GARAVITO Y LAS MATEMÁTICAS Clara Helena Sánchez B. Departamento de Matemáticas Marzo 11 de 2015.

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1 GARAVITO Y LAS MATEMÁTICAS Clara Helena Sánchez B. Departamento de Matemáticas Marzo 11 de 2015

2 Su formación en la Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Bogotá Pénsum de Ingeniería Civil 1888 – Cinco años Ciencias matemáticasIngeniería Álgebra y geometría superioresDibujo de sombras y perspectiva Trigonometría rectilíneaElementos de química y geología TopografíaMaquinaria Geometría analíticaMateriales de Construcción Dibujo lineal y topográficoDibujo de máquinas, perspectiva isométrica Geometría descriptiva con aplicaciones a la teoría de las sombras y a la perspectiva Arte de Construir Cálculo InfinitesimalHidráulica Mecánica AnalíticaFísica Industrial (Ventilación, calorimetría, máquinas a vapor) Trigonometría esféricaDibujo aplicado al corte de piedras y madera; Proyecto de enmaderados, Armaduras Elementos de astronomía y geodesiaArquitectura Civil Dibujo arquitectónico ornamental Puentes, Caminos, Canales Proyectos de edificios y obras públicas. Anales de Instrucción Pública Vol. 12, No. 67, febrero de 1888, pp. 100-102

3 La enseñanza del cálculo en Colombia Nuestros estudios nos hacen afirmar que el primer curso de cálculo diferencial e integral en Colombia se realizó en 1851 en el Colegio Militar teniendo como profesor al francés Aimé Bergeron. De su curso, de cuatro lecciones, quedan las notas de clase del alumno Sixto J. Barriga. Es muy posible que Indalecio Liévano haya sido alumno en este curso y de él le quedaron algunas cuestiones abiertas en su época como es la definición de números irracionales (inconmensurables) indispensables para el desarrollo riguroso del cálculo. Esto quedó planteado en su libros de Aritmética de 1856 y de 1872. http://www.accefyn.org.co/proyecto/Documentos/Bergeron/indexBergeronCalculo.html

4 El curso de Andrés Arroyo 1887 Primera Parte: Cálculo diferencial Preliminares del cálculo: conceptos de función, variable, límite, lo infinitamente pequeño, lo infinitamente grande. Funciones de una variable: Definición de derivada, diferencial, derivadas y diferenciales de funciones especiales (compuestas, implícita, logarítmica, exponencial, trigonométricas. Funciones de varias variables independientes. Derivadas parciales. Segunda parte: Cálculo integral Funciones de una sola variable: Definición de integral y casos de integración de funciones. Significación geométrica. Integral definida e indefinida. Casos de integración. Funciones de más de una variable. Tercera parte: Aplicaciones. Analíticas: Series de Taylor y Mclaurin. Funciones homogéneas. Máximos y mínimos. Geométricas: Tangentes, normales, concavidad y convexidad de las curvas planas, cuadraturas de figuras planas, puntos notables, áreas y volúmenes. Textos sugeridos Sonnet y Sturm

5 El curso de cálculo diferencial e integral de Garavito Nociones preliminares 3 Método de los límites 6 Método Infinitesimal 8 Teoría de las derivadas y diferenciales 17 Teorema de Rolle 28 Segunda diferencial y segunda derivada 31 Diferencial de una función de función 33 Diferencial de una función compuesta 37 Derivada de funciones en forma de operación 39 Diferenciación de las funciones circulares directas 48 Diferenciación de las funciones circulares inversas 56 Diferenciación de las funciones logarítmicas y exponenciales 61 Cambio de variable, Diferenciales sucesivas y de una función de función 68 Derivadas y diferenciales de la funciones implícitas 74 Eliminación de constantes arbitrarias y formación de ecuaciones diferenciales 76 Involutas 90 Evolutas 98 Diferenciación de las funciones de varias variables 105 Diferenciales parciales 106 Incremento total de una función de varias variables independientes 114 Diferenciales totales de diversos ordenes 119 Propiedades de las diferenciales totales 131 Diferenciales de las funciones compuestas de varias variables independientes 134 Funciones implícitas de varias variables 136 Denominador Jacobiano 143 Propiedades del Jacobiano 145 Cambio de variable en las ecuaciones diferenciales 157 Capítulo 1 Cálculo Diferencial

6 El curso de cálculo diferencial e integral de Garavito Aplicaciones Analíticas del Calculo Diferencial Series 169 Condiciones de convergencia 170 Residuo de Taylor 209 Serie de Maclaurin 219 Imaginarias 247 Funciones de variables imaginarias 266 Funciones Homogéneas 277 Máximo y mínimo de las funciones de una sola variable 285 Máximo y mínimo en el caso de varias variables 319 Expresiones que se representan bajo una forma indeterminada 322 Aplicaciones Geométricas del Cálculo Diferencial Diferencial de áreas y de volúmenes (Ver suplemento pág. 497)

7 El curso de cálculo diferencial e integral de Garavito Método de los límites El límite de los valores de una cantidad variable x es una cantidad fija en [sic] A, hacia la cual tienden los valores de la primera, pero sin nunca alcanzarla. Simbólicamente se escribe: lım X = A. Una cantidad tiende a su límite por crecimientos o decrecimientos: v.g.: Los polígonos regulares inscritos y circunscritos al tender a la circunferencia. El límite puede también afectar la forma (X − A) < , siendo tan pequeño como se quiera. Esta diferencia entre la cantidad y su límite se llama infinitesimal y tiene por límite 0. Si consideramos por ejemplo la relación sen x/x, siempre menor que la unidad, puede llegar a ser tan pequeña como se quiera, con tal de que se le dé al arco valores suficientemente pequeños. Entonces el lim sex/x = 1, cuando x decrece indefinidamente. Se sabe sin necesidad de demostración, que la relación sen x/x va aumentando continuamente cuando x, más pequeña que un cuadrante, disminuye indefinidamente.

8 El curso de cálculo diferencial e integral de Garavito Cálculo Integral Preliminares 338 Integración de funciones simples 343 Integración por partes 356 Integración por sustitución 360 Integración de funciones racionales 363 Integración de funciones irracionales 392 Integración de diferenciales binomias 404 Integración de funciones trascendentes 414 Integrales definidas 432 Integrales definidas consideradas como límites de sumas 436 Integrales definidas de limites infinitos 441 Integrales indeterminadas 443 Integración por series 454

9 El curso de cálculo diferencial e integral de Garavito Cuadraturas de áreas planas 460 Rectificación de curvas planas 470 Cubicación de los volúmenes de revolución 473 Volúmenes que pueden obtenerse por una sola integración 478 Volúmenes terminados por diversas superficies 480 Integrales múltiples 485 Áreas de las superficies curvas 491 Integración de las diferenciales totales 513 Ecuaciones diferenciales 515 Ecuaciones de 1er orden integrables por cuadraturas 521 Integrales generales y singulares 528 Ecuaciones diferenciales lineales 529 Integración de ecuaciones lineales sin 2do miembro con coef. const. 538 Integración de ecuaciones lineales con 2do miembro con coef. const. 545 Ecuaciones diferenciales de la mecánica 554 Propiedades de las ecuaciones canónicas 558 Ecuaciones con derivadas parciales 569 Diferencial de áreas 497 Diferencial de área curva 505 Diferencial de volúmenes 510 Aplicaciones Geométricas del Cálculo Integral

10 Los números inconmensurables A B C D Cuadrado de lado l Círculo de radio r Para medir se requiere comparar dos magnitudes, una de ellas se escoge como unidad y en los pitagóricos la unidad debía caber un número exacto de veces en la otra. Si esto no ocurría se buscaba una unidad más pequeña que las midiera de manera exacta a cada una de ellas. Se denominan magnitudes conmensurables aquellas para las cuales existe una medida común. En caso contrario se dicen que son inconmensurables.

11 El origen de los números inconmensurables Para los pitagóricos a toda relación entre magnitudes, razón, debía corresponder un número o una razón entre ellos. Por ejemplo a la relación entre dos segmentos cualesquiera o a la relación entre el lado del cuadrado y la del radio de la circunferencia. Este es el origen tanto de los números racionales positivos como de los irracionales. Y aunque ellos nunca le dieron el estatus de número en sus reflexiones teóricas, los racionales fueron usados como tales en sus aplicaciones en el comercio.

12 El origen de los números inconmensurables Pero no pudieron encontrar razones numéricas racionales entre la longitud del lado del cuadrado y su diagonal o la longitud del diámetro de la circunferencia y su perímetro o la longitud entre el diámetro y el lado de un pentágono regular. Sin embargo nos dejaron la primera demostración contundente que se conoce en matemáticas como es la prueba de que  2 no es racional. La prueba que hoy en día conocemos en realidad una traducción al álgebra simbólica de la prueba dada por ellos en términos geométricos. La prueba de que pi es irracional se dio apenas en 1761.

13 ¿Qué es un número irracional? Para comienzos del siglo XIX se aceptaban los números irracionales con la siguiente definición: «un número racional es un número que tiene una expansión decimal periódica y es irracional en caso contrario». La historia del número pi, que ha sido motivo de curiosidad de matemáticos y aficionados a la matemática por siglos, nos muestra los intentos por encontrarle el período, hasta que en 1761 Lambert probó que pi era irracional! Uno de esos intentos, usando probabilidad, es el que usó el Conde Buffon y Garavito en su solicitud para ser Profesor de Ciencias Matemáticas.

14 ¿Qué es un número irracional? Hoy en día con diferentes herramientas matemáticas y programas de computador se siguen hallando aproximaciones a pi con trillones de cifras decimales, el propósito es revisar la efectividad de un programa. En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse, la mayoría de las veces, con una precisión de sólo una docena de decimales. Con cincuenta decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con un error más pequeño que el tamaño de un protón. La pregunta sobre que son los irracionales o inconmensurables como  2 o , independientemente de un sistema de numeración, solo fue resuelto apenas en la segunda mitad del siglo XIX, de ahí la importancia del trabajo de Liévano.

15 ¿Qué es un número irracional? Tres respuestas… Weierstrass (1856): Sucesiones de fracciones unitarias. Cantor – Meray (1872): Un número irracional es una clase de equivalencia de sucesiones fundamentales. A esta teoría se refiere en su artículo. Dedekind (1872): Un número irracionales es una cortadura. En el cuaderno 26 hay evidencias de que se aproximó a esta teoría.

16 Liévano, Garavito y los irracionales Garavito conoció los libros de Aritmética de Liévano y se propuso en su artículo Los Números inconmensurables (AI, 1898, Vol. IX, 339-346) exponer su teoría comparándola con la C. Jordan y Ch. Meray usando un lenguaje más “moderno” del análisis matemático y “hacer notar que la del señor Liévano, siendo anterior a las dos citadas, es más natural y sencilla que aquéllas, y sin embargo no menos rigurosa.” Desafortunadamente no concluyó el trabajo iniciado y cometió errores de circularidad en sus razonamientos, ya que para hablar de nociones como las de convergencia de una serie o límite se requiere, sin estas nociones, haber definido primero los números reales.

17 Liévano, Garavito y los irracionales Garavito fue, sin duda, un excelente conocedor del cálculo y supo aplicarlo en sus en múltiples trabajos de física, de astronomía y de aplicaciones a la ingeniería como es el caso de su tesis para ser Profesor de Matemáticas. Pero no logró mejorar la teoría de Liévano para hacerla más rigurosa. En sus cuadernos se puede observar los varios libros de análisis matemático que estudió, entre ellos uno muy moderno para su época como es el Appell en el que ya se vislumbra el uso de la teoría de conjuntos para hacer más rigoroso el cálculo.

18 La geometría euclidiana El quinto postulado l P l A B A+B < 180 Postulados de los Elementos de Euclides 300 a. C. I. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera. II. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta. III. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia. IV. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre si. V. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los [ángulos] menores que dos rectos.

19 Geometrías no euclidianas Bolyai-Lobatchevski-Gauss Por un punto exterior a una recta pasan al menos dos paralelas. Riemann Por un punto exterior a una recta no pasan paralelas. Modelo de PoincareModelo de Beltrami

20 Garavito y las geometrías no euclidianas La geometría del espacio tiempo de la relatividad de Einstein Los trabajos de Garavito GARAVITO, J. (1916) “Nota sobre la fórmula fundamental de la trigonometría plana no-euclídea en la geometría hiperbólica”. Anales de Ingeniería, 24, 224- 234, 353-362, 465-469. GARAVITO, J. (1917) “¿Bancarrota de la Ciencia?” Anales de Ingeniería, 25, 101-107, 203-215.

21 Las matemáticas en los cuadernos Ecuaciones diferenciales del Curso de Análisis Matemático de la Escuela Central por P. Appell, 1898. C1 pp.1-91 Compensación de los ángulos en el problema referente a la ampliación de la base. C2 pp.72 a 85. Este problema plantea 9 ecuaciones con 12 incógnitas. Las geometrías no euclideas. pp. 111-137. H Poincare la ciencia y el Método C4 Ejercicios de cálculo del Sturm en C5 Cuestiones diversas referentes a Matemáticas puras y aplicadas. Problema de probabilidad: Dadas 2mR cartas numeradas en orden cardinal 1,2,3,…, N disponerlas de manera que sacando la primera, pasando la segunda al último lugar, sacando la tercera, etc., cuál es la probabilidad de que al final del proceso queden todas en orden. C5, pp. 32ª 36. Nota Trabajo inédito original 1904. Teorema de D´Alambert. Toda ecuación algebraica entera, de coeficientes reales o imaginarios, de grado m, admite m raíces reales o imaginarias. C5 pp.77-80. Nota: Demostración original inédita.

22 Las matemáticas en los cuadernos Nota a la teoría general de las ecuaciones algebraicas. En Teoría y Problemas de Matemáticas. C6 1900, pp1-19. Ecuaciones integrales. Pp.131-138. Nuevamente el postulado de Euclides. C6 pp.174-222. Los cuadernos 21, 22, 23, 26, 27, 30 están dedicados al análisis matemático. Todo indica que está estudiando algún libro que no se sabe cuál es. El 23merece mencionarse pues se ve que Garavito tuvo acceso al análisis desde el punto de vista moderno usando nociones de conjunto, que traduce como grupo, y de conjuntos derivados (topología). Pero son unas muy pocas páginas. Principios relativos a la teoría general de las funciones. Análisis trascendental. C36. y en C41 retoma el tema. Trigonometría rectilínea. Extracto del libro de E. Bezodis. C43,pp.9-61. En varios cuadernos encontramos apuntes sobre álgebra. Todo indica que ofreció un curso en la Universidad Católica sobre el tema pues en C44 encontramos el programa ofrecido. Trigonometría esférica. C54.

23 Fuentes Villegas Restrepo Graciela, 1992, Sobre el curso de Cálculo Diferencial de e Integral de “a la Cauchy” de Julio Garavito, 1912. Tesis de magister, Universidad del Valle, 273 pp. Albis V., Soriano L.I. (1977) “The work of Indalecio Liévano in the Foundation of Real Number System”. Historia Mathematica, 3, 161-166. Albis, V. (1997) “Vicisitudes del Postulado Euclideo en Colombia”. Rev. Acad. Colom. Cienc., 21(80), 281-293. Albis, V., Sánchez, C. H. (1998) “Descripción del Curso de Cálculo de Aimé Bergeron en el Colejio Militar”. Rev. Acad. Colom. Cienc., 23(86), 73-79. Carrizosa Valenzuela J. 1921, Las geometrías no euclídeas y las objeciones de Garavito, Universidad, Números 19, (1865-1920). Quipu, Vol. 11 No. 1 7-24. Martínez Ch. Regino, 1986, El pensamiento físico y epistemológico de Julio Garavito. Naturaleza, Vol. 4, 15-25.

24 Fuentes Trabajos de Clara H. Sánchez 1.Los ingeniero-matemáticos colombianos del siglo XIX y comienzos del XX. Universidad Nacional, Facultad de Ciencias, 2007. 2.Matemáticas e ingeniería en la República conservadora. En Manuel Antonio Caro y la cultura de su época. Rubén Sierra Editor. Universidad Nacional, Colección Sede, Bogotá, 2002. 3.Las Matemáticas en los Anales de Ingeniería. Mathesis, 9, 1993, 105-204. 4.Matemáticas en Colombia en el siglo XIX, Llull, 1999, Vol. 22, pags, 687- 705. 5.Cien años de historia de la matemática en Colombia 1848-1948. Revista de la Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, 26(2002), 99, 239- 260. 6.Los cuadernos de Julio Garavito. Una antología comentada. Rev. Acad. Coloma. Cienc. Vol. XXXI, 2007, pp.253-266.