MATRIZ INVERSA MG. JOHNY QUINTERO.

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1 MATRIZ INVERSA MG. JOHNY QUINTERO

2 Matriz inversa Sea A una matriz cuadrada. Si existe una matriz B tal que AB=BA=I , la llamaremos matriz inversa de A y la denotaremos por A-1. Obs: Si A-1 existe, se tiene que: AA-1=A-1A=I. Si A y B son matrices invertibles y k un número no nulo se tienen las propiedades:

3 Existencia de la inversa
Teorema: Sea A una matriz inversible entonces: Corolario: La inversa de una matriz existe si y sólo si det(A) ≠ 0. Ejemplo: ¿ Para que valor de a la matriz tiene inversa ?

4 Cálculo de la inversa de una matriz: método de Gauss-Jordan
Utilizando las operaciones elementales con las filas de una matriz, también se puede obtener la inversa de la matriz Anxn, siguiendo el procedimiento descrito a continuación: 1.- Formamos la matriz [A : In]: Ejemplo 2.- Luego, mediante las operaciones elementales se reduce la matriz a otra de la forma [In : B]: B = A-1

5 Cálculo de la inversa de una matriz: método de Gauss-Jordan
Ejemplo: Determinar A-1 si A es invertible.

6 Matriz Adjunta Recordando conceptos:
Se llama menor del elemento aij de la matriz A a la matriz Mij de orden n-1 que resulta de suprimir en A la fila i y la columna j. El cofactor Aij del elemento aij es el número real: Aij = (-1)i+j det(Mij ) Matriz de los cofactores: Es la matriz cuadrada formada por todos los cofactores de una matriz.

7 Matriz Adjunta Sea la matriz AC de cofactores:
La Matriz Adjunta de A, denotada por Adj(A) es la transpuesta de la matriz de los cofactores.

8 Matriz Adjunta Ejemplo: Obtenga la matriz adjunta de A

9 Cálculo de la inversa de una matriz: método de la Matriz Adjunta
Si |A| ≠ 0, entonces A es invertible y se cumple: Con este resultado tenemos un segundo método para el cálculo de la inversa de una matriz.