Guardando las distancias: a la memoria de

Presentación del tema: "Guardando las distancias: a la memoria de"— Transcripción de la presentación:

1 Guardando las distancias: a la memoria de
Alston Scott Householder James Hardy Wilkinson – 1986 Robert Todd Gregory

2 Con agradecimientos a:
James W. Daniel – The University of Texas Gilbert W. Stewart – The University of Maryland Gilbert Strang -Massachusetts Institute of Technology Cleve V. Moler – The Mathworks - Matlab

3 La Universidad del Zulia
Importancia del Algebra Lineal en el mundo digital CONFERENCISTA: JOSE ARTURO BARRETO GUTIERREZ MASTER OF ARTS LA UNIVERSIDAD DE TEXAS Salón de conferencias Depto. De Matemáticas Facultad de Ciencias Grano de Oro. Módulo 3. La Universidad del Zulia Martes 30 de Octubre. 3 P. M.

4 Comencemos con palabras mas autorizadas

5 Carl C. Cowen Professor Emerito. Depto
Carl C. Cowen Professor Emerito. Depto. de Matemáticas Purdue University. Indiana

6 On the Centrality of Linear Algebra in the Curriculum Carl C. Cowen

7 On the Centrality of Linear Algebra in the Curriculum Carl C. Cowen

8 On the Centrality of Linear Algebra in the Curriculum Carl C. Cowen

9 On the Centrality of Linear Algebra in the Curriculum Carl C. Cowen

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27 Aqui viene Gauss

28 Gauss y LU

29 Ecuaciones y LU

30 Descomposición LU .vs. la inversa
A=LU A-1= U-1L-1 Pregunta para el foro: Vale la pena?

31 Método de Ortogonalización
de Gram-Schmidt

32 Proyeccion de u sobre v

33 Expresion en componentes

34 Expresión en ejes ortogonales

35 3 dimensiones

36 Expresion en base ortogonal

37 Proyeccion en subespacio con base ortogonal

38 Solucion por minimos cuadrados

39 Solucion por minimos cuadrados

40 Solucion por minimos cuadrados

41 La Ecuación Normal

42 La Ecuación Normal

43 La ecuación Normal Son Son y Equivalentes?

44 La ecuación normal Es de dimensión 3x3! Es de dimensión 100 x 3
Entonces Es de dimensión 3x3!

45 Diagonalización de Matrices

46 Diagonalización de Matrices Simétricas

47 Diagonalización de Matrices Simétricas

48 Diagonalización de Matrices Simétricas

49 Diagonalización de Matrices Simétricas

50 Significado de los vectores R
Esta es la idea principal que a partir de la mitad del siglo 20 redefinió los métodos para calcular autovalores con ayuda del computador, dada la dificultad de calcularlos como raíces del polinomio característico. Los problemas numéricos del calculo de raíces de polinomios no son tan triviales como lo sugiere la ecuacioón de segundo grado.

51 Cónicas y Matrices de rotación
Para una aplicación de la diagonalización de matrices al estudio de las cónicas rotadas (eliminación de productos xy para llevarlas a su forma canónica) calculando además autovalores y autovectores (ejes principales), consulte:

52 Autovalores, autovectores y diagonalización de Matrices

53 Autovalores, autovectores y diagonalización de Matrices

54 Autovalores, autovectores y diagonalización de Matrices

55 Autovalores, autovectores y diagonalización de Matrices
Entonces los autovalores de A, aparecen en la matriz diagonal D. Como

56 La importancia de las matrices simétricas

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58 La importancia de las matrices simétricas
Podría hacerse un simposio dedicado a las matrices simétricas dada su importancia por gran variedad de razones Podría alguien elaborar una disertación al respecto? Tal vez hasta “publicar” con el fin de “enseñar” y señalar derroteros de investigación o al menos crear un lugar “especializado” de consulta?

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62 El teorema Espectral

63 El teorema Espectral

64 El teorema Espectral

65 El teorema Espectral

66 Proposicion 4 del Teorema Espectral
Diagonalización de Matrices Simétricas por Transformaciones ortogonales

67 Diagonalización de Matrices simétricas

68 Diagonalización de Matrices simétricas

69 Diagonalización de Matrices simétricas

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74 El cálculo de autovalores y autovectores

75 Diagonalización de matrices simétricas por transformaciones ortogonales. Matrices de rotación de Givens

76 Descomposición QR

77 Descomposición QR Hemos logrado la siguiente transformación
En donde T es una matriz triangular superior

78 Descomposición QR

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80 Descomposición QR Concluimos en base al ejemplo que: R3 R2 R1 A=R,
En donde las matrices Ri son matrices de rotación ortogonales. Por lo tanto A= R1-1 R2-1 R3-1 R, Son por lo tanto matrices ortogonales. Su producto será una matriz ortogonal que llamaremos Q. En consecuencia A = QR, CON Q, MATRIZ ORTOGONAL

81 Descomposición QR para manejar la mala condición de la matriz ATA

82 Aplicaciones de la descomposicion QR

83 Diagonalización de Matrices no simétricas

84 Diagonalización de Matrices no simétricas

85 Diagonalización de Matrices no simétricas

86 Diagonalización de matrices no simétricas

87 Diagonalización de matrices no simétricas
Hemos dicho que hay alternativas para resolver estos problemas de diagonalización, mas ya sabemos que esta matriz se puede diagonalizar por una transformación semejante, lo cual es bastante conveniente. Limitados como estamos a escoger los temas ya que no se pretende hacer un curso que vaya mas allá de las posibilidades de un curso relativamente breve, no ahondaremos en la presentación de métodos estables, que resuelvan el problema de diagonalización de matrices no simétricas. No todas las matrices no simétricas son diagonalizables por transformaciones semejantes como veremos en el ejemplo siguiente

88 Diagonalización de matrices no simétricas

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90 Diagonalización de matrices no simétricas
Una matriz A es normal si AAT = ATA. Una matriz A es diagonalizable por una transformación ortogonal, si y sólo sí es una matriz normal. No presentamos prueba de esta afirmación ni ahondaremos en su utilización.

91 Aplicación de la diagonalización

92 Aplicación de la diagonalización

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94 Diagonalización y cadenas de markov

95 Diagonalización por bloques. La forma de Jordan

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97 Forma de Jordan – Algoritmo de Filipov

98 Forma de Jordan – Algoritmo de Filipov

99 Forma de Jordan – Algoritmo de Filipov

100 Calculo de autovalores
por el algoritmo * QR *

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103 Algoritmo QR Shifted (transladado)

104 Algoritmo QR Shifted (transladado)

105 Algoritmo QR Shifted (transladado)

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109 Comparación entre la Matriz original y la matriz obtenida en el primer paso.
Algotirmo QR transladado (Shifted)

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111 b= 0.3006 A= Q= A= R= A= Hemos obtenido un autovalor =0.30

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