Tópicos en Análisis de Datos y Bioestadística. SAMPLES AND POPULATIONS: INFERENCE AND PROBABILITY Population P1P1 P2P2 P 15 P3P3 PNPN Sample S1S1 S2S2.

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1 Tópicos en Análisis de Datos y Bioestadística

2 SAMPLES AND POPULATIONS: INFERENCE AND PROBABILITY Population P1P1 P2P2 P 15 P3P3 PNPN Sample S1S1 S2S2 SnSn Inference Probability 2

3 The probabilistic concept produces a natural classification: Fixed Numbers (Constants) Random Variables (unfixed, may change with a certain probability distribution)

4 A random variable has a PROBABILITY DISTRIBUTION n The probability distribution can be seen as a ‘frequency plot’ or as an ‘histogram’

5 Just to remind: To MEASURE is nothing else than to ‘assign’ a NUMBER to a certain characteristic of a physical observable, and for that we need to use a MEASUREMENT INSTRUMENT

6 A Clarification… A RANDOM VARIABLE has a probability distribution, BUT its realization (the value obtained once it’s measured) is then a CONSTANT (fixed value)

7 What causes randomness? How do we know if an observable is determined by a random variable or a constant? Remember that to ‘know’ something is equivalent to measure it several times and make predictions and inferences on it

8 Classical Physics is deterministic n According to Newton’s laws, we can ‘predict’ how a system is going to behave in the future

9 Remember that in order to solve for the dynamics of any system, we need to ‘know’ the initial conditions How can we ‘know’ the initial conditions? Just ‘measuring them’… and after measuring, we inevitably introduce uncertainty

10 What about ‘giving’ the initial conditions instead of measuring them? Can we then use our computational capacity to ‘predict’ how the system is going to evolve?

11 So, if a robot arm can always throw an ace, what happened to the randomness of the process? What can we conclude about it?

12 The randomness is due to the variability on the initial conditions Many systems are very sensible even to extremely small variations on the initial conditions: This is called Dynamical Instability or CHAOS

13 Atan Method Fractals

14 Miscellaneous

15 Bubbles

16 Summarizing The ‘randomness’ of a random variable resides on: - The variability of the initial conditions - The dynamical instability - The perturbation suffered during a measurement

17 Clasificación general: CategóricaCuantitativa o numérica NominalOrdinalDiscretaContinua

18 Ejemplos: n Nominales: Sexo, estado civil, presencia de morbilidad, resultado del tratamiento n Ordinales: Severidad de morbilidad, riesgo quirúrgico, resistencia a antibioticos n Discretas: Cociente intelectual, tiempo de tratamiento u hospitalización n Contínuas: concentración de alcohol en la sangre

19 Las variables continuas n El carácter continuo de una variable lo da la naturaleza intrínseca del observable físico y es independiente de la manera cómo se mida (i.e. del instrumento utilizado) ó de la manera cómo se reporte la medición

20 Efecto de la manera ‘cómo se mide’ una variable n Imaginemos que medimos la induración del PPD en varios pacientes, y para ello utilizamos una regla milimetrada. Las dimensiones medidas para diferentes personas fueron: 5mm, 12mm, 9mm, 32mm, 21mm n Aparentemente estamos frente a una variable discreta, aunque en realidad la induración (longitud) es y debe tratarse de manera continua.

21 Efecto de la manera ‘cómo se reporta’ una variable n Imaginemos que medimos la duración de la permanencia en UCI de pacientes en un hospital. Los tiempos medidos para diferentes pacientes fueron: 15días, 2días, 9días, 12días, 31días n Aparentemente estamos frente a una variable discreta, aunque en realidad el tiempo es y debe tratarse de manera continua.

22 En sus trabajos, que tipo de dato es su variable respuesta, resultado o desenlace principal?

23 Categorización/discretización: n Las variables continuas pueden ser convertida en variables discretas y hasta en categóricas n En este proceso se pierde información (precisión) n La información debe obtenerse al mayor nivel de precisión posible y luego agruparse si fuera necesario (discretización)

24 DESCRIBIENDO VARIABLES DICOTOMICAS

25 Variables dicotómicas:

26 Pero, nos interesa realmente la muestra o la población? n Esta exploración es parte de un proceso de inferencia estadística n Queremos extrapolar conclusiones a la población n Nuestro primer objetivo es hacer una estimación a nivel de la población: –Cálculo numérico de un cierto parámetro en la población –En forma puntual y con intervalo de variabilidad

27 Perfil de la distribución n Describe cómo los Datos están Distribuídos n Caracterización del perfil de la distribución: Simétrica o sesgada

28 Dos bases de datos hipotéticas… Es importante tener una imagen visual de la distribución de la variable La media provee una buena representación de los valores en la base de datos. Datos de baja variabilidad Datos con alta variabilidad La media ya NO provee ahora una buena información de los datos como sucedía anterioremente Al incrementar datos la distribución cambia..

29 Recordemos las características de una variable continua con distribución normal… Figure 10.10 6

30 Perfil de la distribución n Describe cómo los Datos están Distribuídos n Caracterización del perfil de la distribución: Simétrica o sesgada Simétrica Media =Mediana =Moda

31 Bioestadística Aplicada How does the standard deviation affect the shape of f(x)?  = 2  =3  =4  = 10  = 11  = 12 How does the expected value affect the location of f(x)?

32 Fenómenos tipo Bernoulli: n Se aplican a variables dicotómicas n Representan la ocurrencia o no ocurrencia de UN evento, por ejemplo: el sexo de CADA UNA de las personas encuestadas n Toman solamente dos posibles valores o estados: hombre (1) o mujer (2) n Solo se aplican a nivel unitario: un dato, persona u observación

33 Distribución Binomial: n Es un conjunto de variables Bernoulli del mismo tipo, por ejemplo, el sexo de las 4,850 personas encuestadas n La variable en estudio (sexo) tiene también dos valores (hombre/mujer), los cuales ocurren con frecuencias relativas (p) y (1-p) simétricas n El valor p es la frecuencia relativa o proporción de hombres entre las personas encuestadas

34 n=2 n=5 n=30 n=3 n=15 n=60

35 El Teorema del Límite Central da validez a los intervalos de confianza n La media de una muestra “grande” de datos de cualquier tipo sigue una distribución normal n Esto aún se cumple para datos binomiales (sexo, prevalencia, sensibilidad, etc) n Qué es una muestra grande? Eso varía según cada tipo de dato (entre otras cosas) n A medida que el tamaño de muestra crece, la distribución de la media muestral se hace más normal

36 Bioestadística Aplicada AN ILLUSTRATION OF THE CENTRAL LIMIT THEOREM 36

37 ATENCION ! n STATA puede identificar un tipo de variable de manera erronea ! n Debemos apoyarnos en la ciencia, en nuestro conocimiento previo de la variable con que estamos trabajando.

38

39 Bioestadística Aplicada Continuous Models on the Line n Normal n Logistic n Cauchy n Laplace n Student n Non-central Student

40 Bioestadística Aplicada Normal Distribution n Mean= 0 n SD = 0.5, 1, 2

41 Bioestadística Aplicada Logistic distribution n Mean=0 n SD=0.5, 1

42 Bioestadística Aplicada Student distribution n Degrees of freedom= 1,10,100

43 Bioestadística Aplicada Laplace distribution Mean=0 SD=0.5, 1, 5

44 Bioestadística Aplicada Continuous Models on the Half Line n Exponential n Gama n Chi-square n Non central Chi-square n F n Non central F n Weibull

45 Bioestadística Aplicada Exponential distribution n Scale parameter = 0.5, 1, 2

46 Bioestadística Aplicada Chi-square distribution n Degrees of freedom = 3, 5, 10,15

47 Bioestadística Aplicada F distribution n Degrees of freedom = (3,3), (10,10), (30,30)

48 Bioestadística Aplicada Continuous Models on a Finite Interval n Beta n Uniform

49 Bioestadística Aplicada Uniform distribution n P = 1/3

50 Bioestadística Aplicada Beta distribution n Parameters: (2,15), (5,15), (15,5)

51 Bioestadística Aplicada Discrete Models n Binomial n Poisson n Negative Binomal n Uniform

52 Bioestadística Aplicada Binomial distribution n N=10 n P= 0.2, 0.5, 0.8

53 Bioestadística Aplicada Poisson distribution n Intensity parameter = 1, 3, 7

54 Bioestadística Aplicada Negative Binomial n P N 0.5 10 0.4 3 0.4 6

55 Distribuciones sesgadas

56 Perfil de la distribución (skewness coefficient) n Describe cómo los Datos están Distribuídos n Caracterización del perfil de la distribución: Simétrica o sesgada

57 Perfil de la distribución n Describe cómo los Datos están Distribuídos n Caracterización del perfil de la distribución: Simétrica o sesgada Sesgada izquierdaSimétrica Mean =Median =Mode Mean Median Mod e

58 Perfil de la distribución n Describe cómo los Datos están Distribuídos n Caracterización del perfil de la distribución: Simétrica o sesgada Sesgada derecha Sesgada izquierdaSimétrica Media =Mediana =Moda Media Mediana Moda Mediana Media Mod a

59 Análisis de OUTLIERS: Datos sesgados: Valores que se exceden de 3 rangos intercuartiles por debajo del primer cuartil Q1 o por encima del tercer cuartil (Q3) (percentiles 25 y 75 respectivamente) Sesgada izquierda Sesgada Positiva Q 1 – 3(Q 3 – Q 1 ) Q1Q1 Q3Q3 Q1Q1 Q3Q3 Q 3 + 3(Q 3 – Q 1 ) outlier region