La solución del sistema es: x + 21 – 6x = 11 x – 6x = 11 – 21 – 5x = – 10 y = 7 – 2·2 y = 7 – 4 = 3 2·2 + 3 = ·3 = 11 x = 2 y = 3 2x + y = 7 x + 3y = 11 x + 3(7 – 2x) = 11 y = 7 – 2x

19 SISTEMAS DE ECUACIONES 19 Tema 6 EJEMPLO 1. Se despeja una incógnita: 2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación: 3. Se resuelve la ecuación de una incógnita: 4. Se calcula la incógnita en la ecuación despejada: 5. Se comprueba el resultado en el sistema inicial: La solución del sistema es: 12 – 4y – 15y = 69 –4y – 15y = 69 – 12 – 19y = 57 3·4 + 2·(–3) = 6 2·4 – 5·(–3) = 23 x = 4 y = –3 3x + 2y = 6 2x – 5y = 23 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 3x = 6 – 2y

20 SISTEMAS DE ECUACIONES 20 Tema 6 4. Resuelve por sustitución: a) 2x – y = 8 4x + 5y = 2 c) 5x + 2y = 16 2x + 3y = 2 ACTIVIDADES d) 5x – 2y = 7 3x + 4y = –1 b) x – y = 6 2x + 3y = 7

21 SISTEMAS DE ECUACIONES 21 Tema 6 MÉTODO DE IGUALACIÓN En este método se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas. De esta forma, se obtiene una ecuación con una sola incógnita. 3x – 2y = 10 x + 3y = 7 1. Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. 3x = y 2. Igualar las expresiones obtenidas para la incógnita despejada. ¡Ya tenemos la ecuación con una sola incógnita! EJEMPLO 3. Resolver la ecuación obtenida y = 3(7 – 3y) 4. Sustituir el valor de la incógnita ya resuelta, en cualquiera de las expresiones obtenidas al principio. Solución: x = 4 y = y = 21 – 9y 11y = 11 y = = 1 11 x = 7 – 3y 5. Se comprueba el resultado en el sistema inicial: 3·4 – 2·1 = ·1 = 7

22 SISTEMAS DE ECUACIONES 22 Tema 6 5. Resuelve por el método de igualación: a) 2x – y = 8 4x + 5y = 2 c) x – 4y = 1 2x – 7y = 3 ACTIVIDADES b) x + y = 2 x – y = 10 d) 2x + 3y = 5 5x + 6y = 8

23 SISTEMAS DE ECUACIONES 23 Tema 6 MÉTODO DE REDUCCIÓN Consiste en multiplicar las ecuaciones por los números adecuados para que, al sumarlas, desaparezca una de las incógnitas. Así obtenemos una ecuación que sabemos resolver. 3x + y = 11 2x + 3y = Multiplicar los dos miembros de cada ecuación por los números adecuados para que los coeficientes de una de las incógnitas resulten de igual valor absoluto y signos contrarios. EJEMPLO 2. Se suman las ecuaciones: 3. Se resuelve la ecuación de una incógnita: 4. Se calcula la otra incógnita en la otra ecuación: 5. Se comprueba el resultado en el sistema inicial: La solución del sistema es: 9x + 3y = 33 –2x – 3y = –12 7x + 0 = 21 3·3 + 2 = 11 2·3 + 3·2 = 12 3x + y = 11 3·3 + y = y = 11 y = 2 x = 3 y = 2 3 (-1) 1

24 SISTEMAS DE ECUACIONES 24 Tema 6 1. Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas: 2. Se suman las ecuaciones: 3. Se resuelve la ecuación: 4. Se calcula la otra incógnita en la otra ecuación: 5. Se comprueba el resultado en el sistema inicial: ( ) ·2 ( ) ·(-3) La solución del sistema es: EJEMPLO x = 2 y = –3 3·2 – 2·(–3) = 12 2·2 + 5·(–3) = –11 3x – 2y = 12 3x – 2·(–3) = 12 3x + 6 = 12 6x – 4y = 24 –6x – 15y = 33 – 19y = 57 3x – 2y = 12 2x + 5y = –11 MÉTODO DE REDUCCIÓN

25 SISTEMAS DE ECUACIONES 25 Tema 6 6. Resuelve por el método de reducción: a) 2x – y = 8 4x + 5y = 2 c) 5x – 2y = 4 3x – 4y = 1 ACTIVIDADES b) x + y = 4 x – y = 6 d) 4x – 5y = 2 3x – 2y = 5

26 SISTEMAS DE ECUACIONES 26 Tema 6 Si las ecuaciones del sistema no están en forma general, primero las expresamos en forma general y después aplicamos un método. 3(2x + 1) – 4y = 4(1 – 2y) – 7 5x – 3y = 4x x – 4x – 3y = 10 6x – 4y + 8y = 4 – 7 – 3 3(10 + 3y) + 2y = –3 11y = –33 y = –3 x = y EJEMPLO 6x + 3 – 4y = 4 – 8y – 7 Transforma las ecuaciones hasta que estén en forma general Ya están en forma general. Ahora aplica algún método de resolución y + 2y = –3 y = –3 x – 3y = 10 6x + 4y = –6 x = y 3x + 2y = –3 x = 1

27 SISTEMAS DE ECUACIONES 27 Tema 6 5. Resolución de problemas con la ayuda de los sistemas de ecuaciones lineales PROBLEMA 1. Calcula dos números sabiendo que su suma es 119 y que el triple del menor sobrepasa en 17 unidades al doble del mayor. > Identifica y da nombre a los elementos del problema. El número menor x El número mayor y > Escribe las ecuaciones que relacionan los elementos del problema. x + y = 119 EJEMPLO La suma de ambos x + y El triple del menor 3x El doble del mayor 2y La suma de los números es 119 El triple del menor es 17 unidades más que el doble del mayor 3x = 2y + 17

28 SISTEMAS DE ECUACIONES 28 Tema 6 > Resuelve el sistema. x + y = 119 3x = 2y + 17 x = 119 – y 3(119 – y) = 2y + 17 y = 68 > Expresa la solución en el contexto del problema y compruébala. Solución: El número menor es 51. El número mayor es 68. Comprobación: PROBLEMA 1. Calcula dos números sabiendo que su suma es 119 y que el triple del menor sobrepasa en 17 unidades al doble del mayor. x = 119 – 68 x = – 3y = 2y = 5y ·51 = 153 2·68 = –136 17

29 SISTEMAS DE ECUACIONES 29 Tema 6 PROBLEMA 2. Alejandro ha pagado 6,6 euros por tres kilos de naranjas y dos de manzanas. En la misma frutería, Zoraida ha pagado 3,9 euros por dos kilos de naranjas y uno de manzanas ¿Cuánto cuesta un kilo de naranjas? ¿Y uno de manzanas? > Identifica y da nombre a los elementos del problema. Precio de un kilo de naranjas x Precio de un kilo de manzanas y > Escribe las ecuaciones que relacionan los elementos del problema. COSTE DE LA COMPRA DE ALEJANDRO 3x + 2y 6,6 3x + 2y = 6,6 2x + y = 3,9 EJEMPLO Coste de 3 kg de naranjas y 2 kg de manzanas 3x + 2y Coste de 2 kg de naranjas y 1 kg de manzanas 2x + y COSTE DE LA COMPRA DE ZORAIDA 2x + y 3,9

30 SISTEMAS DE ECUACIONES 30 Tema 6 > Resuelve el sistema. 3x + 2y = 6,6 2x + y = 3,9 x = 1,2 > Escribe la solución en el contexto del problema. Solución: Un kilo de naranjas cuesta 1,2 euros. Un kilo de manzanas cuesta 1,5 euros. Comprobación: Alejandro 3·1,2 = 3,6 2·1,5 = +3___ 6,6 euros Zoraida 2·1,2 = 2,4 1·1,5 = +1,5 3,9 euros PROBLEMA 2. Alejandro ha pagado 6,6 euros por tres kilos de naranjas y dos de manzanas. En la misma frutería, Zoraida ha pagado 3,9 euros por dos kilos de naranjas y uno de manzanas ¿Cuánto cuesta un kilo de naranjas? ¿Y uno de manzanas? –3x – 2y = –6,6 4x + 2y = 7,8 x = 1,2 2·1,2 + y = 3,9 2,4 + y = 3,9 y = 3,9 – 2,4 y = 1,5

31 SISTEMAS DE ECUACIONES 31 Tema 6 PROBLEMA 3. ¿Qué cantidades de café, uno de calidad superior, a 13 /kg y otro de calidad inferior, a 8 /kg, hay que aportar para conseguir 20 kg de mezcla que resulte a 10 /kg? > Identifica y da nombre algebraico a los elementos del problema. Kilos de café superior x Kilos de café inferior y > Escribe las ecuaciones que relacionan los elementos del problema. PESO DE LA MEZCLA: COSTE DE LA MEZCLA: EJEMPLO Coste del café superior 13x Coste del café inferior 8y 13x + 8y = 20·10 x + y = 20

32 SISTEMAS DE ECUACIONES 32 Tema 6 > Resuelve el sistema. x + y = 20 13x + 8y = (20 – y) + 8y = – 13y + 8y = – 200 = 13y – 8y 60 = 5y y = 60/5 y = 12 x + y = 20 y = 12 x + 12 = 20 x = 20 – 12 x = 8 > Expresa la solución en el contexto del problema. Solución: Para conseguir 20 kg de mezcla, a 10 euros/kg, se necesitan 8 kg de café superior y 12 kg de café inferior. Coste del café superior 8·13 = 104 Coste del café inferior 12·8 = + 96 Coste de la mezcla 200 Precio de la mezcla 200 : 20 = 10 /kg x = 20 – y Comprobación: PROBLEMA 3. ¿Qué cantidades de café, uno de calidad superior, a 13 /kg y otro de calidad inferior, a 8 /kg, hay que aportar para conseguir 20 kg de mezcla que resulte a 10 /kg?

33 SISTEMAS DE ECUACIONES 33 Tema 6 5. ¿Qué cantidades de aceite, uno puro de oliva, a 3 euros/l y otro de orujo, a 2 euros/l, hay que emplear para conseguir 600 litros de mezcla a 2,4 euros/l? 6. ¿Qué cantidades de oro, a 8 euros/g, y de plata, a 1,7 euros/g, hay que usar para obtener 1 kg de mezcla a 4,22 euros/g? ACTIVIDADES 3. Cinco bolígrafos y dos rotuladores cuestan 4,8. Cuatro rotuladores y tres bolígrafos cuestan 5,4. ¿Cuánto cuesta un bolígrafo? ¿Y un rotulador? 4. En cierta cafetería, por dos cafés y un refresco nos cobran 2,7 euros. Dos días después, nos cobraron 4,1 euros por un café y tres refrescos. ¿Cuánto cuesta un café? ¿Y un refresco? 1. Calcula dos números sabiendo que: - La suma de ambos es La diferencia de ambos es Calcula dos números sabiendo que el primero supera en 6 unidades a la quinta parte del segundo y, a su vez, el segundo supera en 6 unidades al doble del primero.

34 SISTEMAS DE ECUACIONES 34 Tema 6 Resolución gráfica 1. Observa el gráfico y responde: a) Escribe un sistema de ecuaciones lineales que tenga por solución x = 5, y = 6. b) Escribe un sistema cuya solución sea x = 7, y = 0. c) Escribe un sistema sin solución. d) Escribe un sistema con infinitas soluciones. 2. Representa gráficamente las siguientes ecuaciones lineales: x + y = 2 2y – x = 4 Escribe las coordenadas del punto de corte. Escribe la solución del sistema que forman ambas ecuaciones. EJERCICIOS DE LA UNIDAD

35 SISTEMAS DE ECUACIONES 35 Tema 6 3. Resuelve gráficamente: a) 2x – 3y = 0 2x + 3y = 12 Resolución algebraica 4. Resuelve por sustitución estos sistemas: a) x = 5 2x + 3y = 22 c) x + y = –4 2x + y = –1 5. Resuelve por igualación estos sistemas: a) x = y – 7 x = (y – 10)/2 c) 3x + 2y = 11 5x + 2y = 21 b) 2y = x + 8 y = 2x + 10 b) y = 3x – 1 5x + 2y = 9 d) 8x + 5y = 1 3x – 2y = 12 b) x + 2y = –5 x – 3y = 5 d) 4x – 5y = 10 x + 3y = –6 EJERCICIOS DE LA UNIDAD

36 SISTEMAS DE ECUACIONES 36 Tema 6 6. Resuelve por reducción estos sistemas: a) x + 2y = 5 3x – 2y = 7 c) 6x – 2y = 0 3x – 5y = Resuelve, por el método que consideres más oportuno, estos sistemas: a) 3x + y = 7 5x + 2y = 11 b) x + 3y = 7 4x – 3y = 13 c) 2x – y = 9 2x + 7y = 17 d) 2x – 5y = 14 7x + 4y = 6 b) 5x – y = 10 4x + 3y = 8 d) 7x – 5y = 10 2x – 3y = –5 EJERCICIOS DE LA UNIDAD

37 SISTEMAS DE ECUACIONES 37 Tema 6 9. Resuelve el siguiente sistema: 2(x – 1) = 3(y + 1) – 3 x – y = Resuelve: 4(2x – 7) – 5y = 0 3(3y – 4) – 4x = Resuelve: 3x – 1 = 4(y + 5) Resuelve: 3(x – 2) = y Resuelve: 14. Resuelve: EJERCICIOS DE LA UNIDAD

38 SISTEMAS DE ECUACIONES 38 Tema 6 Problemas para resolver con sistemas de ecuaciones 15. La suma de dos números es 87 y su diferencia 25. ¿Cuáles son esos números? 16. Calcula dos números de forma que su diferencia sea 43 y el triple del menor supere en cinco unidades al mayor. 17. Dos números están en la relación de 2 a 5 y su suma es 210. ¿De qué números se trata? x + y = Entre Pedro y yo tenemos 12 euros. Si yo le diera 1,7 euros entonces él tendría el doble que yo. ¿Cuánto tenemos cada uno? 19. Un puesto ambulante vende los melones y las sandías a un tanto fijo la unidad. Raquel compra 5 melones y 2 sandías por 9 euros. Alfredo compra 3 melones y 4 sandías por 7,5 euros. ¿Cuánto vale un melón? ¿Y una sandía? EJERCICIOS DE LA UNIDAD

39 SISTEMAS DE ECUACIONES 39 Tema Doscientos gramos de jamón y ciento cincuenta de queso cuestan 5,4 euros. Cien gramos de jamón y doscientos cincuenta de queso cuestan 4,8 euros. ¿Cuánto cuesta un kilo de jamón? ¿Y un kilo de queso? 21. En una granja, entre gallinas y conejos hay 100 cabezas y 252 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja? 22. Amelia tiene el triple de edad que su hermano Enrique, pero dentro de 5 años solo tendrá el doble. ¿Cuál es la edad de cada uno? Hoy Dentro de 5 años Amelia x x + 5 Enrique y y + 5 x = 3y x + 5 = 2(y + 5) 23. El doble de la edad de Sara coincide con la cuarta parte de la edad de su padre. Dentro de dos años la edad de Sara será la sexta parte de la de su padre. ¿Qué edad tiene cada uno? EJERCICIOS DE LA UNIDAD

40 SISTEMAS DE ECUACIONES 40 Tema Un comerciante tiene a la venta 50 pares de zapatillas deportivas, a 40 euros el par. Cuando lleva vendidos unos cuantos, los rebaja a 30 euros el par, continuando la venta hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de 1620 euros. ¿Cuántos pares vendió sin rebajar y cuántos rebajados? 26. En un club deportivo, los hombres y las mujeres están en relación de 2 a 3, pero si hubiera 40 hombres más y 30 mujeres menos, entonces estarían a la par. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres son socios del club? HOMBRES x x/y = 2/3 MUJERES y x + 40 = y – Un test consta de 50 preguntas y se evalúa sumando 2 puntos por cada acierto y restando 1,5 puntos por cada fallo. ¿Cuántos aciertos y cuántos fallos tendrá una persona cuya calificación es de 58 puntos? EJERCICIOS DE LA UNIDAD 24. Un fabricante de jabones envasa 550 kilos de detergente para lavadora en 200 paquetes, unos de 2 kilos y otros de 5 kilos. ¿Cuántos paquetes de cada clase ha llenado?

41 SISTEMAS DE ECUACIONES 41 Tema Un trabajador gana 60 euros en un turno de día y 80 euros en un turno de noche. ¿Cuántos días y cuántas noches ha trabajado en un mes, si en total ha hecho 24 turnos y ha recibido euros por su trabajo? 30. Un orfebre recibe el encargo de confeccionar un trofeo, en oro y plata, para un campeonato deportivo. Una vez realizado, resulta de un peso de gramos, habiendo costado 2840 euros. ¿Qué cantidad ha utilizado de cada metal precioso, si el oro sale por 8 euros/gramo y la plata por 1,7 euros/gramo? EJERCICIOS DE LA UNIDAD 28. Un taller de confecciones gana 0,75 euros por cada par de calcetines que entrega para la venta, pero pierde 2,5 euros por cada par defectuoso que desecha de la cadena de producción. ¿Cuántos pares válidos y cuántos defectuosos ha producido en una jornada, si en total ha fabricado 700 pares y ha obtenido una ganancia de 382 euros?

42 SISTEMAS DE ECUACIONES 42 Tema Un camión parte de cierta población a 90 km/h. Diez minutos después, sale en su persecución un coche a 110 km/h. Calcula el tiempo que tarda en alcanzarle y la distancia recorrida desde el punto de partida. 15 kmx - 15 x 33. Un peatón sale de A hacia B caminando a una velocidad de 4 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A un ciclista a 17 km/h. Si la distancia entre A y B es de 7 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse y a qué distancia de A lo hacen? 34. Calcula las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es 25 m más larga que ancha y que el perímetro mide 210 metros. EJERCICIOS DE LA UNIDAD 31. Un coche parte de A hacia B a 110 km/h. A la misma hora, sale de B hacia A un camión a 70 km/h. Sabiendo que la distancia de A a B es de 270 km, ¿cuánto tardan en encontrarse y a qué distancia de A lo hacen? 110 km/h 70 km/h xxAB

43 SISTEMAS DE ECUACIONES 43 Tema 6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES · La solución de un sistema de ecuaciones lineales es el par de valores que satisface ambas ecuaciones a la vez. 2x – y = 4 x + 3y = 9 · Gráficamente, la solución del sistema es el punto de corte de las rectas asociadas a las ecuaciones que lo forman. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 2x – y = 4 x + 3y = 9 SUSTITUCIÓN 18 – 6y – y = 4 18 – 4 = 6y + y 14 = 7y y = 2 x = 9 – 3y 2(9 – 3y) – y = 4 Solución: x = 3 y = 2 2·3 – 2 = ·2 = 9 x = 9 – 3y x = 9 – 3·2 x = 3

44 SISTEMAS DE ECUACIONES 44 Tema 6 2x – y = 4 x + 3y = 9 2x – y = 4 x + 3y = 9 REDUCCIÓN x + 3y = y = 9 3y = 9 – 3 3y = 6 y = 2 7x = 21 x = 3 6x – 3y = 12 x + 3y = 9 7x = 21 IGUALACIÓN 4 + y = 2(9 – 3y) 7y = 14 y = 2 x = (4 + y)/2 x = 9 – 3y (4 + y)/2 = 9 – 3y x = 9 – 3y x = 9 – 3·2 x = 3

45 SISTEMAS DE ECUACIONES 45 Tema 6 AUTOEVALUACIÓN 1. Resuelve gráficamente el sistema: x + y = 4 x – y = 2 2. Escribe un sistema incompatible. ¿Cuál es la interpretación gráfica de un sistema incompatible? 3. Resuelve por sustitución: 2x + y = 5 x – 3y = 6 4. Resuelve por igualación: 3x – 5y = 11 3x + 2y = 4 5. Resuelve por reducción: 5x – 2y = 14 x + 4y = Resuelve: 2(x – 1) + 3y = 2y – 7 7. Un cuaderno y cuatro carpetas cuestan 4,8 euros. Dos cuadernos y tres carpetas cuestan 5,1 euros. ¿Cuánto cuesta un cuaderno? ¿Y una carpeta? 8. ¿Qué cantidades de café, uno de calidad superior a 14 euros/kg y otro de calidad inferior a 9 euros/kg, hay que aportar para conseguir 15 kg de mezcla a 11 euros/kg?


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