La Parábola Tema 9 F Eje Focal X Segunda Ecuación Ordinaria

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1 La Parábola Tema 9 F Eje Focal X Segunda Ecuación Ordinaria
Y P(x,y) X l A F  Lado Recto Directriz V(h,k) Segunda Ecuación Ordinaria Eje focal = X (y – k)2 = 4p(x - h) V(h,k) p Y P(x,y) X A F Eje Focal Directriz  Lado Recto l Segunda Ecuación Ordinaria Eje focal = Y (x – h)2 = 4p(y - k)

2 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS. TRASLACIÓN DE EJES COORDENADOS.
por TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS. TRASLACIÓN DE EJES COORDENADOS. DEFINICIÓN: Una transformación es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada. La ley se expresa por medio de las ecuaciones de Transformación. La transformación de coordenadas tiene por objeto eliminar los términos de primer grado. TEOREMA: Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O’(h,k) y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x,y) y (x’,y’), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son: x = x’ + h y y = y’ + h Hipótesis X y Y son ejes primarios X’ y Y’ los nuevos ejes O’(h,k) coordenadas del nuevo origen P(x,y) antes Y y’  y’ Tesis x = x’ + h y = y’ + k y O’(h, k)  x’ k Por construcción se trazan desde un pto P(x,y), 2 perpendiculares a ambos ejes. x = x’ + h Suma de segmentos y = y’ + k Suma de segmentos h x’ X x

3 FORMAS DE REALIZAR UNA TRANSFORMACIÓN
1.- Ubicando los nuevos ejes x’ e y’ en un punto conocido P(x1,y1), en cuyo caso se sustituyen las variables x e y por : x = x’ + x1; y = y’ + y1. Ejemplo 1. Transformar la ecuación x2 + y2 + 2x – 6y + 4 = 0, trasladando los ejes coordenados al punto (-1,3). y x = x’ + h  x = x’ – 1 y = y’ + k  y = y’ + 3 (x’ - 1)2 + (y’ + 3)2 + 2(x’ – 1) – 6(y’ + 3) + 6= 0 x’2 – 2x’ y’2 + 6y’ x’ – 2 – 6y’ – = 0 x’2 + y’2 = 4 Radio= 2 . 3 O’(-1,3) O x -1

4 2.- Determinando las coordenadas del punto donde se ubicará el nuevo origen. Esto puede hacerse de dos formas: Primer Método: Sustituyendo x e y por x = x’ + h , y = y’ + k, para luego igualar los coeficientes de los términos de primer grado a 0, para determinar h y k, hallando así las ecuaciones de traslación. Ejemplo 2. Por una traslación de ejes, transfórmese la ecuación 2x2 + y2 + 16x – 4y + 32 = 0, en otra que carezca de términos de primer grado. x = x’ + h y = y’ + k y Ecuaciones de traslación 2(x’ + h)2 + (y’ + k)2 + 16(x’ + h) – 4(y’ + k) + 32 = 0 2x’2 + 4hx’ + 2h2 + y’2 + 2y’k + k2 + 16x’ + 16h – 4y’ – 4k + 32 = 0 2x’2 + y’2 + (4h + 16)x’ + (2k – 4)y’ + 2h2 + + k2 + 16x’ + 16h – 4k + 32 = 0 4h + 16 = 0  h = -4 2k – 4 =  k = 2 2x’2 + y’2 + 2(-4) (-4) = 0 2x’2 + y’2 = 4 Radio= 2 . 2 O’(-4,2) O x -4

5 2.- Determinando las coordenadas del punto donde se ubicará el nuevo origen. Esto puede hacerse de dos formas: Segundo Método: Completando cuadrados para conocer los valores de h y k y luego sustituirlos en las ecuaciones de traslación x = x’ + h, y = y’ +k Ejemplo 3. Por una traslación de ejes, transfórmese la ecuación 4x2 + 4y2 + 32x – 4y + 45 = 0, en otra que carezca de términos de primer grado. 4x2 + 4y2 + 32x – 4y + 45 = dividiendo la ecuación entre 4 4 x2 + y2 + 8x – y + 45/4 = 0 (x + 4)2 – 16 + (y – ½)2 – ¼ + 45/4 = completando cuadrados y x + 4 = x’  x = x’ - 4 y – ½ = y’  y = y’ + 1/2 Ecuaciones de traslación . Radio= O’(-4,1/2) 1/2 x’2 + y’2 = 5 y O’ = (-4, 1/2) O x -4

6 La recta fija Directriz l l Y El punto fijo es el Foco F
Definición: Una PARÁBOLA es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. LA PARÁBOLA La recta fija Directriz l l Y El punto fijo es el Foco F P(x,y)   Radio vector Si P(x,y) es un Pto. cualquiera de la parábola la distancia de P a F es igual a la distancia de P a la Directriz, y esta distancia se denomina radio focal de P o radio vector de P Radio vector  F Foco X Directriz

7 p = distancia del vértice a la directriz y del vértice al foco l Y
Definición: Una PARÁBOLA es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. LA PARÁBOLA C B p = distancia del vértice a la directriz y del vértice al foco l Y L P(x,y) A = Punto de intersección entre la directriz y el eje X V = Punto medio entre AF = Vértice BB’ = Cuerda, segmento que corta a la parabola en dos puntos CC’ = Cuerda Focal (pasa por el foco) LL’ = Cuerda focal perpendicular al foco = Lado recto o   Radio vector Radio vector A V   p p F Foco X Directriz C’ L’ B’

8 ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
Y l P(x,y) A   y V  x x- p  F:foco X -X p (1) Directriz (2) Distancia entre P y A (3) Distancia entre F y P Igualación entre (2) y (3) Elevando ambos miembros al cuadrado 1 era ecuación Ordinaria o Canónica 1 era ecuación Ordinaria o Canónica

9 TEOREMA: La ecuación de una parábola de vértice en el origen, y eje en el eje X es: y2 = 4px,
donde el foco es el punto P(p,0) y la ecuación de la Directriz es x = -p. Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha. Si p < 0, la parábola abre hacia la izquierda. Si el eje coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen su ecuación es x2 = 4py en donde el foco es el punto (0,p) y la ecuación de la Directriz es y = -p. Si p > 0, la parábola abre hacia arriba Si p < 0, la parábola abre hacia abajo En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado.

10 Estudio de la Ecuación Canónica
Si p es positiva  la parábola abre a la derecha Si p es negativa  la parábola abre a la izquierda Y l Y l y2 = 4px y2 = - 4px F(-p,0) V A V     F(p,0) X(+) X(-)

11 Si p es positiva  la parábola abre hacia arriba
Y(+)  F(-0,p)  X V l x2 = 4py A Si p es negativa  la parábola abre hacia abajo Y(+) A l V  X  x2 = - 4py F(-0,p)

12 Segunda Ecuación Ordinaria
Ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje paralelo a los ejes coordenados (y – k)2 = 4p(x - h) Segunda Ecuación Ordinaria Eje focal = X Y l A   P(x,y) . V(h,k)  p p F Eje Focal Lado Recto Directriz X

13 Segunda Ecuación Ordinaria
Ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje paralelo a los ejes coordenados (x – h)2 = 4p(y - k) Segunda Ecuación Ordinaria Eje focal = Y Y Eje Focal Lado Recto  F p  . P(x,y) V(h,k) p X l A  Directriz

14 Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha.
Ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje paralelo a los ejes coordenados (y – k)2 = 4p(x - h) (x – h)2 = 4p(y – k) Segunda Ecuación Ordinaria TEOREMA: La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje x, es de la forma: (y – k)2 = 4p(x - h) siendo  p la longitud del eje comprendido entre el foco y el vértice. Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha. Si p < 0, la parábola abre hacia la izquierda. La ecuación de la parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje y, es de la forma: (x – h)2 = 4p(y – k) Si p > 0, la parábola abre hacia arriba Si p < 0, la parábola abre hacia abajo

15 TEOREMA: Una ecuación de segundo grado en las variables x y y que carezca del término en xy puede escribirse en la forma: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Si A = 0 , C  0 y D  0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje X. Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Si, en cambio, D = 0, la ecuación representa dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugar geométrico, según que las raices de Cy2 + Ey + F = 0 sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas. Si A  0, C = 0 y E  0, la ecuación representa una parabola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Ax2 + Dx + Ey + F = 0 Si, en cambio, E = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje Y, o ningún lugar geométrico, según que las raices de Ax2 + Dx + F = 0