18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas1 SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR. DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA.

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2 18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas1 SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR. DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL CBTis 165 DE COATEPEC, VER. Wenceslao Vargas Márquez. Twitter @WenceslaoXalapa Marzo de 2015. MATEMÁTICAS V CÁLCULO INTEGRAL

3 18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas2 1.1.- LA INTEGRACIÓN COMO OPERACIÓN INVERSA A LA DERIVACION Este material tiene el objetivo de complementar las clases que recibes en tu salón y ayudarte a comprender mejor el proceso algebraico de la operación matemática conocida como integración. Por el lado izquierdo y de manera automática aparecen la integral, su número consecutivo y la página donde la puedes hallar en el libro oficial (Cálculo Integral, Fausto Morales Lizama, SEP-FCE- DGETI,2002). Enseguida aparece paso a el proceso de integrar usando imágenes en movimiento. Lee detenidamente cada paso y avanza hasta que lo hayas comprendido fijando cuidadosamente tu atención en toda expresión remarcada con rojo. Mientras aparezca en cada paso el signo de igual (=), la computadora espera a que des click en el botón izquierdo del ratón o enter en el teclado. También puedes avanzar oprimiendo la tecla S y retroceder los pasos que quieras con la tecla A. Puedes abandonar en cualquier momento oprimiendo ESC. Si oyes el sonido de una máquina registradora significa que el proceso concluyó y un nuevo click hará aparecer un nuevo ejercicio. Ojalá te sea de utilidad.

4 18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas3 Pág. 34 Ejercicio 4.- Se cancelan los 4 y x -4 pasa al denominador. La fracción es negativa: Al –5 se le suma 1:Se excluye el 4: Página 34. Ejercicio 5.- Excluimos el denominador 2 y colocamos la raíz en el numerador: a (–1/2) le sumamos 1: Se cancelan los (1/2) y el exponente fraccionario se convierte en raíz: Al 2 se le suma 1 y resulta 3:3: Pág. 34. Ejercicio 3.- Excluimos la constante (K+1): Pág.34. Ejercicio 2.- Separamos el 5: Pág.34. Ejercicio 1.- 1.2 FORMAS ORDINARIAS DE INTEGRACIÓN.

5 18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas4 Pág.34 ejercicio 6.- Tomemos u = ax y n = ½. La diferencial debe ser du=adx y sólo tenemos dx. Falta a y su compensación 1/a. A ½ le sumamos 1:1: Otra forma: Separamos en dos raíces el integrando para que quede así: Separamos la raíz de a: A (1/2) le sumamos 1 Aplicamos exponentes fraccionarios: Pág. 35. Ejercicio 7.- Separamos los tres términos del integrando y excluimos las constantes: Se suma 1 a cada exponente:

6 18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas5 Pág. 35. Ejercicio 8.- Fórmula 3. Tomamos u = x+b, n = 3, du = dx Pág. 35. Ejercicio 9: Fórmula 3. Colocamos el integrando en el numerador. El exponente cambia de signo y se le sumará 1:1: El exponente –2 pasa positivo al denominador Pág. 35. Ejercicio 10: Para usar la fórmula 3, convertimos la raíz cuadrada a exponente fraccionario (1/2) : Tomamos u = 3x + 3. De esta forma du debe ser du=3dx. Sólo tenemos dx. Falta la constante 3 que añadimos y compensamos con (1/3): Se multiplica los extremos 2 por 1 y los medios 3 por 3, resultando (2/9):

7 18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas6 Ejercicio 11. Pág. 35: Usaremos las fórmulas 2 y 3. Multipliquemos la raíz de x por x y 1:1: Ejercicio 12. Pág. 35 Fórmula 4. Usamos u = x –2; y du = dx. Ejercicio 13. Pág. 35 Fórmula 4. Si usamos u=3x+1, entonces du=3dx. Falta 3 que añadimos y compensamos con 1/3: Por propiedades de logaritmos el coeficiente fraccionario (1/3) se convierte en exponente y luego en raíz cúbica: Ejercicio 14. Pág. 35.

8 18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas7 Ejercicio 15. Pág. 35.- Si tomamos u=2x o si tomamos u=2x+1 no obtenemos la diferencial. Por tanto procedamos a hacer la división de 2x entre 2x+1 para que resulte: Hemos usado la fórmula 2. La primera integral se resuelve con la fórmula 1. La segunda con la 4 donde u=2x-1 y du=2dx. Falta 2 y su compensación (1/2). Usando propiedades de logaritmos: Ejercicio 16. Pág. 35.- Ninguna de las dos funciones tomada como u nos proporciona una du útil para usar la fórmula 3. Debemos factorizar del denominador y cancelar (x+1): Con la fórmula 4 la respuesta es: Ejercicio 17. Pág. 35.- Separemos usando la fórmula 2 y luego aplicaremos la 4 en dos ocasiones: Usando la propiedad de logaritmos que se suman:

9 18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas8 Ejercicio 18. Pág. 35. Integraremos término a con la fórmula 2. Cada integral será del modelo de la fórmula 4. En ambos casos du=2dx. Añadimos 2 y compensamos con ½.½. Con propiedades de logaritmos que se restan: Ejercicio 19. Pág. 35. Hagamos u=a-bx por lo que du= -bdx. Falta (-b) y su compensación (-1/b). Por propiedades de logaritmos, el cambio de signo de un coeficiente de logaritmos invierte la fracción afectada por el logaritmo: Ejercicio 20. Pág. 35. Fórmula 6 con u=2x y además du=2dx. Falta un 2 y su compensación (1/2). Ejercicio 21. Pág. 35. Fórmula 6 con u=-x y dx= -dx. Sólo falta el signo negativo (-)(-) El exponente negativo de la a -x en el numerador se hace positivo si la pasamos al denominador. Arriba queda un 1 negativo:

10 18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas9 Ejercicio 22. Pág. 35. Usemos la fórmula 5 con u = 5x. Así tendremos dx = 5dx. Falta 5 y su compensación (1/5): Ejercicio 23. Pág. 35. Usemos la fórmula 5 tomando u = lnx. Así du=(dx/x). Tenemos (1/2) sobrante que excluimos como una K en la fórmula 1: Ejercicio 24. Pág. 35. El 3 en el denominador es (1/3) que excluimos como una K en la fórmula 1. Usemos la fórmula 5 con u=x² por lo que du=2xdx. Anotemos el faltante 2 y su compensación (1/2). Ejercicio 25. Pág. 36. El 4 tomado como factor se excluye como una K. Usemos la fórmula 5 con u=senx y diferencial completo du=cosxdx: Ejercicio 26. Pág. 36. Es más frecuente hallar la integral con la 3x² al principio para no confundir el ángulo (x³). Se tomará u=x³ Usaremos la fórmula 7. La diferencial se halla completa con du=3x²dx.

11 18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas10 Ejercicio 27. Pág. 36. La función trigonométrica es el coseno, fórmula 8. Tomemos el ángulo u=x/2. Entonces du=dx/2. Falta (1/2) y su compensación 2. Ejercicio 28. Pág. 36. La función trigonométrica es el coseno y la fórmula de integración es la 8. El ángulo u=2/x= 2x -1 por lo que usando la fórmula 7 de diferenciación du= -2x -2 dx. Falta –2 que se añade y se compensa con (-1/2). Ejercicio 29. Pág. 36. El ángulo es u=e x por lo que du=e x dx, que representa a una diferencial completa. El signo simplemente se excluye como si fuese un (-1). La función es una tangente, fórmula 9. Ejercicio 30. Pág. 36. Tomando u = x² tendremos du=2xdx. Falta un 2 que añadimos y compensamos con (1/2). Fórmula 9: El coeficiente fraccionario del logaritmo se hace exponente y luego raíz cuadrada: Ejercicio 31. Pág. 36. Notamos una función cotangente. Si tomamos u=x+b tendremos du=dx, que es la diferencial completa. La fórmula es la 10:

12 18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas11 Ejercicio 32. Pág. 36. Notamos una función cotangente afectando a un logaritmo natural. Tomemos u = ln x La diferencial du es: La diferencial está completa. Queda escribir el resultado siguiendo símbolo a símbolo la fórmula 10: Ejercicio 33. Pág. 36. El cubo afecta sólo al ángulo (x³) no a la secante. Al tomar u=x³ tendremos du=3x² que es la diferencial completa. Se usará la fórmula 11 (  sec u du) escribiendo símbolo a símbolo la respuesta: Ejercicio 34. Pág. 36. La fórmula que usaremos es la 13 (  sec² u du). En el análisis del ángulo hallamos que u=ax por lo que du=adx. Falta (a) y su recíproco (1/a). Ejercicio 35. Pág. 36. Escribamos en un solo renglón el integrando. El seno pasa al numerador como cosecante: Nuestra función es una  csc² u du, que es la fórmula 14. Tenemos a u=x³ y su diferencial du=3x². Falta un 3 y su recíproco (1/3):

13 18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas12 Ejercicio 36. Pág. 36. Separemos el 2 en el denominador como factor K=1/2: La fórmula es la 15 (  sec u tan u du) donde u=x y además la diferencial du=dx está completa: Ejercicio 37. Pág. 36. Comparando con la integral anterior es notorio que el modelo es nuevamente el de la fórmula 15. Ahora u=(x/a) y du=dx/a. Debemos añadir (1/a) y compensar con (a): Ejercicio 38. Pág. 36. Desarrollamos el binomio al cuadrado e integramos término a término según la fórmula 2: La cot² x = csc² x - 1 por lo que transformamos el tercer término: Separemos términos teniendo en cuenta que hay dos csc²x que se sumarán: Las intregrales se resuelven con las fórmulas 14, 16 y 1, respectivamente: Teniendo en cuenta signos, factorizamos con el número (-2) que se repite:

14 18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas13 Ejercicio 39. Pág. 36. Nota como en el denominador hay una x al cuadrado y un 4 al cuadrado: Usemos la fórmula 17, haciendo u=x y haciendo a=4. La respuesta con la fórmula : Ejercicio 40. Pág. 36. El término x 6 es el cuadrado de x³ además de que 4 es el cuadrado de 2. Usemos la misma fórmula 17 haciendo u=x³ y también a=2. En el numerador debemos tener du=3x²dx. Falta un 3 que anotamos y compensamos como (1/3). será Ejercicio 41. Pág. 36. La diferencial de 3-x 4 no genera xdx. Se usará la fórmula 18 donde la respuesta es Como a²=3, entonces a=  3. Como u²=x 4, entonces u=x² con lo que du=2xdx. En el numerador de la integral falta un 2 que escribimos compensándolo con (1/2). Ejercicio 42. Pág. 36. Usaremos la fórmula 19 donde u=x y además du=dx. También a=1.

15 18-jul-15wenceslao.com.mx/matematicas14 Ejercicio 43. Pág. 36. Usemos la fórmula 20 donde Por comparación en la integral hallamos que u² = 4x², por ello u=2x y entonces du = 2dx lo que significa que la diferencial está completa y la respuesta será: Y como el coeficiente (1/2) de un logaritmo se puede hacer exponente y luego raíz cuadrada: Ejercicio 44. Pág. 36. Esta integral es del modelo de la fórmula 17: Transformando: Por comparación: a=1. También u=e -x por lo que du=(-)e -x dx. Falta sólo el signo negativo. Ejercicio 45. Pág. 36. Con la fórmula 23, a=2 y u=x la respuesta es: Ejercicio 46. Pág. 36. Se desarrolla el binomio al cuadrado, se separan términos y aplicando igualdades: F I N