Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182

Presentación del tema: "Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182"— Transcripción de la presentación:

1 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Principio de Inducción Matemática

2 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Supóngase que tenemos la sucesión de números naturales con la propiedad de que dichos números son de color rojo. 1,2,3,4,5,6,7... Supongamos que: El primer natural es de color rojo (1). Si todos los naturales que preceden al (n+1)-ésimo son de color rojo, entonces el (n+1)-ésimo número es de color rojo (2). Para demostrar que el número 8 es de color rojo, se observa que todos los que preceden al 7 y, por (2) el número 7 también es de color rojo. Este ejemplo ilustra el Principio de Inducción Matemática

3 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Inducción Matemática Ejemplo: Denótese por Sn= n (1) Consideremos que se afirma que: Sn=n(n+1)/2 para n=1,2, (2) Se ha elaborado una sucesión de proposiciones, a saber S1=1(2)/2=1 S2=2(3)/2=3 S3=3(4)/2=6

4 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Supóngase que cada ecuación verdadera está marcada con una “X”. Dado que la primera ecuación es verdadera, S1=1(2)/ X S2=2(3)/ X S3=3(4)/ X Sn-1=(n-1)n/ X Sn=n(n+1)/ X Sn+1=(n+1)(n+2)/2 ?

5 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Supóngase ahora que puede demostrarse que si todas las ecuaciones que preceden a la (n+1)-ésima ecuación están señaladas, entonces la (n+1)-ésima ecuación también lo está. Debe probarse que si todas las ecuaciones que preceden a la (n+1)-ésima son verdaderas, entonces la (n+1)-ésima ecuación también es verdadera. Sn+1= n+(n+1) =Sn+(n+1) =n(n+1)/2+(n+1) =(n+1)(n+2)/2

6 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Principio de Inducción Matemática: Supóngase que se tiene una proposición S(n) para cada entero positivo n, la cual es verdadera o falsa. Consideremos que Paso Básico: S(1) es verdadera Paso Inductivo: si S(i) es verdadera para todo i<n+1, entonces S(n+1) es verdadera.

7 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Ejemplo: Use inducción para demostrar que si a es distinto de 1, (Suma Geométrica). 1+a1+a2+...+an=(an+1-1)/(a-1) (1) Paso Básico: Se obtiene cuando n=0, 1=(a1-1)/(a-1), lo cual es verdadero. Paso Inductivo:Supongamos que la proposición es verdadera para n. Ahora 1+a1+a2+...+an+an =(an+1-1)/(a-1)+an+1 =(an+1-1)/(a-1)+(an+1(a-1))/(a-1) =(an+2-1)/(a-1) Como el paso básico y el paso inductivo ya han sido verificados, el principio de inducción matemática establece que (1) es verdadera para n=0,1,2,...

8 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Grafo Normal

9 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Grafo Ciencias de la Computación

10 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Definición Un grafo es una conjunto de vértices V y un conjunto de arcos E,tal que Así E, es simplemente una relación binaria en el conjunto V.

11 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Relaciones y Grafos

12 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Propiedades de Relación

13 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182

14 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Representación de Matriz Booleana

15 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Operaciones sobre la Matriz Booleana

16 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Composición Usando Matrices

17 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182

18 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182

19 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Definición Un grafo simple es una conjunto de vértices V y un conjunto de arcos E, donde cada arco es una par no ordenado de distintos vértices a y b. El grado de un vértice es el número de arcos que se conectan a el. Ejercicio: Dibuje un grafo con 3 vértices de grado 2,2 y 1.

20 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Un grafo Imposible

21 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Problema:Localización de galpones para aeronaves. Horario de Aerolíneas Dado un conjunto de vuelos que llegan a distintos horarios, ¿Cuántos galpones necesitamos para poder acomodar dichos aviones?

22 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182

23 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182

24 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Solución: Coloreo de Grafo Se colorea cada vértice de manera que no queden dos vértices adyacentes con el mismo color.

25 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Asignación de Galpones (o colores)

26 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Fuente de Problemas ¿Cómo podemos programar los exámenes finales con el objetivo de que no se tomen dos al mismo tiempo?. ¿cuántos habitad diferente necesito para que algunas especies animales puedan coexitir con otras especies?.

27 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Número Cromático Pregunta: ¿Cuál es la cantidad mínima de colores que necesito para resolver el problema? ¿Cómo se yo que esa cantidad es la mínima?

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29 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182
Principio de Inducción Matemática: Supóngase que se tiene una proposición S(n) para cada entero positivo n, la cual es verdadera o falsa. Consideremos que Paso Básico: S(1) es verdadera Paso Inductivo: si S(i) es verdadera para todo i<n+1, entonces S(n+1) es verdadera.