2 5 OM THALES. “El Robot” Problema nº 1: “El Robot” “Guardando monedas” Problema nº 2: “Guardando monedas” “Concurso de ingenio” Problema nº 3: “Concurso.

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1 2 5 OM THALES

2 “El Robot” Problema nº 1: “El Robot” “Guardando monedas” Problema nº 2: “Guardando monedas” “Concurso de ingenio” Problema nº 3: “Concurso de ingenio” “Señales clave en las carreteras” Problema nº 4: “Señales clave en las carreteras” “Puente de Triana” Problema nº 5: “Puente de Triana” “Decoración” Problema nº 6 (Problema CASIO): “Decoración” XXXII OLIMPIADA MATEMÁTICA THALES

3 2 5 OM THALES EL ROBOT

4 2 5 OM THALES Menú Problema 1: EL ROBOT En la empresa del profesor Thayton se fabrican 3 clases de robots, los alfa (α), los beta (β) y los gamma (γ) y de cada uno de ellos existen tres modelos, el 1, el 2 y el 3. En la empresa los tienen almacenados, sin mezclar, en nueve habitaciones, como la que se muestra en el plano de la figura.

5 2 5 OM THALES El profesor Thayton tiene escrito en su cuaderno de anotaciones los siguientes datos: En cada fila y en cada columna hay un modelo 1, 2 y 3. Todos los modelos 2 están en una diagonal del plano. Todas las habitaciones donde están los robots de la clase alfa tienen al menos en común un punto de contacto. Las habitaciones de los robots de la clase gamma no están en contacto unas con otras. La clase beta tiene dos modelos de robots en dos habitaciones que están en contacto y el otro está en una habitación que no tiene nada en común con las otras. A la derecha de la habitación del modelo 2 de la clase gamma se encuentra la habitación del modelo 1 de la clase beta. Coloca de forma razonada cada modelo de robot en su habitación correspondiente. Solución Menú Problema 1: EL ROBOT

6 2 5 OM THALES Para resolver el problema nos ayudamos de la cuadrícula propuesta en el problema y comenzamos con la segunda condición. Enunciado Solución : Menú (2) Todos los modelos 2 están en una diagonal del plano.

7 2 5 OM THALES Solución : Enunciado Menú α2 β2 γ2 (2) Todos los modelos 2 están en una diagonal del plano. Para resolver el problema nos ayudamos de la cuadrícula propuesta en el problema y comenzamos con la segunda condición.

8 2 5 OM THALES Continuamos explorando en «nuestra bolsa», ahora nos fijamos en la condición (6). Al aplicarla, quitamos los lugares donde no puede estar γ2 ya que debe tener a su derecha β1. Solución : Enunciado Menú α2 β2 γ2 (2) Todos los modelos 2 están en una diagonal del plano. (6) A la derecha de la habitación del modelo 2 de la clase gamma se encuentra la habitación del modelo 1 de la clase beta.

9 2 5 OM THALES Solución : Enunciado Menú (6) A la derecha de la habitación del modelo 2 de la clase gamma se encuentra la habitación del modelo 1 de la clase beta. Continuamos explorando en «nuestra bolsa», ahora nos fijamos en la condición (6). Al aplicarla, quitamos los lugares donde no puede estar γ2 ya que debe tener a su derecha β1. α2 β2 γ2α2 β2 α2 β2 γ2 α2 β2

10 2 5 OM THALES (4) Las habitaciones de los robots de la clase gamma no están en contacto unas con otras. Mirando ahora la condición (4), llegamos a la conclusión que en la casilla central no puede estar γ2, ya que esta casilla está en contacto con todas las otras. Por lo tanto, γ2 solo tendría dos opciones para poder situarse. Solución : Enunciado Menú (6) A la derecha de la habitación del modelo 2 de la clase gamma se encuentra la habitación del modelo 1 de la clase beta. α2 β2 γ2α2 β2 α2 β2 γ2 α2 β2

11 2 5 OM THALES (4) Las habitaciones de los robots de la clase gamma no están en contacto unas con otras. Mirando ahora la condición (4), llegamos a la conclusión que en la casilla central no puede estar γ2, ya que esta casilla está en contacto con todas las otras. Por lo tanto, γ2 solo tendría dos opciones para poder situarse. Solución : Enunciado Menú α2 β2 γ2α2 β2 α2 β2 γ2α2 β2 Analizamos la primera de ellas, la de arriba.

12 2 5 OM THALES (6) A la derecha de la habitación del modelo 2 de la clase gamma se encuentra la habitación del modelo 1 de la clase beta. Recordamos la (6) y colocamos β1. Solución : Enunciado Menú γ2α2 β2 (4) Las habitaciones de los robots de la clase gamma no están en contacto unas con otras.

13 2 5 OM THALES (6) A la derecha de la habitación del modelo 2 de la clase gamma se encuentra la habitación del modelo 1 de la clase beta. (2) Todos los modelos 2 están en una diagonal del plano. Recordamos la (6) y colocamos β1. También recordamos (2) y borramos la otra diagonal. Solución : Enunciado Menú γ2β1β1α2 β2

14 2 5 OM THALES (6) A la derecha de la habitación del modelo 2 de la clase gamma se encuentra la habitación del modelo 1 de la clase beta. (2) Todos los modelos 2 están en una diagonal del plano. Recordamos la (6) y colocamos β1. También recordamos (2) y borramos la otra diagonal. Solución : Enunciado Menú γ2β1β1 α2 β2

15 2 5 OM THALES (6) A la derecha de la habitación del modelo 2 de la clase gamma se encuentra la habitación del modelo 1 de la clase beta. (2) Todos los modelos 2 están en una diagonal del plano. Solución : Enunciado Menú γ2β1β1 α2 β2 Con (2) y (6) cumplidas, me fijo ahora en (1): Completo los números: (1) En cada fila y en cada columna hay un modelo 1, 2 y 3.

16 2 5 OM THALES Solución : Enunciado Menú γ2β1β13 3α2 β21 13 Con (2) y (6) cumplidas, me fijo ahora en (1): Completo los números: (1) En cada fila y en cada columna hay un modelo 1, 2 y 3.

17 2 5 OM THALES (4) Las habitaciones de los robots de la clase gamma no están en contacto unas con otras. Con (1), (2) y (6) cumplidas, vemos ahora la condición (4): Para que los gamma no estén en contacto, se quedan varias celdas sin poder ser gamma. Solución : Enunciado Menú γ2β13 3α2 β21 13 (1) En cada fila y en cada columna hay un modelo 1, 2 y 3.

18 2 5 OM THALES (4) Las habitaciones de los robots de la clase gamma no están en contacto unas con otras. Con (1), (2) y (6) cumplidas, vemos ahora la condición (4): Para que los gamma no estén en contacto, se quedan varias celdas sin poder ser gamma. También podemos ver claramente, que la única combinación de números «1» y «3» para que no se toquen son las que veremos en la siguiente diapositiva: Solución : Enunciado Menú γ2β13 3α2 β21 13

19 2 5 OM THALES Quedaría: Por lo tanto, con las condiciones (1), (2), (4) y (6) impuestas, nos van quedando cada vez menos posibilidades. Solución : Enunciado Menú γ2γ2β1γ3γ3 3α2 β21 γ1γ13 (4) Las habitaciones de los robots de la clase gamma no están en contacto unas con otras.

20 2 5 OM THALES Aplicamos ahora la condición (5) Esta condición nos lleva «claramente» a que la celda central debe ser α2, porque si fuese β2, estaría en contacto con todas las otras celdas, incumpliendo así la condición 5. Por ahora, para colocar β3 tenemos dos posibilidades las cuales cumplirían (5). Tendremos que acudir a la condición que nos queda. Solución : Enunciado Menú (5) La clase beta tiene dos modelos de robots en dos habitaciones que están en contacto y el otro está en una habitación que no tiene nada en común con las otras. (4) Las habitaciones de los robots de la clase gamma no están en contacto unas con otras. γ2β1γ3γ3 3α2 β21 γ1γ13

21 2 5 OM THALES Aplicamos ahora la condición (5) Esta condición nos lleva «claramente» a que la celda central debe ser α2, porque si fuese β2, estaría en contacto con todas las otras celdas, incumpliendo así la condición 5. Por ahora, para colocar β3 tenemos dos posibilidades las cuales cumplirían (5). Tendremos que acudir a la condición que nos queda. Solución : Enunciado Menú (5) La clase beta tiene dos modelos de robots en dos habitaciones que están en contacto y el otro está en una habitación que no tiene nada en común con las otras. γ2β1γ3γ3 3α21 γ1γ13β2

22 2 5 OM THALES Tenemos dos posibilidades de colocar α3. Una de ellas (todos los robots α en la misma fila), incumplen la condición (3), por lo tanto, la única posibilidad que nos queda es: Solución : Enunciado Menú (3) Todas las habitaciones donde están los robots de la clase alfa tienen al menos en común un punto de contacto. (5) La clase beta tiene dos modelos de robots en dos habitaciones que están en contacto y el otro está en una habitación que no tiene nada en común con las otras. γ2β1γ3γ3 3α21 γ1γ13β2

23 2 5 OM THALES Solución : Enunciado Menú γ2β1γ3 3α21 γ1α3β2 (3) Todas las habitaciones donde están los robots de la clase alfa tienen al menos en común un punto de contacto. Tenemos dos posibilidades de colocar α3. Una de ellas (todos los robots α en la misma fila), incumplen la condición (3), por lo tanto, la única posibilidad que nos queda es:

24 2 5 OM THALES Al completar podemos comprobar que cumple las condiciones: En cada fila y en cada columna hay un modelo 1, 2 y 3. Todos los modelos 2 están en una diagonal del plano. Todas las habitaciones donde están los robots de la clase alfa tienen al menos en común un punto de contacto. Las habitaciones de los robots de la clase gamma no están en contacto unas con otras. La clase beta tiene dos modelos de robots en dos habitaciones que están en contacto y el otro está en una habitación que no tiene nada en común con las otras. A la derecha de la habitación del modelo 2 de la clase gamma se encuentra la habitación del modelo 1 de la clase beta. Solución : Enunciado Menú γ2β1γ3 β3α2α1 γ1α3β2

25 2 5 OM THALES Recordamos, que en una diapositiva anterior dejamos otra opción «abierta»: Dicha opción sería: ¿Habrá que hacer el mismo razonamiento? α2 β2 γ2α2 β2 α2 β2 γ2α2 β2 γ2α2 β2 Solución : Enunciado Menú

26 2 5 OM THALES Pues bien, si lo hiciésemos iríamos llegando a las mismas conclusiones: por ejemplo, que la casilla central debe ocuparla α2…; pero, mirando las dos tablas, podemos pensar en un espejo y ¡voilà! Llegamos a la otra solución: Espejo, espejito… γ2β1γ3 β3α2α1 γ1γ1α3β2 γ1γ1α3β2 β3α2α1 γ2β1γ3 Solución : Enunciado HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES... … pero ¿habrá más formas de calcularlas? Menú

27 2 5 OM THALES GUARDANDO MONEDAS

28 2 5 OM THALES Solución Problema 2: GUARDANDO MONEDAS Dª Elvira Guardalotodo decide conservar toda su fortuna repartiéndolas en los siete cofres que posee. En el primer cofre guarda los 2/3 del total de sus monedas; en el segundo cofre mete los 2/3 del resto y así sucesivamente hasta el séptimo cofre. Cuando hubo terminado le quedaba a Dª Elvira en las manos una única moneda que se la guardó en su monedero. ¿Cuál es el total de monedas que compone la fortuna de Dª Elvira Guardalotodo? ¿Cuántas monedas ha guardado en cada cofre? Razona tus respuestas. Menú

29 2 5 OM THALES Solución : La moneda que le queda entre las manos es 1/3 de las que tenía antes de guardar las correspondientes al 7º cofre, por lo que es fácil deducir cuántas tenía y cuántas guardó en este cofre. Menú Efectivamente guardó 2 monedas en el 7º cofre (como 1/3 es 1 los 2/3 son 2) y antes tenía 3. Después de guardar las monedas en el 6º cofre le quedaba 3 monedas, que es 1/3 de las que tenía antes de guardarlas, de aquí se deduce fácilmente cuál era el número de monedas que introduce en el 6º cofre y cuántas tenía antes. Para resolver un problema se puede realizar usando múltiples métodos o estrategias; una de ellas es el estudio del mismo de atrás hacia adelante y partiendo de lo que nos queda al final llegar a lo que teníamos al inicio. Y así es como vamos a abordar la resolución de este problema de “GUARDANDO MONEDAS”. Enunciado

30 2 5 OM THALES Solución : Estas 9 monedas son las que le sobraban después de haber guardado las del 5º cofre y que son 1/3 de las que tenía antes de guardarlas, por lo que rápidamente deducimos cuántas tenía antes y cuántas se guardaron en este cofre. Enunciado Menú Siguiendo con el mismo razonamiento puedes ir calculando cuántas monedas hay en el resto de los cofres. Fácilmente habrá averiguado que en el 5º cofre guardó 18 monedas (ya que si 1/3 son 9 los 2/3 serán 18) y antes disponía de 27 monedas. Con toda certeza habrá deducido que en el 6º cofre introdujo 6 monedas (porque si 1/3 son 3 los 2/3 serán 6) y que antes de hacerlo tenía 9 monedas.

31 2 5 OM THALES Solución : En el 4º cofre guardó 54 monedas En el 3º cofre metió 162 monedas En el 2º cofre reservó 486 monedas Y en el 1º cofre introdujo 1458 monedas Enunciado Menú

32 2 5 OM THALES Solución : Ahora averigüemos cuál es el total de monedas que constituye la fortuna de Dª Elvira Guardalotodo. Lo podemos calcular de varias formas: a) Sumando a la moneda que le sobró las que se han guardado en cada cofre, 1 + 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 + 1458 = 2187 monedas b) Si 1458 monedas son los 2/3 del total de la fortuna, entonces ésta estará formada por 1458 · 3 : 2 = 2187 monedas Enunciado Menú

33 2 5 OM THALES Solución : Resumiendo : La fortuna de Dª Elvira Guardalotodo está constituida por un total de 2187 monedas, que distribuyó de la siguiente forma: - En el 1º cofre 1458 monedas - En el 2º cofre 486 monedas - En el 3º cofre 162 monedas - En el 4º cofre 54 monedas - En el 5º cofre 18 monedas - En el 6º cofre 6 monedas - En el 7º cofre 2 monedas - Y en el monedero 1 moneda Enunciado HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES... … pero ¿habrá más formas de calcularlas? Menú

34 2 5 OM THALES Concurso de Ingenio

35 2 5 OM THALES Solución Menú Problema 3: CONCURSO DE INGENIO A un concurso de ingenio se presentan cuatro amigos y deben resolver cuatro retos cada uno de ellos. Una vez terminada las cuatro pruebas, para conocer la clasificación, debes calcular la puntuación obtenida por cada uno de ellos, que depende del tiempo que han empleado. El tiempo óptimo para cada prueba es de dos minutos para el jeroglífico y el sudoku y un minuto y medio para las otras dos pruebas. Todos parten de 100 puntos y por cada segundo de más de este tiempo se penaliza con 2 puntos y por cada segundo de menos se recompensan con 2 puntos. Si los tiempos son los de la tabla, ¿cómo quedaría la clasificación? Puzle JeroglíficoSudokuTangram Isaac 1 m 50 s 2,5 m 2 m 5 s 1 m 15 s María 1 m 45 s 2 m 12 s 1 m 54 s 1 m 5 s Elena 1 m 5 s 2 m 10 s 2 m 27 s 1 m 48 s Pedro 2 m 5 s 1 m 38 s 1 m 55 s 1 m 23 s Busca una fórmula para calcular las puntuaciones. Razona las respuestas

36 2 5 OM THALES Solución : Menú Para calcular la clasificación de cada jugador vamos a expresar el tiempo empleado en cada una de las pruebas en segundos. Sabemos que cada jugador parte de 100 puntos y por cada segundo que excede en cada prueba pierde 2 puntos y por cada segundo de menos gana 2 puntos. Como se pierden o se ganan 2 puntos tanto si se tarda un segundo más o si se tarda un segundo menos, en realidad lo que verdaderamente importa es el tiempo total empleado en las cuatro pruebas. Enunciado

37 2 5 OM THALES Solución : Puzle JeroglíficoSudokuTangram Isaac110 s150 s125 s 75 s María105 s132 s114 s 65 s Elena 65 s130 s147 s108 s Pedro125 s 98 s115 s 83 s Veamos la tabla con los tiempos, en segundos: Realizamos la suma de los tiempos empleados por cada uno de ellos y así obtendríamos la clasificación: Isaac460 s María416 s Elena450 s Pedro421 s Enunciado Menú

38 2 5 OM THALES Solución : Por lo que la clasificación quedaría, teniendo en cuenta que a menor tiempo mejor posición: 1ª posición: María 2ª posición: Pedro 3ª posición: Elena 4ª posición: Isaac Enunciado Menú

39 2 5 OM THALES Solución : Ahora vamos a calcular la puntuación que ha obtenido cada uno de ellos. Para ello, vamos a considerar el tiempo óptimo de realización de las cuatro pruebas: Puzle 90 s; Jeroglífico 120 s; Sudoku 120 s y Tangram 90 s. Hacen un total de 420 segundos. Veamos la puntuación de cada uno de ellos: Isaac: 100 + 2 (420 – 460) = 20 puntos María: 100 + 2 (420 – 416) = 108 puntos Elena: 100 + 2 (420 – 450) = 40 puntos Pedro: 100 + 2 (420 – 421) = 98 puntos Para calcular la puntuación vamos a partir de los 100 puntos y multiplicaremos por dos la diferencia entre el tiempo óptimo y el tiempo empleado por cada uno de los amigos. Enunciado Menú

40 2 5 OM THALES Solución : Para obtener una fórmula que nos permita calcular la puntuación vamos a llamar “ t ” al tiempo empleado por cada concursante. En este caso la fórmula sería: P = 100 + 2 (420 – t) P = 100 + 840 – 2t P = 940 – 2t Enunciado Menú

41 2 5 OM THALES Solución : Enunciado RESUMIENDORESUMIENDO HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES... … pero ¿habrá más formas de calcularlas? Menú

42 2 5 OM THALES SEÑALES CLAVES EN LA CARRETERA

43 2 5 OM THALES Solución Menú Problema 4: SEÑALES CLAVE EN LA CARRETERA En la autovía Sevilla–Córdoba nos encontramos la señal de tráfico de la figura donde las distancias están en kilómetros. Si nos fijamos en esta señal observaremos que los números (39 y 93) tienen los mismos dígitos pero cambiando el orden. (A este tipo de señal la llamaremos “señal clave”) ¿Qué otras “señales clave” (Écija-Córdoba) podremos encontrar después de la anterior antes de llegar a Écija? En la misma autovía se encuentra la población de La Carlota, cuya distancia a Córdoba es de 31 Km. ¿Podremos encontrar “señales clave” (La Carlota-Córdoba) antes de llegar a la Carlota? Quiero hacer un viaje de Bailen a Córdoba (100 Km), la carretera pasa por Alcolea, la distancia de Alcolea a Córdoba es de 18 Km. ¿Es posible encontrar “señales clave” (Alcolea- Córdoba)? ¿Cuáles serían? Razona todas las respuestas.

44 2 5 OM THALES Solución : Enunciado Menú Es decir, la diferencia entre los dos números de la señal es múltiplo de 9, por lo que, para que entre dos ciudades existan SEÑALES CLAVES, la distancia entre las mismas debe ser múltiplo de 9. Si restamos los dos números de la señal se obtiene la distancia que hay entre las dos ciudades. En este caso de Écija a Córdoba hay 93 – 39 = 54 km Además en una “SEÑAL CLAVE” ab siempre se cumple: 10b + a – (10a + b) = 10b + a – 10a – b = 9b – 9a = 9(b – a) En el caso que estamos estudiando como la distancia entre Écija y Córdoba es de 54 km entonces tenemos que: 9(b – a) = 54 por lo que b – a = 6

45 2 5 OM THALES Solución : Enunciado Menú Como b – a = 6, para encontrar otras señales clave hay que buscar parejas de números que se diferencien en 6. Esta señal no sería válida por no tener dos dígitos.

46 2 5 OM THALES Solución : Para responder a la segunda parte del problema solo hay que fijarse en que la distancia entre La Carlota y Córdoba es 31 km, número que no es múltiplo de 9, por lo que no habrá señales clave para ambas ciudades Menú Enunciado

47 2 5 OM THALES Solución : El tercer caso es entre Alcolea y Córdoba en la que la distancia de separación es 18, por lo que habrá que buscar señales cuyos dígitos se diferencien en 2. Así encontramos las siguientes posibles respuestas: Enunciado Esta señal no sería válida por no tener dos dígitos … pero ¿habrá más formas de calcular las respuestas? Menú

48 2 5 OM THALES PUENTE DE TRIANA

49 2 5 OM THALES Solución Menú Problema 5: PUENTE DE TRIANA Observa la aglomeración de personas que se encontraron la pasada Semana Santa en el Puente de Triana. Sabemos que el puente tiene una altura sobre la rasante de 12 m, su longitud total es de 154,5 m y su ancho de tablero es de 15,9 m. Estima de forma razonada el número de personas que se encontraron ese día en el Puente de Triana, si al contar el número de personas que hay en varios cuadrados de 2 metros de lado en dicho puente se han obtenido los siguientes datos: 23, 14, 22, 20, 19, 20 y 22.

50 2 5 OM THALES Solución : Enunciado Para hacer la estimación de las personas que se encuentran en el puente de Triana, podemos calcular cuántas hay de media en un metro cuadrado. Y multiplicar dicha media por la superficie en metros cuadrados del puente. Menú Para calcular la media sumamos la 7 medidas hechas, lo dividimos entre 7, y entre la superficie de un cuadrado de lado 2 m: De media hay 5 personas/m 2. Para hallar la superficie del Puente de Triana, suponemos que es un rectángulo y a partir de sus dimensiones:

51 2 5 OM THALES Solución : Como: Enunciado Menú En el Puente de Triana hay 12283 personas aproximadamente. HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN... … pero ¿habrá más formas de calcularla?

52 2 5 OM THALES DECORACIÓN (Problema CASIO)

53 2 5 OM THALES Solución Menú Problema nº 6 (Problema CASIO): DECORACIÓN Con motivo de la próxima llegada de la primavera se quiere decorar un corcho rectangular de dimensiones 160 cm · 35 cm. Para ello se van a recortar pegatinas circulares con una mariposa en su interior de decorativos adhesivos de vinilo (como el que se muestra en la imagen de la derecha) y las vamos a colocar formando coronas circulares sobre el corcho, de forma que no se superpongan. Contesta de forma razonada: ¿Cuántas coronas circulares completas rellenas de estas pegatinas circulares podríamos obtener sobre el corcho, de forma que ocupe todo el ancho del mismo? ¿Cuántos pegatinas circulares necesitaríamos para rellenar cada una de estas coronas circulares? Si a una de estas coronas la queremos rellenar con otras coronas circulares concéntricas en su interior, formadas igualmente de pegatinas circulares, ¿cuántas coronas circulares concéntricas se podrían obtener?

54 2 5 OM THALES Solución : ¿Cuántas coronas circulares completas rellenas de estas pegatinas circulares podríamos obtener sobre el corcho, de forma que ocupe todo el ancho del mismo? Menú Como el ancho del corcho es 35 cm, éste será el máximo diámetro que podamos obtener de la circunferencia exterior de la corona: 160/35 = 4.57142857143 Podremos rellenar por tanto, como máximo 4 coronas completas con radio de circunferencia exterior 35/2 = 17.5 cm y de circunferencia interior 17.5 – 25/6 = 13.33333333333 cm Enunciado

55 2 5 OM THALES Solución : ¿Cuántos pegatinas circulares necesitaríamos para rellenar cada una de estas coronas circulares? Si calculamos el ángulo que forman las rectas tangentes a la circunferencia de la mariposa desde el centro de la circunferencia exterior/interior de la corona, obtenemos 15.6°. Por tanto 360°: 15.6°= 23.0769230769 pegatinas Menú Enunciado

56 2 5 OM THALES Solución : Menú Enunciado

57 2 5 OM THALES Solución : Otra aproximación sería: Longitud de la circunferencia que contiene los centros de las circunferencias de las mariposas dividido entre el diámetro de la pegatina circular de la mariposa 2 π (17.5 - 25/12) / (25/6) = 23.2477856365 pegatinas Menú Enunciado

58 2 5 OM THALES Solución : Si a una de estas coronas la queremos rellenar con otras coronas circulares concéntricas en su interior, formadas igualmente de pegatinas circulares, ¿cuántas coronas circulares concéntricas se podrían obtener? Sólo tendríamos que dividir 35/2 que corresponde al radio de la circunferencia exterior de la corona entre el diámetro de la circunferencia de la mariposa 25/6 (35/2) / (25/6) = 4.2 Obtendríamos por tanto 4 coronas circulares. Menú Enunciado

59 2 5 OM THALES Solución : Enunciado RESUMIENDORESUMIENDO HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES... … pero ¿habrá más formas de calcularlas? Menú