1 Índice del libro www.editex.es Números reales 1.El conjunto de los números realesEl conjunto de los números reales 2.Representación de los números reales.

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1 1 Índice del libro www.editex.es Números reales 1.El conjunto de los números realesEl conjunto de los números reales 2.Representación de los números reales en la recta realRepresentación de los números reales en la recta real 3.Conjuntos en la recta realConjuntos en la recta real 4.Conjuntos acotados en la recta realConjuntos acotados en la recta real 5.Aproximaciones decimalesAproximaciones decimales 6.Redondeos y truncamientosRedondeos y truncamientos 7.ErroresErrores 8.Notación científica y orden de magnitudNotación científica y orden de magnitud 9.RadicalesRadicales 10. Operaciones con radicalesOperaciones con radicales 11. Racionalización de denominadoresRacionalización de denominadores

2 1 www.editex.es Números Reales 1. El conjunto de los números reales 1.1. El conjunto de los números racionales Existe una relación entre los números racionales y los números decimales: Cualquier número racional se puede expresar como un número entero, un decimal exacto o un decimal periódico. Cualquier número decimal exacto o periódico se puede expresar como un número racional.

3 1 www.editex.es Números Reales 1. El conjunto de los números reales 1.2. El conjunto de los números irracionales Los números irracionales son aquellos números decimales que tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos. Algunos de los números irracionales más importantes y utilizados son: El número de oro Φ (número áureo). Es la razón entre la diagonal de un pentágono regular y su lado. El número π. Es la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. El número e. Aparece en múltiples procesos biológicos, químicos, físicos, etc. Es el número al que tiende la función (1 + 1/x) x cuando x tiende a +∞ o -∞.

4 1 www.editex.es Números Reales 1. El conjunto de los números reales 1.2. El conjunto de los números reales El conjunto de los números racionales junto con los irracionales forma el conjunto de los números reales.

5 1 www.editex.es Números Reales 2. Representación de los números reales en la recta real 2.2. Números irracionales cualesquiera Un número irracional cualquiera se puede representar de forma aproximada en la recta real mediante aproximaciones decimales sucesivas. Por ejemplo, vamos a representar el número π: Para ello, utilizamos el siguiente procedimiento: Aproximación a décimas. Dividimos el segmento entre 3 y 4 en diez partes iguales, y tomamos un punto cualquiera entre 3,1 y 3,2 como muestra la figura. Este punto es la representación de π con error menor de 1 décima. Aproximación a centésimas. Dividimos el segmento entre 3,1 y 3,2 en diez partes iguales, y tomamos un punto cualquiera entre 3,14 y 3,15 como muestra la figura. Este punto es la representación de π con error menor de 1 centésima. Continuando con este procedimiento obtenemos la aproximación de π que deseemos.

6 1 www.editex.es Números Reales 3. Conjuntos en la recta real Dentro de la recta real podemos definir una serie de subconjuntos, entre los que se encuentran los intervalos y los entornos. Estos subconjuntos tienen gran importancia en el estudio de las funciones. Su definición está basada en la relación de orden de los números reales.

7 1 www.editex.es Números Reales 3. Conjuntos en la recta real

8 1 www.editex.es Números Reales 4. Conjuntos acotados en la recta real 4.1. Conjuntos acotados superiormente Si en un conjunto de números reales podemos encontrar una barrera de forma que todos los números del conjunto estén a la izquierda de esta barrera, afirmamos que ese conjunto está acotado superiormente.

9 1 www.editex.es Números Reales 4. Conjuntos acotados en la recta real 4.1. Conjuntos acotados inferiormente Si en un conjunto de números reales podemos encontrar una barrera de forma que todos los números del conjunto estén a la derecha de esta barrera, afirmamos que ese conjunto está acotado inferiormente.

10 1 www.editex.es Números Reales 4. Conjuntos acotados en la recta real 4.1. Conjuntos acotados inferiormente Si todos los elementos de un conjunto de números reales se encuentran entre dos barreras afirmamos que el conjunto está acotado. Cuando afirmamos que un conjunto no está acotado puede ocurrir: Que no esté acotado ni superior ni inferiormente. Que esté acotado superiormente, pero no inferiormente. Que esté acotado inferiormente, pero no superiormente.

11 1 www.editex.es Números Reales 5. Aproximaciones decimales Los números irracionales y los números decimales periódicos tienen infinitas cifras decimales, por lo cual, para trabajar con ellos, necesitamos utilizar aproximaciones de los mismos.

12 1 www.editex.es Números Reales 6. Redondeos y truncamientos El redondeo de orden n de un número es la mejor aproximación decimal de orden n que se puede dar de ese número. En la práctica se escribe el número exacto en forma decimal. Observamos la cifra que ocupa el lugar de orden n, objeto del redondeo; si la cifra siguiente es inferior a 5, el redondeo es la aproximación decimal por defecto, y si es mayor o igual que 5, el redondeo coincide con la aproximación decimal por exceso.

13 1 www.editex.es Números Reales 6. Redondeos y truncamientos El truncamiento de orden n de un número es su aproximación decimal por defecto de orden n. En la práctica, para hacer truncamiento de orden n se eliminan todas las cifras a partir de ese orden. Cuando el redondeo es la aproximación por defecto del número, coincide con el truncamiento en forma decimal.

14 1 www.editex.es Números Reales 7. Errores El error absoluto de una aproximación es la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real y el aproximado. |valor real – valor aproximado| = error absoluto La cota del error absoluto es un número que verifica: |valor real – valor aproximado| < cota de error La cota de error de una aproximación decimal de orden n, por defecto o por exceso, es una unidad de ese orden. Cuando la aproximación decimal sea un redondeo de orden n, la cota de error es media unidad de ese orden. El error cometido por cada unidad se llama error relativo, y viene dado por: error relativo = (error absoluto / valor real)

15 1 www.editex.es Números Reales 8. Notación científica y orden de magnitud Expresar un número en notación científica es ponerlo como un producto cuya cifra de unidades es un dígito del 1 al 9 seguido de una parte decimal, por una potencia de base 10 y exponente entero. Simbólicamente: a,bcd … · 10 n El orden de magnitud de un número es la potencia de 10 más cercana a dicho número.

16 1 www.editex.es Números Reales 9. Radicales

17 1 www.editex.es Números Reales 10. Operaciones con radicales 10.1. Radicales de igual índice El producto de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el índice común, y por radicando, el producto de los radicandos. El cociente de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el índice común, y por radicando, el cociente de los radicandos. La potencia de una raíz es otra raíz que tiene por índice el mismo, y por radicando, la potencia del radicando. La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índices, y por radicando, el mismo.

18 1 www.editex.es Números Reales 11. Racionalización de denominadores Se llama racionalización de denominadores al procedimiento por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador de una fracción.