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José Luis Gómez Muñoz. Cuando yo tenía dieciséis años, mi profesor Rubén Andonegui solía preguntarnos: ¿Cuándo te has encontrado un cinco tirado en.

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1 José Luis Gómez Muñoz

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3 Cuando yo tenía dieciséis años, mi profesor Rubén Andonegui solía preguntarnos: ¿Cuándo te has encontrado un cinco tirado en la calle? ¿O un tres?

4 ¿Cuándo te has encontrado un cinco tirado en la calle? ¿O un tres?

5 ¿Cuándo te has encontrado un cinco tirado en la calle? ¿O un tres? Seguramente nunca, porque un cinco no es un objeto real, es una abstracción mental, una idea.

6 Aprendiendo a contar Esto se hace más evidente cuando convivimos con una niña muy pequeña que apenas está aprendiendo a contar. La mamá, o el hermano mayor, o la tía, repite una y otra vez con la niña uno, dos, tres… contando pelotas, o piezas de un rompecabezas, o las teclas de un pianito.

7 El significado del juego Quizás al principio, para la niña sólo será un juego, una cancioncita que se repite en orden al mismo tiempo que se señalan objetos; tendrá que pasar algún tiempo antes de que pueda abstraer la idea de cantidad

8 El cinco como abstracción Por ejemplo, si a cinco manzanas le quitamos dos manzanas quedan tres manzanas

9 El cinco como abstracción Por ejemplo, si a cinco manzanas le quitamos dos manzanas quedan tres manzanas. Si a cinco pasteles le quitamos dos pasteles quedan tres pasteles.

10 El cinco como abstracción Como esto sigue siendo cierto para cualquier tipo de objeto que contemos, podemos decir que si a cinco le quitamos dos, quedan tres. ¿Cinco qué? ¿Cinco manzanas? ¿Cinco pasteles? ¿Cinco juguetes? No importa, si a cinco le quitas dos, quedan tres

11 Un cinco no es un objeto Pero un cinco no es un objeto, jamás encontrarás un cinco tirado en la calle.

12 Un cinco no es un objeto Pero un cinco no es un objeto, jamás encontrarás un cinco tirado en la calle. Lo que si podrías encontrar tirado es un papel donde estuviera escrito el símbolo que utilizamos para representar la idea abstracta de cinco, es decir, un papel que tuviera escrito 5.

13 Otro paso en la abstracción Y eso nos lleva a otro paso más en la abstracción que la niña tendrá que dar; cuando llegue a la escuela, ya ni siquiera dirá la frase con palabras: si a cinco le quitas dos, quedan tres, en lugar de eso utilizará símbolos: 5-2=3

14 ¿Porqué sufrir con las abstracciones? Ya ni siquiera dirá la frase con palabras: si a cinco le quitas dos, quedan tres, en lugar de eso utilizará símbolos: 5-2=3. ¿Por qué debe esforzarse la niña en aprender estas abstracciones y simbología?

15 Porque esas abstracciones son útiles para la vida diaria.

16 Hasta para comprar refrescos son útiles las abstracciones Cuando la niña sea más grande y vaya a comprar cinco refrescos de a ocho pesos cada uno, y pague con un billete de cien pesos, tendrá que trabajar con esas abstracciones para saber si le dieron el cambio correcto.

17 ¿Qué pasa con los niños que no aprenden a manejar esas abstracciones? Si ella no aprendiera a manejar los números, entonces durante su vida sería víctima fácil de los estafadores.

18 Jorge Luis Borges Si uno dijera que en un planeta lejano hay caballos azules, podríamos creerlo. Pero si nos dicen que tres [mas] cuatro caballos forman noventa y siete caballos, sabríamos que es imposible

19 Ernesto Sábato Es la diferencia entre probable y posible. Es probable que haya caballos azules, pero es imposible que tres caballos azules mas cuatro caballos azules formen noventa y siete caballos azules. Esa suma es universal, y vale para siempre, en cualquiera de los mundos reales o imaginarios

20 Las Matemáticas según un gran Matemático Bertrand Russell, un gran Matemático del siglo XX, alguna vez definió las Matemáticas como el área de estudio donde …nunca sabemos de que estamos hablando…

21 Las Matemáticas según un gran Matemático Bertrand Russell, un gran Matemático del siglo XX, alguna vez definió las Matemáticas como el área de estudio donde …nunca sabemos de que estamos hablando… Esta frase no se refiere al pobre estudiante que sufre con los exámenes y que no tiene ni… idea de lo que está calculando. No, Bertrand Russell no se refería a eso

22 Las Matemáticas según un gran Matemático Una de las ventajas de las Matemáticas es que no tenemos necesidad de saber de que estamos hablando Por eso las Matemáticas son el área de estudio donde …nunca sabemos de que estamos hablando…

23 Dos problemas distintos con el mismo método de solución Se tiene 1000 metros de alambre y se quiere cercar un terreno cuadrado. ¿Cuánto debe medir cada lado? Se llenan 4 jarras de igual volumen con 1000 mililitros de agua. ¿Cuánto es el volumen de cada jarra? Cada lado de la cerca debe medir 250 metros. El volumen de cada jarra es de 250 mililitros.

24 Eric Temple Bell La abstracción, a veces manejada como un reproche a las Matemáticas, es de hecho su mayor gloria y su más segura [ventaja] en las aplicaciones prácticas

25 Entonces, ¿Porqué que le reprochamos a las Matemáticas que sean abstractas? Para la mayoría de los seres humanos, es más sencillo el razonamiento concreto que el abstracto, es decir, es más sencillo cuando sabemos de que estamos hablando.

26 Pero incluso la abstracción no es suficiente para un profesionista Muchos estudiantes sí logran manejar las abstracciones (por ejemplo, resolver exitosamente ecuaciones), pero eso, que de por sí ya es difícil, no es suficiente para un profesionista.

27 Un profesionista debe poder modelar la realidad Un profesionista debe transformar las situaciones de la vida real en abstracciones, lo suficientemente sencillas para poder trabajar con ellas, pero lo suficientemente elaboradas para que reflejen adecuadamente la realidad, al menos la parte de la realidad que le interesa.

28 La abstracción no es exclusiva de las Matemáticas Arte Abstracto Arte Concreto

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30 Entonces la abstracción, tan útil y tan poderosa, tiene como desagradable efecto secundario que las Matemáticas sean difíciles Pero hay más razones por las cuales se nos dificultan las Matemáticas

31 ¿Porqué los contratos son tan difíciles de leer? Usualmente es muy tedioso y aburrido leer los contratos os/contrato_cv_vehiculos.doc os/contrato_cv_vehiculos.doc ¿Porqué son tan difíciles de leer?

32 Un contrato debe ser muy específico, debe tratar de explicar que pasará en cualquier caso posible

33 En caso de que haya un conflicto entre las firmantes de un contrato bien redactado, idealmente cualquier juez llegaría al mismo veredicto acerca de quien es el culpable

34 Ese nivel de certidumbre jurídica, que ante un conflicto, cualquier juez llegue a la misma conclusión, no se logra en la vida real

35 Pero los contratos y las leyes deben ser redactadas de tal manera que se acerquen lo más posible a ese ideal de justicia

36 Desafortunadamente, una redacción de un contrato que implique una única interpretación en cada posible caso, tiene que ser tan específica y técnica que se vuelve difícil de leer, incluso aburrida

37 Intenten leer sin aburrirse todas las cláusulas del contrato para que el banco les de una tarjeta de crédito

38 Las Matemáticas aspiran también a ese nivel de certidumbre Para que una definición Matemática signifique exactamente lo mismo para cualquier matemático, ingeniero o científico, debe ser muy específica

39 Las Matemáticas aspiran también a ese nivel de certidumbre Para que una definición Matemática signifique exactamente lo mismo para cualquier matemático, ingeniero o científico, debe ser muy específica Tan específica, que se vuelve difícil de leer, incluso aburrida

40 Ejemplo de definición Matemática

41 Entonces las Matemáticas son abstractas y precisas Ambas características dan a las Matemáticas su poder en las aplicaciones prácticas Pero ambas características también contribuyen a que las Matemáticas sean difíciles

42 Pero todavía hay más razones que contribuyen a que las Matemáticas sean difíciles Las Matemáticas son también un lenguaje humano, y todos los lenguajes humanos contienen sinónimos, homónimos, excepciones, etc.

43 Homónimos en Español: Tres significados distintos de la palabra llama Llama a la llama para que no le queme la llama

44 ¿Cómo sabes que significa llama? Llama a la llama para que no le queme la llama ¿Cómo sabes cuándo llama significa fuego, cuándo llama significa llamar, y cuándo llama es un animal sudamericano?

45 Homónimos en Matemáticas: Tres significados distintos del signo = A cada número que te den, multiplícalo por veinte y súmale cuatro ¿Cuál es el numero cuyo cuadrado mas veinticinco veces el número mas cuarenta y uno da cero? El cuadrado del coseno de un ángulo mas el cuadrado del seno del mismo ángulo siempre da uno..

46 Reglas, preguntas y afirmaciones Esta es una regla: A cada número que te den, multiplícalo por veinte y súmale cuatro Esta es una pregunta: ¿Cuál es el numero cuyo cuadrado mas veinticinco veces el número mas cuarenta y uno da cero? Esta es una afirmación: El cuadrado del coseno de un ángulo mas el cuadrado del seno del mismo ángulo siempre da uno..

47 Funciones, ecuaciones e identidades son tres cosas distintas En Matemáticas, a las reglas se les llama FUNCIONES En Matemáticas, a las preguntas se les llama ECUACIONES En Matemáticas, a las afirmaciones se les llama IDENTIDADES

48 ¿Cómo distinguir entre funciones, ecuaciones e identidades? ¿Cómo saber cuando el signo = representa una Función, cuando representa una Ecuación y cuando representa una Identidad?

49 De la misma forma que distingues homónimos en Español ¿Cómo saber cuando el signo = representa una Función, cuando representa una Ecuación y cuando representa una Identidad? De la misma forma como sabes cuando llama significa fuego y cuando llama significa llamar

50 Más homónimos en Matemáticas: Dos significados distintos del superíndice -1 Escrito de esta manera, el superíndice indica un exponente negativo. Escrito de esta manera, el superíndice NO indica un exponente

51 Fallas en la inducción en Español Todo niño pequeño, en algún momento de su vida, dice escribido. Inmediatamente sus parientes le corrigen: escrito

52 Fallas en la inducción en Español Si el niño jamás escuchó a nadie decir escribido, ¿Porqué lo dice? ¿Cómo se le ocurrió?

53 Fallas en la inducción en Matemáticas Todo alumno de Ingeniería, en algún momento de su carrera, escribe en algún procedimiento: Inmediatamente sus profesores le corrigen:

54 Fallas en la inducción en Matemáticas Si el estudiante de ingeniería jamás vio en libros de Matemáticas la siguiente identidad errónea, ¿Porqué la escribe? ¿Cómo se le ocurrió?

55 ¿Por qué son poderosas las Matemáticas? Las Matemáticas son poderosas porque: Son abstractas Son precisas Son un lenguaje humano

56 ¿Por qué son difíciles las Matemáticas? Las Matemáticas son difíciles porque: Son abstractas Son precisas Son un lenguaje humano

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