@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 Bloque II * Tema 057 TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 Bloque II * Tema 057 TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 TEOREMA DEL SENO TEOREMA DEL SENO En todo triángulo una altura parte al triángulo en dos triángulos rectángulos. En el triángulo AHB podemos poner: sen B = h / c En el triángulo ACH podemos poner: sen C = h / b Como la altura h es común a los dos triángulos, la despejamos e igualamos sus resultados: h=c.sen B,, h=b.sen C   c.sen B = b.sen C Trazando otra altura cualquiera y repitiendo el proceso quedaría: a.sen B = b.sen A y también c.sen A = a.sen C A BCa c b h H B C Englobando dos cualesquiera de los resultados queda: a b c -------- = -------- = --------- sen A sen B sen C Que es la fórmula resultante.

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 TEOREMA DEL SENO La fórmula obtenida para el teorema del Seno es la misma con independencia de si el triángulo es acutángulo u obtusángulo. Observar en la figura de la izquierda que la altura correspondiente al vértice A queda fuera del área del triángulo y no corta al lado a. Pues bien, también se forman dos triángulos rectángulos, uno el de color naranja y otro la suma del naranja más el amarillo. Y también la altura es común a los dos. A tener en cuenta que sen B = sen B’ Casos que resuelve Si tenemos dos lados del triángulo y un ángulo distinto del que comprenden. Si tenemos dos ángulos y un lado. A BCa c b h H B C B’

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 Ejercicios Ejemplo 1 Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son: A=100º, a=5 cm, b= 3 Por el Teorema del Seno: a / sen A = b / sen B = c / sen C Sustituyendo los datos conocidos: 5 3 c ----------- = -------- = --------- sen 100 sen B sen C Tenemos: 5.sen B = 3.sen 100  sen B = 3.0,9848 / 5 = 9,5901 Luego B=arcsen 0,5901 = 36’22º y 143’78º Si el ángulo A ya es obtuso, B debe ser agudo, luego B=36’22º El ángulo C valdrá: C = 180 – A – B = 180 – 100 – 36’22 = 43’78º Volviendo al Teorema del seno: a.sen C = c.sen A  c = 5.sen 43’78 / sen 100 = 5.0’6919 / 0’9848 = 3,51 cm

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 Ejercicios Ejemplo 2 Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son: B=45º, C=75º, a = 10 cm Hallamos el ángulo A: A = 180 – B – C = 180 – 45 – 75 = 60 Por el Teorema del Seno: a / sen A = b / sen B = c / sen C Sustituyendo los datos conocidos: 10 b c ----------- = --------- = ---------- sen 60 sen 45 sen 75 Tenemos: 10.sen 45 = b.sen 60   b = 10.0’7071 / 0,8660 = 8’165 cm Volviendo al Teorema del seno: a.sen C = c.sen A   c = 10.sen 75 / sen 60 = 10.0’9659 / 0’8660 = 11,15 cm

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 TEOREMA DEL COSENO TEOREMA DEL COSENO En todo triángulo una altura parte al triángulo en dos triángulos rectángulos. En el triángulo AHB podemos poner, mediante Pitágoras: h 2 = c 2 – m 2 Siendo m la proyección de c sobre a. En el triángulo ACH podemos poner: h 2 = b 2 – n 2 Siendo n la proyección de b sobre a. Como la altura h es común a los dos triángulos, igualamos sus resultados: c 2 – m 2 = b 2 – n 2 La suma de las proyecciones es el lado a m+n=a  m = a – n c 2 – (a – n) 2 = b 2 – n 2 c 2 – a 2 + 2.a.n – n 2 = b 2 – n 2 A BCa c b h H B C Finalmente como n=b.cos C c 2 – a 2 + 2.a.b.cos C = b 2 Despejando c 2 queda: c 2 = a 2 + b 2 – 2.a.b.cos C que es la fórmula buscada. mn

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 TEOREMA DEL COSENO Si trazamos otra altura cualquiera y repetimos el proceso, obtendremos otras dos fórmulas del Teorema del Coseno. En total tendremos tres muy semejantes: c 2 = a 2 + b 2 – 2.a.b.cos C b 2 = a 2 + c 2 – 2.a.c.cos B a 2 = b 2 + c 2 – 2.b.c.cos A Casos que resuelve Si tenemos dos lados del triángulo y el ángulo que comprenden. Si tenemos los tres lados. Nota: Tener los tres lados del triángulo no significa que tenga solución. Ejemplo: a=3, b=4, c= 8 A BCa c b h H B C mn

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 Ejercicios Ejemplo 3 Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son: a=5 cm, b= 3 cm, C = 100º Probamos con el Teorema del Seno, si hay dudas: a / sen A = b / sen B = c / sen C Sustituyendo los datos conocidos: 5 / sen A = 3 / sen B = c / sen 100 Vemos que no podemos extraer ninguna ecuación útil. Nos vamos al T. del Coseno. c 2 = a 2 + b 2 – 2.a.b.cos C, al conocer el ángulo C c 2 = 5 2 + 3 2 – 2.5.3.cos 100  c 2 = 39’21  c = 6’26 cm Volviendo al Teorema del seno: a.sen C = c.sen A  sen A = 5.sen 100 / 6’26 = 0’7866  A = arc sen 0,7866 = 51’87º y 128’13º, que no vale al ser C >90º Y finalmente hallamos B = 180 – A – C = 180 – 51’87 – 100 = 28’13º

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS9 Ejemplo 4 Hallar los lados y ángulos cuyos datos conocidos son: a=5 cm, b= 3 cm, c = 7 cm Probamos con el Teorema del Seno, si hay dudas: a / sen A = b / sen B = c / sen C Sustituyendo los datos conocidos: 5 / sen A = 3 / sen B = 7 / sen C Vemos que no podemos extraer ninguna ecuación útil. Nos vamos al T. del Coseno, con una cualquiera de las fórmulas. a 2 = b 2 + c 2 – 2.b.c.cos A, para hallar el ángulo A 5 2 = 3 2 + 7 2 – 2.3.7.cos A  cos A = (9 + 49 – 25) / 2.3.7 = 0,7857   A = arcos 0,7857 = 38,21º y - 38’21º, esta última no vale. Volviendo al Teorema del seno: a.sen C = c.sen A  sen C = 5.sen 38,21º / 7 = 0,4418   C = arcsen 0,4418 = 26,22º y 153’78º, que pueden valer las dos. Y finalmente hallamos B = 180 – A – C = 180 – 38,21º – 26,22º = 115’57º ; Y también: B = 180 – A – C = 180 – 38,21º – 153,78º = – 12º, que no vale

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS10 ÁREA DEL TRIÁNGULO ÁREA DEL TRIÁNGULO El área de un triángulo es A = a.h / 2 En el triángulo AHB podemos poner: h = c.sen B En el triángulo ACH podemos poner: h = b.sen C El área será: A= ½ a.c.sen B Y también: A= ½ a.b.sen C Igualmente, si hubiéramos trazado otra altura distinta, tendríamos: A= ½ b.c.sen A Que son las tres fórmulas trigonométricas utilizadas para hallar el área de un triángulo cuando conocemos dos lados y el ángulo que forman. A BCa c b h H B C Si conocemos los tres lados, lo usual es emplear la fórmula: A = √ [ p.(p – a).(p – b).(p – c) ] Siendo p el semiperímetro: p = (a+b+c)/3

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS11 Ejercicios Ejemplo 5 Hallar el área de los triángulos de los ejercicios anteriores. 5.1a=5, b=3, C=43’78º El área será: A= ½ a.b.sen C A= ½ 5.3.sen 43’78º = 5,19 cm 2 5.2a=10, B=45º, c=11,15 El área será: A= ½ a.c.sen B A= ½ 10.11,15.sen 45º = 39,42 cm 2 5.3a=5, b=3, C=100º El área será: A= ½ a.b.sen C A= ½ 5.3.sen 100º = 7,386 cm 2 5.4A=38,21º, b=3, c=7 El área será: A= ½ b.c.sen A A= ½ 3.7.sen 38’21º = 6,4947 cm 2