SÓLIDOS CRISTALINOS Modelo de Born y von Kárman. Espectro de Frecuencias Jorge Augusto Otálora Arias Mecánica Estadística Posgrado Física USM – UCV 2007.

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1 SÓLIDOS CRISTALINOS Modelo de Born y von Kárman. Espectro de Frecuencias Jorge Augusto Otálora Arias Mecánica Estadística Posgrado Física USM – UCV 2007

2 Contenido 1.Modelo del Cristal – Caso especial 2.Dinámica del Cristal 3.Condición de Frontera de Born y von Kárman 4.Solución 5.Algunas interpretaciones

3 Solidos Cristalinos. Solidos Cristalinos. 1. Modelo del Cristal – Caso especial Solo consideraremos el caso del cristal unidimensional: N átomos de masa m, concebidos como masas puntuales organizados en una sola dirección, y separación consecutiva una distancia a

4 Solidos Cristalinos. Solidos Cristalinos. 2. Dinámica del cristal Considerando interacciones armónicas (ley de Hooke) entre los átomos de la red, la interacción de j – ésimo átomo con la red cristalina está representada solo por la interacción con sus vecinos mas próximos. Ecuación no válida para los átomos de los extremos de la cadena

5 Solidos Cristalinos. 3. Solidos Cristalinos. 3. Condición de Frontera de Born y von Kárman Considerar la cadena con N muy grande, y con la siguiente condición de periodicidad: Con esta condición la dinámica de un átomo es la misma para todos

6 Solidos Cristalinos. 4. Solidos Cristalinos. 4. Solución Se propone la solución de onda plana: Introduciéndola en la dinámica, encontramos que es solución solo si se satisface la relación: Organizando la expresión tenemos la ecuación de dispersión del cristal infinito:

7 Solidos Cristalinos. 4. Solidos Cristalinos. 4. Solución Con la condición de Born y von Kárman en la onda plana: Asumiendo N par, y con la simetría de la onda plana:

8 Solidos Cristalinos. 4. Solidos Cristalinos. 4. Solución Aproximación Cálculo de la densidad de estados: Número de estados vibracionales en el intervalo

9 Sólidos Cristalinos. 4. Sólidos Cristalinos. 4. Solución El número de estados vibracionales entre: Dispersión: Born y Von Kárman Debye

10 Sólidos Cristalinos. 5. Sólidos Cristalinos. 5. Interpretaciones Born y von KármanDebye Cada átomo posee un espectro de frecuencias y puede oscilar a una de ellas. El espectro de frecuencias es el mismo para todos los átomos Todos los átomos oscilan con la misma frecuencia. Existe un espectro de frecuencias de ondas elásticas.

11 Sólidos Cristalinos. 6. Bibliografia García, L., y Colín, S: “Termodinámica Estadística”, Universidad Autónoma Metropolitana, 1995.