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Publicada porNieves Chica Modificado hace 9 años
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ENCUENTRO DE LÓGICA Y COMPUTACIÓN NOCIONES CONJUNTISTAS A PARTIR DE LOGICAS POLIVALENTES Una introducción Universidad del Cauca. Popayán, abril 3 al 7 de 2006 Presentado por: Alberto Donado Núñez Universidad Pedagógica Nacional
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PROPOSICIONES Y CONECTIVOS BIVALENTES El conjunto de valores de verdad para las proposiciones es 2 = { 0, 1 } 01 000 101 01 011 101 01 011 110 p = (p 0) y p q = ( p q ) ( q p ) x y = min { x, y } x y = max { x, y}p q =
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PREDICADOS p : X 2 x p( x ) De predicados a proposiciones: Reemplazando: p ( x 0 ) Cuantificando: ( x ) ( p ( x ) ) = min p ( x ) : x X ( x ) ( p ( x ) ) = max p ( x ) : x X A ACAC
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CONJUNTOS Y SUS OPERACIONES { x X : x A x B }{ x X : x A x B } { x X : x A x B }{ x X : x A x B } ABAB ABAB (A B) C (A B) C
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DEFINICIONES (Uso de los cuantificadores) ( x ) ( x A x B ) Contenencia A B ( x ) ( x A x B ) Igualdad A = B ( x ) ( x A x B ) A = X = B ( x ) ( x A x B ) A y B cubren a X ( x ) ( x A x B ) A y B no son disyuntos ( x ) ( x A x B ) A o B son no vacíos ( x ) ( x A x B ) A - B no es X ( x ) ( x A x B ) A B no es X
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PROPOSICIONES Y CONECTIVOS EN ALGUNAS LÓGICAS POLIVALENTES UNA LOGICA TRIVALENTE El conjunto de valores de verdad es 3 = { 0, ½, 1 } 1½01 ½½0½ 0000 1 ½ 0 CONJUNCIONCONJUNCION
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PROPOSICIONES Y CONECTIVOS EN ALGUNAS LÓGICAS POLIVALENTES UNA LOGICA TRIVALENTE El conjunto de valores de verdad es 3 = { 0, ½, 1 } 1111 1½½½ 1½10 1 ½ 0 DISYUNCIONDISYUNCION
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1½01 ½10½ 0010 1 ½ 0 1½01 110½ 1110 1 ½ 0 UNA LOGICA TRIVALENTE El conjunto de valores de verdad es 3 = { 0, ½, 1 } IMPLICACIÓN DOBLE IMPLICACIÓN p = p 0 001 PP 1½0P
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UN TIPO ESPECIAL DE LÓGICAS POLIVALENTES El conjunto de valores de verdad es n = yxsiy yx yx yxmaxyx yxinfyx 1,,
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NOCIÓN DE 3 - CONJUNTO Predicado: : X 3. 3-Conjunto asociado: A = (A 0, A 1/2, A 1 ) A 1 = { x X : ( x ) = 1 } A 1/2 = { x X : ( x ) = 1/2 } A 0 = { x X : ( x ) = 0 } A1A1 A 1/2 A0A0
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OPERACIONES ENTRE 3 - CONJUNTOS INTERSECCIÓNINTERSECCIÓN A B A BA B A1A1 A 1/2 A0A0 B1B1 B 1/2 B0B0
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OPERACIONES ENTRE 3 - CONJUNTOS UNIÓNUNIÓN A B A BA B A1A1 A 1/2 A0A0 B1B1 B 1/2 B0B0
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OPERACIONES ENTRE 3 - CONJUNTOS CODIFERENCIACODIFERENCIA A B A BA B A1A1 A 1/2 A0A0 B1B1 B 1/2 B0B0
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OPERACIONES ENTRE 3 - CONJUNTOS C O D I F. S I M E T R I C A A B A BA B A1A1 A 1/2 A0A0 B1B1 B 1/2 B0B0
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AA <(A 1 B 1 ) (A ½ B ½ ) (A 0 B 0 ), (A 1 B ½ ) ( A ½ B 1 ), (A 0 (B ½ B 1 )) (B 0 (A ½ A 1 )) > A B <A 0 (A ½ (B ½ B 1 )) (A 1 B 1 ), A 1 B ½, B 0 (A ½ A 1 ) > A B A B A B 3 - Conjuntos correspondientesOperaciónConecti vo Operaciones en términos de las componentes
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La descripción en componentes de las operaciones entre n - conjuntos, derivadas de los conectivos lógicos propios del álgebra n es la siguiente: Intersección: De manera más general:
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Unión: El pseudocomplemento:
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Implicación: Doble implicación:
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CUANTIFICADORES Predicado:” ( x ) = x es sagaz” Conjunto de valores: n = El valor de verdad de ( x )( ( x )) es: min { ( x ) : x X } El valor de verdad de ( x )( ( x )) es: máx { ( x ) : x X } Nota: Los cuantificadores convierten los predicados polivalentes en nuevas proposiciones polivalentes con los que podemos armar nuevas definiciones.
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DEFINICIONES A B si y solo si ( x ) ( x A x B ) A 1 B si y solo si ( x ) ( x A x B ) = 1 Para el caso n = 3, da origen a e definiciones bivalentes así: 11
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A 1/2 B si y solo si ( x ) ( x A x B ) = 1/2 A 0 B si y solo si ( x ) ( x A x B ) = 0 1/2 00
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La 1 – contenencia entre 2 - conjuntos La 1 contenencia entre 4-conjuntos 11 11 11 11
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LA IGUALDAD A = B si y solo si ( x ) ( x A x B ) Para el caso de los n – conjuntos, la 1 – contenencia y la 1 – igualdad se obtiene cuando: Explorar con otras definiciones polivalentes y las correspondientes bivalentes que resultan.
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Sobre lógicas construidas a partir de álgebras de Heyting 1 0 ½ ab a c b c cd
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