@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 GRÁFICAS RACIONALES TEMA 13.5a * 2º BCT.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 GRÁFICAS RACIONALES TEMA 13.5a * 2º BCT

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.2 A tener en cuenta Puntos importantes a tener en cuenta para representar funciones RACIONALES, y = P(x) / Q(x) 1.-Asíntotas verticales. 2.-Asíntotas horizontales. 3.-Asíntotas oblicuas. 4.-Máximos y mínimos relativos. Otros apartados auxiliares para conseguir una mayor precisión son: 5.-Cortes con los ejes. 6.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 7.-Puntos de inflexión. 8.-Intervalos de concavidad y convexidad. 9.-Simetría. 10.-Periodicidad. 11.-Tabla de Valores.

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.3 EJEMPLO_1 Representar la función: y = x / (3 – x) 1.-Asíntota vertical En x = 3 la función no existe. En x = 3 la función presenta una asíntota vertical. Calculamos sus límites laterales: x 3 Lím ------------ = ------ = + oo x  3 - 3 – 3 - +0 x 3 Lím ------------ = ------ = – oo x  3 + 3 – 3 + – 0 0 3 x y

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.4 EJEMPLO_1 Representar la función: y = x / (3 – x) 2.-Asíntota horizontal x oo y = Lím ------------ = ------ = x  oo 3 – x oo Indeterminación Se divide todo entre x 1 1 Lím ------------ = ------ = – 1 x  oo 3/x – 1 0 – 1 y= -1 es una asíntota horizontal. 0 3 x y

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.5 EJEMPLO_1 Representar la función: y = x / (3 – x) 3.-Asíntota oblicua La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función: f(x) x m = Lím ------ = lím -------------- = x  oo x x  oo x (3 – x) 1 1 1 m = Lím -------- = ---------- = ------ = 0 x  oo 3 – x 3 – oo - oo Al ser la pendiente m=0, la asíntota es horizontal (ya hallada). No hay asíntota oblicua. 0 3 x y

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.6 Ejemplo_1 Representar la función y = x / (3 – x) 4.-Puntos singulares Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = [ 1. (3 – x) – (-1). x ] / (3 – x) 2 y ‘ = [ 3 – x + x ] / (3 – x) 2 = 3 / (3 – x) 2 Igualamos a cero: y ‘ = 0  3 = 0  Imposible. No existen puntos singulares, ni máximo ni mínimo relativo. 5-Cortes con los ejes Con el eje OY: x=0  y = 0 / 3 = 0  Pc(0,0) Con el eje OX: y=0  0= x / (3 – x)  0 = x  Pc(0,0) 0 3 x y Pc(0,0)

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.7 Ejemplo 1: Representar la función y = x / (3 – x) 6.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Su derivada era y ‘ = 3 / ( 3 – x) 2 Al no haber puntos singulares, x = 3, que es la asíntota vertical, nos delimita los intervalos Los intervalos a estudiar son: (-oo, 3) y (3, oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ’ (0) = 3 / (3 – 0) 2 = 3 / 9 = 1 / 3 > 0  Creciente en (- oo, 3) f ’ ( 6) = 3 / (3 – 6) 2 = 3 / 9 = 1/ 3 > 0  Creciente en (3, + oo)

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.8 Ejemplo 1: Representar la función y = x / (3 – x) 7.-Puntos de Inflexión: Su derivada era y ‘ = 3 / (3 – x) 2 Hallamos la segunda derivada: y ’’ = [ 0. (3 – x) 2 – 3. 2.(3 – x).( - 1)] / (3 – x) 4 y ’’ = [ 6.(3 – x)] / (3 – x) 4 = 6 / (3 – x) 3 Igualamos a cero: 6 / (3 – x) 3 = 0  6 = 0  Imposible. No existen puntos de inflexión. No procede comprobar que y’’’ <> 0

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.9 Ejemplo 1: Representar la función y = x / (3 – x) 8.-Intervalos de concavidad y convexidad: Su derivada era y ‘ = 3 / (3 – x) 2 Su segunda derivada era: y ’’ = 6 / (3 – x) 3 Como no hay Puntos de Inflexión, los límites de los intervalos vendrán dados por la asíntota vertical x = 3 Los intervalos a estudiar son: (- oo, 3) y (3, + oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ‘’ (0) = 6 / 3 3 > 0  Es Cóncava en (- oo, 3) f ‘’ (6) = 6 / (3 – 6) 3 = 6 / (- 3 3 ) < 0  Es Convexa en (3, + oo)

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.10 Gráfica de la función Ejemplo_1 Sea la función: y = x / (3 – x) Asíntota vertical: x = 3 Asíntota horizontal: y = - 1 Puntos de corte: Pc (0, 0), Máximo: No hay. Mínimo: No hay. Creciente en (- oo, 3) y en (3, +oo) Punto de Inflexión: No hay. Es cóncava en (- oo, 3) Es convexa en (3, + oo) No presenta simetrías. 0 3 x y Pc(0,0)