P2. Septiembre 2006 (4 puntos) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función f(x) = x2 -π ≤ x ≤ π, con f(x) = f(x + 2π) Estudiar si el desarrollo.

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1 P2. Septiembre 2006 (4 puntos) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función f(x) = x2 -π ≤ x ≤ π, con f(x) = f(x + 2π) Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a f(x) en [-π,π] Basándose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la serie numérica A partir del desarrollo de Fourier de la función f(x), obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función g(x) = x(x2 – π2) -π ≤ x ≤ π, con g(x) = g(x + 2π)

2 Respuesta. f(x) = x2, x є [-π,π], 2π periódica Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0:

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4 2. 3. Por convergencia uniforme, se aplica la identidad de Parseval:

5 4.

6 b) (3 puntos) Calcular el valor de la integral
siendo C : |z| = 2, orientado positivamente. Respuesta.

7 Por el teorema del residuo en el infinito:
C C2 C1 z=4 z=-1 z=3 Re(z) z=-3 C3 Por el teorema de Cauchy-Goursat en dominios múltiplemente conexos:

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9 c) (3 puntos) Obtener, mediante el método operacional de Laplace, la solución del problema de Cauchy
Respuesta.

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