@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL MATEMÁTICAS A. CS II Tema 12.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL MATEMÁTICAS A. CS II Tema 12

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS2 CÁLCULO EN LA BINOMIAL TEMA 12.3 * 2º B CS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS3 PROBABILIDAD DE “r” ÉXITOS Para conocer completamente la distribución de la variable binomial X = B(n, p), debemos encontrar la probabilidad de r éxitos: P(X = r) = pr, r = 0, 1,..., n. (1)Si n = 1, los éxitos o son 0 o son 1: P(X = 1)= P(E) = p P(X = 0)= P(F) = q ( 2)Si n = 2, los éxitos pueden ser 0, 1 y 2 : P(X = 2) = P(EE) = p.p = p2 P(X = 1) = P(EF + FE) = pq + qp = 2.pq P(X = 0) = P(FF) = q.q = q2 (3)Si n = 3, se tiene: P(X = 3) = P(EEE) = p.p.p = p3 P(X = 2) = P(EEF + EFE + FEE) = ppq + pqp + qpp = 3 p2q P(X = 1) = P(EFF + FEF + FFE) = p qq + qpq + qqp = 3 pq2 P(X = 0) = P(FFF) = q q. q = q3

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS4 (4)Si n = 4, se tiene: P(X = 4) = P(EEEE) = p.p.p.p = p4 P(X = 3) = P(EEEF + EEFE + EFEE + FEEE) = 4. p3q P(X = 2) = P(EEFF + EFEF + EFFE + FEFE + FEEF + FFEE) = 6p2q2 P(X = 1) = P(EFFF + FEFF + FFEF + FFFE) = 4pq3 P(X = 0) = P(FFFF) = q.q.q.q = q4 El exponente de p nos indica el número de éxitos y el exponente de q el de los consiguientes fracasos en n pruebas. Además, el coeficiente de cualquier monomio podemos deducirlo mediante el triángulo de Tartaglia o aplicando el Binomio de Newton. Se observa una simetría de las probabilidades en esta distribución, tanto en los coeficientes, k, como en las potencias de p, r, y de q, n-r.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS5 (5)Teniendo en cuenta lo anterior, para el caso n = 5 P(X = 5) = p5 P(X = 4) = 5. p4q P(X = 3) = 10. p3q2 P(X = 2) = 10. p2q3 P(X = 1) = 5. pq4 P(X = 0) = q5 En general: r n-r P(X = r)= k.p. q Para valores de n superiores a 5 se utiliza la Tabla de la Binomial, o se calcula el parámetro k sabiendo que es un número combinatorio. k = C = n! / r!. (n-r)! n, r

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS6 COMBINACIONES ORDINARIAS n La expresión C o C m, n m Significa combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n. NÚMEROS COMBINATORIOS m La expresión ( ) se lee “m sobre n” y es un número combinatorio n VALOR DE UNA COMBINACIÓN O DE UN NÚMERO COMBINATORIO m m! C = ( ) = --------------------, siendo “!” el signo FACTORIAL. m, n n n!. ( m – n)| NÚMEROS COMBINATORIOS

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS7 Ejemplo 1 4 7! 7! 7. 6. 5. 4! C = -------------------- = --------- = ----------------------- = 35 7 4!.(7 – 4)! 4!. 3! 4!. 3.2.1 Ejemplo 2 99 101! 101! 101. 100. 99! C = ---------------------- = --------- = ----------------------- = 5050 101 99!.(101 – 99)! 99!. 2! 99!. 2.1 Ejemplo 3 46 50! 50! 50.49.48.47.46! C = -------------------- = --------- = ----------------------- = 230300 50 46!.(50-46)! 46!. 4! 46!. 4.3.2.1 Ejemplos

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS8 EXPRESIÓN FORMAL DEL BINOMIO DE NEWTON m 0 m 0 1 m-1 2 m-2 2 m 0 m (a+b) = C.a.b + C.a. b + C. a. b + … + C. a.b m m m m Ejemplo: 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 (7+5) = C.7 + C.7. 5 + C. 7. 5 + C. 7. 5 + C. 5 4 4 4 4 4 4 4 3 2 2 3 4 12 = 1. 7 + 4.7.5 + 6.7.5 + 4.7.5 + 1.5, que se puede comprobar. BINOMIO DE NEWTON

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS9 Sea la binomial B(n,p) n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 n n ( q + p ) = C. q + C. q. p + C. q. p +... + C. p n n n n Sea la binomial B(3, 0,3) 3 0 3 1 2 2 2 3 3 ( 0,7 + 0,3 ) = C. 0,7 + C. 0,7. 0,3 + C. 0,7. 0,3 + C. 0,3 3 3 3 3 3 ( 0,7 + 0,3 ) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) 3 3 Pues ( 0,7 + 0,3 ) = 1 = 1, que es la suma de probabilidades. APLICACIÓN A LA BINOMIAL

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS10 Ejemplo Lanzamos una moneda al aire 20 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 7 caras? RESOLUCIÓN: n=20, pues se repite el lanzamiento 20 veces r=7, pues se trata de ver la probabilidad de tener 7 exitos. p=0,5, que es la probabilidad de éxito ( salir cara ). Luego, aplicando la fórmula obtenida: r n-r P(X = r)= k.p. q 7 20-7 P(x =7) = k. (1/2). (1 – ½) 7 7 20-7 7 13 P(x =7) = C. (1/2). (1 – ½) = [ 20! / 7!.(20-7)! ]. 0,5. 0,5 = 20 = 77.520 0,00000095 = 0,074

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS11 Otro Ejemplo Lanzamos un dado al aire 20 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 7 seises? RESOLUCIÓN: n=20, pues se repite el lanzamiento 20 veces r=7, pues se trata de ver la probabilidad de tener 7 exitos. p=0,167, pues la probabilidad de éxito ( salir un seis ) es p = 1/6 = 0,167 Luego, aplicando la fórmula obtenida: r n-r P(X = r)= k.p. q 7 20-7 P(x =7) = k. (1/6). (1 – 1/6) 7 7 20-7 7 13 P(x =7) = C. (1/6). (5/6) = [ 20! / 7!.(20-7)! ]. 0,167. 0,833 = 20 = 77520 0,000000334 = 0,026

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS12 Ejemplos propuestos Ejemplo 1 En una reunión hay 40 hombres y 60 mujeres. Se elige una persona al azar, anotando el sexo de dicha persona. Se repite el experimento 30 veces. Hallar la probabilidad de que en 10 ocasiones el resultado haya sido “hombre”. Ejemplo 2 Un cazador tiene una probabilidad de 0,65 de acertar a una pieza en cada disparo. Si realiza 20 disparos, hallar la probabilidad de … a)Que no cace ninguna pieza. b)Que cace 7 piezas. c)Que cace al menos 3 piezas.

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS13 Ejemplo 3 Una máquina produce 32 tornillos defectuosos cada 1000 unidades. Al realizar un control de calidad tomamos una caja de 50 tornillos. Hallar la probabilidad de que … a)Ningún tornillo resulte defectuoso. b)Halla 37 tornillos defectuosos. c)Halla menos de 3 tornillos defectuosos. Ejemplo_4 En una población conocemos: P(“Un habitante gane hasta 500 € /mes”) = 0,5 P(“Un habitante gane entre 500 y 1000 € /mes”) = 0,20 P(“Un habitante gane entre 1000 y 2000 € /mes”) = 0,20 P(“Un habitante gane más de 2000 € /mes”) = 0,10 Hallar la probabilidad de que elegidos 10 habitantes al azar.… a)Tres de ellos ganen entre 500 y 100 €/mes. b)Siete o más ganen más de 2000 €/mes.