Ejercicio de aplicación de la derivada calculo 1

Presentación del tema: "Ejercicio de aplicación de la derivada calculo 1"— Transcripción de la presentación:

1 Ejercicio de aplicación de la derivada calculo 1

2 Un cono de radio [r cm] y altura [h cm] se introduce por la punta con una rapidez de 1cm/s en un cilindro algo de radio [R cm] que contiene una parte de agua (R > r) ¿Qué tan rápido sube el nivel de agua en el instante en que el cono esta totalmente sumergido?

3 Cono y: altura sumergida en el cono x: radio de la altura sumergida y r x s H R Volumen total del cilindro con agua (área base x altura) πR²(H +s) h Cilindro H: altura inicial del cilindro (H+s): altura del liquido que queda en el cilindro al ingresar el cono

4 Volumen del cono: πR²H Volumen cilindro 1/3πx²y Volumen Total de los objetos πR²H + 1/3πx²y R H y x

5 Volumen Total (sumatoria de volúmenes) πR²H + 1/3πx²y Volumen total cilindro con agua (área base x altura) πR²(H +s) Igualamos las ecuaciones y despejamos la altura del agua del cilindro cuando esta sumergido el cono

6 Por medio de la relación de triángulos semejantes se obtiene que:
h x y Y por lo tanto, despejando x tenemos:

7 Reemplazamos x en la ecuación del nivel al que sube el agua
Y obtenemos la siguiente ecuación

8 La derivada de y es: La variación de la altura del agua del cilindro con respecto a la altura sumergida del cono es:

9 La variación del nivel del agua con respecto al tiempo es el producto de la variación de la altura del agua del cilindro con respecto a la altura sumergida del cono y la altura sumergida del cono con respecto al tiempo. Del Producto anterior obtenemos:

10 Teniendo en cuenta que en el momento en que el cono esta totalmente sumergido y (altura sumergida en el cono) es la misma altura del cono y h La rapidez con la que sube el nivel del agua cuando el cono esta totalmente sumergido es el cociente del cuadrado del radio del cono y el cuadrado del radio del cilindro