CAMPOS VECTORIALES DEFINICIÓN DOMINIO . REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA

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1 CAMPOS VECTORIALES DEFINICIÓN DOMINIO . REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
OPERACIONES LIMITES Y CONTINUIDAD DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN EL OPERADOR «NABLA» DIVERGENCIA Y ROTACIONAL CAMPOS CONSERVATIVOS ROSA N. LLANOS VARGAS

2 CAMPOS VECTORIALES Definición.- Sean los subconjuntos no vacíos A y B , A ⊂ 𝑅 𝑛 , 𝐵⊂ 𝑅 𝑚 ,𝑚,𝑛 ∈ ℤ + , una función vectorial , F, talque a cada vector 𝑎 de A le hace corresponder a lo más un vector 𝑏 de B , y 𝑏 = F( 𝑎 ). Simbólicamente, F: A ⊂ 𝑅 𝑛 →𝐵⊂ 𝑅 𝑚 𝑎 ⟼ 𝑏 = F( 𝑎 )= ( 𝐹 1 𝑎 , 𝐹 2 𝑎 , 𝐹 3 𝑎 , …, 𝐹 𝑚 𝑎 ) Donde cada función componente es 𝐹 𝑖 :𝐴⊂ 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑎 ⟼𝑧 = 𝐹 𝑖 ( 𝑎 ) DOMINIO . 𝐷𝑜𝑚𝐹= 𝑖=1 𝑚 𝐷𝑜𝑚( 𝐹 𝑖 ) F se llama CAMPO VECTORIAL. Los campos vectoriales reciben nombres de acuerdo a la interpretación física de los vectores que lo constituyen ,asi puede tenerse un campo de velocidades, de fuerzas, gravitatorio o eléctrico.

3 Geométricamente F representa un campo de vectores.
Ejemplo . Represente gráficamente el campo vectorial definido por: F : 𝑅 2 → 𝑅 2 / F ( x, y ) = ( − y, x ) Solución Para representar este campo vectorial se evaluará algunos puntos ( x, y ) en la función F ( x, y ) , como por ejemplo Punto Vector (1,1) F(1,1)= ( −1,1) (-1,1) F ( −1,1) = ( −1, −1) (-1,-1) F ( −1, −1) = (1, −1) (1,-1) F (1, −1) = (1,1) . Luego tomamos, el primer vector resultante (-1,1) teniendo como punto inicial al punto (1,1); procediendo con los otros vectores se obtiene la representación gráfica del campo FIg-.1 vectorial que se muestra en la Figura 1.

4 Si se requiere tener una representación con mayor cantidad de vectores de estos campos
Vectoriales computarizados, obteniéndose representaciones como las que se muestran en las Figuras, puede recurrirse a calculadores graficadores o programas Computacionales OPERACIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD Con campos vectoriales se puede calcular la suma, diferencia, producto por una función escalar, el producto escalar

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8 Algunas propiedades 1. 2. 3.

9 DERIVACIÓN . Sea 𝑭: 𝑹 𝒏 → 𝑹 𝒎 es diferenciable en a ∈ 𝑹 𝒏 si F está definida en una
Vecindad V( a, 𝜹) y existe una matriz A mxn de orden mxn , talque para todo a+h en V, Se cumple F(a+h) = F(a) + A mxn h nx1 + g(x,h) Donde g(x,h) →0 , si h → 0 A = DF(a) , dF(a,h) = A mxn h nx1 PROPOSICIÓN. La función 𝑭: 𝑹 𝒏 → 𝑹 𝒎 es diferenciable en el punto a de su dominio si Y solo si cada una de las funciones componentes de F es diferenciable en a. F= ( 𝒇 𝟏 , 𝒇 𝟐 , 𝒇 𝟑 , … , 𝒇 𝒎 ) 𝑫𝑭 𝒂 = 𝝏 𝒇 𝟏 𝝏 𝒙 𝟏 (𝒂) 𝝏 𝒇 𝟏 𝝏 𝒙 𝟐 (𝒂) 𝝏 𝒇 𝟏 𝝏 𝒙 𝒏 (𝒂) 𝝏 𝒇 𝟐 𝝏 𝒙 𝟏 (𝒂) 𝝏 𝒇 𝟐 𝝏 𝒙 𝟐 (𝒂) 𝝏 𝒇 𝟐 𝝏 𝒙 𝒏 (𝒂) 𝝏 𝒇 𝒎 𝝏 𝒙 𝟏 (𝒂) 𝝏 𝒇 𝒎 𝝏 𝒙 𝟐 (𝒂) 𝝏 𝒇 𝒎 𝝏 𝒙 𝒏 (𝒂) = 𝜵 𝒇 𝟏 (𝒂) 𝜵 𝒇 𝟐 (𝒂) 𝜵 𝒇 𝒎 (𝒂) Llamada Matriz jacobiana de F

10 Teorema. Si F y G son campos vectoriales definidos y diferenciables sobre un dominio
común D, y si X es un elemento en D, entonces D(F + G ) = DF + DG D(F . G )= F . DG + (DF) . G D(F x G) = F x DG + (DF) x G D(φ F) = φ DF + (Dφ)F , donde φ : R → R LA COMPOSICIÓN DE CAMPOS VECTORIALES Sean G : 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚 ; F : 𝑅 𝑚 → 𝑅 𝑝 ;𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝐹 𝑜 𝐺 : 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑝 entonces 𝐹 𝑜 𝐺 (X) = F( 𝐺 1 𝑋 , 𝐺 2 𝑋 , 𝐺 3 𝑋 , …, 𝐺 𝑚 𝑋 ) Si U = ( 𝐺 1 𝑋 , 𝐺 2 𝑋 , 𝐺 3 𝑋 , …, 𝐺 𝑚 𝑋 ) entonces 𝐹 𝑜 𝐺 (X) = ( 𝐹 1 𝑈 , 𝐹 2 𝑈 , 𝐹 3 𝑈 , …, 𝐹 𝑝 𝑈 )

11 TEOREMA. A) Si G : 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚 es continua en A y si F : 𝑅 𝑚 → 𝑅 𝑝 es continua en G(A), Entonces 𝐹 𝑜 𝐺 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝐴. B) Si G : 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚 , y si lim 𝑋→𝐴 𝐺 𝑋 =𝐵 , 𝑠𝑖 𝐹: 𝑅 𝑚 → 𝑅 𝑝 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝐵 𝑦 𝐴 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 de acumulación de Dom(FoG) , entonces lim 𝑋→𝐴 𝐹 𝑜 𝐺 𝑋 =𝐹 𝐵 =𝐹 lim 𝑋→𝐴 𝐺(𝑋)

12 TEOREMA. Si G : 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚 es diferenciable en D , siendo D un subconjunto abierto de 𝑅 𝑛 y si F : 𝑅 𝑚 → 𝑅 𝑝 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎 𝑅𝑎𝑛 𝐺 ;𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐹 𝑜 𝐺 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐷, 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 D(FoG) = DF[G(X)] DG(X) = F’ [G(X)]G’(X) D(FoG) = [J(F)(G(X)] 𝑝𝑥𝑚 𝐽(𝐺 𝑋 ) 𝑚𝑥𝑛

13 DERIVADA DIRECCIONAL : de un campo vectorial F : 𝑹 𝒏 → 𝑹 𝒎 con respecto al vector
v en el punto a es el vector denotado por : 𝑫 𝒗 𝑭 𝒂 = 𝜵 𝒇 𝟏 𝒂 . 𝒗 ,𝜵 𝒇 𝟐 𝒂 . 𝒗 , ,𝜵 𝒇 𝒎 𝒂 . 𝒗 Ejemplo . Derivar y diferenciar F(x,y,z) = ( x sen y + cosz, x 𝒆 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒛) 2)F(x,y, z ) = 𝒙 𝟑 𝒚 +𝟕𝒛, 𝒚 𝒙 𝟐 𝟑 𝒛 , 𝟖𝒛+𝟕𝒛𝒚 3) F(x , y ) = ( xcos(xy) , 𝟑 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟑 , 𝒚𝒔𝒆𝒏𝒙 )

14 EL OPERADOR DIFERENCIAL «NABLA» : ∇.
∇=( 𝜕 𝜕𝑥 , 𝜕 𝜕𝑦 , 𝜕 𝜕𝑧 ) , de modo que si 1. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR f es un campo escalar , entonces ∇f = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑘 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓. 2.LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL. F(X,Y,Z) = ( 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 , 𝐹 2 𝑥,𝑦,𝑧 , 𝐹 3 𝑥,𝑦,𝑧 ) ∇. F = 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑧 ∇. F = Div(F)

15 La notación de producto escalar utilizada para la divergencia proviene de considerar a
𝛻 como un operador diferencial en el siguiente sentido: 𝛻.𝐹 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖+ 𝜕 𝜕𝑦 𝑗+ 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 . 𝑀𝑖+𝑁𝑗+𝑃𝑘 De donde, 𝛻.𝐹 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝜕𝑀 𝜕𝑥 + 𝜕𝑁 𝜕𝑦 + 𝜕𝑃 𝜕𝑧

16 INTERPRETACION . La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante Y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control ; por tanto, si el campo tiene «fuentes» y « sumideros», la Divergencia de dicho campo será diferente de cero. Si F representa el flujo de un fluido, su divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Si div(F) < 0 , el campo se está comprimiendo, posee «sumideros» Si div(F) >0 , el campo se está expandiendo , posee «fuentes» Si div(F) =0 , el campo es incompresible Conforme el fluido se mueve el volumen (área) de control se comprime , expande O queda igual .

17 3. EL ROTACIONAL En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es una operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. El rotacional de un campo vectorial se define como la capacidad de un vector de rotar alrededor de un punto.

18 Si F = Pi+Qj + Rk es un campo vectorial de 𝑅 3 y existen todas
las derivadas parciales de P , Q , R entonces el rotacional de F es el campo vectorial definido por: 𝑟𝑜𝑡𝐹= 𝜕𝑅 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄 𝜕𝑧 𝑖+ 𝜕𝑃 𝜕𝑧 − 𝜕𝑅 𝜕𝑥 𝑗+ 𝜕𝑄 𝜕𝑧 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑘 Por otro lado si se considera 𝛻= 𝜕 𝜕𝑥 𝑖+ 𝜕 𝜕𝑦 𝑗+ 𝜕 𝜕𝑧 𝑘 tambien se tendrá 𝛻×𝐹= 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑃 𝑄 𝑅 = 𝜕𝑅 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄 𝜕𝑧 𝑖+ 𝜕𝑃 𝜕𝑧 − 𝜕𝑅 𝜕𝑥 𝑗+ 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑘 = rotF

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21 PROPIEDADES DEL OPERADOR « ∇»
Sean F y G dos campos vectoriales y 𝜑 un campo escalar 1. ∇x (F ± G) = ∇x F ± ∇xG 2. ∇x (k F) = k ∇x F, k∈𝑅 3. ∇x (𝜑 F) = (∇𝜑)x F + 𝜑(𝛻×𝐹) 4. ∇. (𝜑 F) = (∇𝜑). F + 𝜑(𝛻.𝐹) 5. Div(F x G ) = G. rotF - F. rotG ; es decir: ∇. (F x G )= G. (∇ x F ) – F . (∇ x G)

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23 1) Sea f : 𝑅 3 →𝑅, 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝛁. 𝛁𝒇 = 𝛁 𝟐 𝒇= ∆𝐟
EL OPERADOR LAPLACIANO 1) Sea f : 𝑅 3 →𝑅, 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝛁. 𝛁𝒇 = 𝛁 𝟐 𝒇= ∆𝐟 𝛁. 𝛁𝒇 =𝛁. 𝝏𝒇 𝝏𝒙 , 𝝏𝒇 𝝏𝒚 , 𝝏𝒇 𝝏𝒛 Luego, 𝛁 𝟐 𝒇= 𝝏 𝟐 𝒇 𝝏 𝒙 𝟐 + 𝝏 𝟐 𝒇 𝝏 𝒚 𝟐 + 𝝏 𝟐 𝒇 𝝏 𝒛 𝟐 ∆ = ( 𝝏 𝟐 𝝏 𝒙 𝟐 , 𝝏 𝟐 𝝏 𝒚 𝟐 , 𝝏 𝟐 𝝏 𝒛 𝟐 ) se llama «Operador Laplaciano» 2)Si F: 𝑅 3 → 𝑅 3 ,es un campo vectorial talque F(x,y,z )=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), entonces 𝛁 𝟐 𝑭= ( 𝛁 𝟐 𝑷, 𝛁 𝟐 𝑸, 𝛁 𝟐 𝑹)

24 CAMPOS CONSERVATIVOS. El campo vectorial F es conservativo si existe una función escalar f tal que 𝛻𝑓=𝐹.;𝑓 Se llama «función potencial» Si F ( x,y) = ( P(x,y) , Q( x, y )) es conservativo si 𝜕𝑄 𝜕𝑥 = 𝜕𝑃 𝜕𝑦 Si F(x, y, z ) = ( P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) ) es conservativo si rot (F) = 0 comprobar si Fes conservativo y hallar la función potencial en caso de serlo. F(x,y ) = −𝑦 𝑥 2 +𝑦 2 , 𝑥 𝑥 2 + 𝑦 2 +2𝑦 2)F(x,y)= xzi + xyz j - 𝑦 2 𝑘 3) F(x,y,z) = (2xy , 𝑥 2 + 𝑦 2 , 2zy) Solución 1) 𝜕 𝜕𝑥 𝑥 𝑥 2 + 𝑦 2 +2𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 −𝑦 𝑥 2 + 𝑦 2 ⟺ 𝑦 2 − 𝑥 𝑥 2 +𝑦 = 𝑦 2 − 𝑥 𝑥 2 +𝑦 2 2 Luego F es conservativo

25 Debe hallarse la función potencial , existe un campo escalar f , talque 𝛻𝑓=𝐹 , es decir
𝜕𝑓 𝜕𝑥 = −𝑦 𝑥 2 +𝑦 ∧2) 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑥 𝑥 2 +𝑦 2 +2𝑦 Integrando 1) con respecto a x , se tiene, f(x,y)= −𝑦 𝑥 2 +𝑦 2 𝑑𝑥=−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑦 +𝑔 𝑦 f(x,y)= −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑦 +𝑔 𝑦 ………..3) Derivando miembro a miembro 3) con respecto a y, e igualando a 2), resulta, 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑥 𝑥 2 +𝑦 2 +𝑔′(𝑦)= 𝑥 𝑥 2 +𝑦 2 +2𝑦 Simplificando, queda 𝑔 ′ 𝑦 = 2𝑦 Integrando ambos miembros con respecto a y , se obtiene; g(y) = 𝑦 2 +𝐶 ……. 4) Reemplazando 4) en 3) f(x,y)= −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑦 + 𝑦 2 + C , es la función potencial.

26 Ejemplo 2. Si F = xzi + xyz j - 𝑦 2 𝑘 ; hallar rot F
Solución 𝛻×𝐹= 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑃 𝑄 𝑅 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝑥𝑧 𝑥𝑦𝑧− 𝑦 2 = 𝜕(− 𝑦 2 ) 𝜕𝑦 − 𝜕𝑥𝑦𝑧 𝜕𝑧 𝑖− 𝜕(− 𝑦 2 ) 𝜕𝑥 − 𝜕𝑥𝑧 𝜕𝑧 𝑗+ 𝜕𝑥𝑦𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕𝑥𝑧 𝜕𝑦 𝑘 = (-2y - xy) i - (0 – x ) j + (yz – 0 ) k El campo no es conservativo Ejemplo 3.F(x,y,z)= (2xy, 𝑥 2 + 𝑦 2 , 2zy) Rot(F)= 𝜕 𝜕𝑦 (2𝑥𝑦)− 𝜕 𝜕𝑧 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑖− 𝜕 𝜕𝑥 (2𝑧𝑦)− 𝜕 𝜕𝑧 (2𝑥𝑦) 𝑗+ 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 )− 𝜕 𝜕𝑦 (2𝑥𝑦) 𝑘 = ( 2x , 0 , 0 ) ≠ 0,0,0 Luego el campo no es conservativo

27 Ejemplo 3. determinar si el campo vectorial definido por F(x,y,z)= (2xy , 𝑥 2 +2yz, 𝑦 2 )
es un campo conservativo Solución El campo es conservativo si rot(F = 0 . Rot(F) = 𝜕 𝜕𝑦 ( 𝑦 2 )− 𝜕 𝜕𝑧 𝑥 2 +2𝑦𝑧 , 𝜕 𝜕𝑧 (2𝑥𝑦) − 𝜕 𝜕𝑥 (𝑦 2 ), 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝑥 2 +2𝑦𝑧)− 𝜕 𝜕𝑦 (2𝑥𝑦) = ( 2y-2y , 0 , 2x-2x )= ( 0 , 0 , 0) ; entonces el campo es conservativo. Existe una función escalar f tal que 𝛻𝑓=𝐹 ⟺ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 , 𝜕𝑓 𝜕𝑦 , 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 2𝑥𝑦, 𝑥 2 +2𝑦𝑧, 𝑦 2 1) 𝜕𝑓 𝜕𝑥 =2𝑥𝑦 , 2) 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑥 2 +2𝑦𝑧 , 3) 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 𝑦 2 Integrando ambos miembros de 1) con respecto a x, resulta f(x,y,z) = 𝑥 2 𝑦+ℎ 𝑦, 𝑧 …………………………4) Derivando f con respecto a y e igualando con 2) 𝑓 𝑦 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 2 + ℎ 𝑦 𝑦,𝑧 = 𝑥 2 +2𝑦𝑧⟹ ℎ 𝑦 𝑦,𝑧 =2𝑦𝑧 Integrando ambos miembros de la última ecuación con respecto a y, resulta h(y,z) = 𝑦 2 𝑧+𝑘 𝑧 ……………………5) Derivando con respecto a z e igualando a 3), se tiene, ℎ 𝑧 𝑦,𝑧 = 𝑦 2 + 𝑘 ′ 𝑧 = 𝑦 2 ⟹ 𝑘 ′ 𝑧 =0⟹𝑘 𝑧 =𝐶. 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 h(y,z)= 𝑦 2 𝑧 + C ; luego de reemplazar en 4) , tendremos la función potencial f(x,y,z) = 𝑥 2 𝑦+ 𝑦 2 𝑧+𝐶

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