UNLA : Distribución de probabilidades Lic Edgardo Di Dio

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1 UNLA : Distribución de probabilidades Lic Edgardo Di Dio
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA UNLA : Distribución de probabilidades Lic Edgardo Di Dio

2 Definición: Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento o suceso . Utilizamos un modelo matem´tico para poder analizar y pronosticar eventos. Tipos: Variable aleatoria Discreta Variable aleatoria Continua

3 Ejemplos variable aleatoria discreta
Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A Llamar a cinco clientes Cantidad de clientes 0, 1,2,3,4,5 Inspeccionar un embarque de 40 chips Cantidad de chips defectuosos 0,1,2,….,40 Funcionamiento de un restaurante durante un día 0,1,2,3……. Vender un automóvil Sexo Cliente 0 si es hombre y 1 si es mujer

4 Ejemplos variable aleatoria continua
Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A Funcionamiento de un banco Tiempo en minuto, entre llegadas de clientes X>=0 Llenar una lata de bebida (máx =12.1 litros ) Cantidad de litros 0<=x<=12.1 Proyecto para construir un biblioteca Porcentaje de terminado del proyecto 0<=x<=100 Ensayar un nuevo proceso químico Temperatura cuando se lleva a cabo la reacción deseada (min 150º F; máx 212ºF) 150<=x<=212

5 Variable aleatoria Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada suceso del espacio muestral E de un experimento aleatorio un valor numérico real: Llamar variable a una función resulta algo confuso, por ello hay que insistir en que es una función. La variable aleatoria puede ser discreta o continua. Veremos en este capítulo el caso discreto.

6 Función de probabilidad
Una vez definida una variable aleatoria X, podemos definir una función de probabilidad ( puntual) asociada a X, de la siguiente forma: La función de probabilidad debe cumplir: (Suma sobre todos los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria).

7 Ejemplo 1: Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el
espacio muestral E como: E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)} Definamos la variable aleatoria discreta X como: con S = {2,3,...,12} la suma de puntos. Una posible función de probabilidad es:

8 Función de probabilidad de la variable aleatoria X
1/36 2/36 6/36 4/36 5/36 3/36 Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva y está normalizada.

9 Función de distribución
Dada una variable aleatoria discreta X se llama función de distribución a la función F definida como: En nuestro ejemplo de los dos dados: F(5) = P(X  5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5) F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36

10 x Función de distribución de la variable aleatoria X F 1,0 0,5 0,028

11 Ejemplo: Dibuja la función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) de una variable discreta definida como: X = Número en la cara de un dado. X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6 1 x f(x) 0.5 F(x) 6 Función de probabilidad f(x) Función de distribución F(x)

12 Algunos problemas de probabilidad están relacionados con la probabilidad P(a <X  b) de que X asuma algún valor en un intervalo. Observa que: P(a < X  b) = F(b) - F(a) Los sucesos X  a y a< X  b son mutuamente excluyentes. Entonces: F(b) = P(X  b) = P(X  a) + P(a < X  b) = F(a) + P(a < X  b) En el ejemplo de los dos dados, calcula la probabilidad de que los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8. P(3 < X  8) = F(8) - F(3) = 26/36 - 3/36 = 23/36

13 Algunas propiedades de la función de distribución
F es monótona creciente. F es continua por la derecha: la probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome un valor concreto es igual al salto de la función de distribución en ese punto.

14 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIOÓN COMPLEMENTARIA
Es una función que a cada valor del recorrido le asigna un número real que representa la suma de todas las probabilidades puntuales desde el valor en cuestión hasta el último

15 Esperanza matemática o media de un distribución discreta
Ejemplo 2 Sea la siguiente tabla X P(X) X P(X) -1 1 2 3 .1 .2 .4 -.1 .0 .4 .3 1.0 9 15

16 Ejemplo 3 xi Fi 2300 1 3400 2 2500 3 1000 4 600 5 200 total 10000 Se quiere analizar la cantidad de chips defectuosos en un lote de 500 chips, para ellos se registró la siguiente tabla de la producción total de un lote de chips, de la cual se obtuvo ese lote.

17 Sea x cantidad de chips defectuosos
Sea x cantidad de chips defectuosos .Determinamos las funciones de probabilidad puntual , de distribución , de acumulación y la esperanza o media Xi P(Xi) F(Xi) G(Xi) XiP(Xi) 0.23 1 0.34 0.57 0.77 2 0.25 0.82 0.43 0.5 3 0.10 0.92 0.18 0.3 4 0.06 0.98 0.08 0.24 5 0.02 6 TOTAL 1.48

18 Observemos que: Si se cumple el principio de la estabilidad de la frecuencia relativa podemos decir que las frecuencias relativas son los valores de cada valor de la probabilidad puntual. La probabilidad que un lote de 500 chips tenga uno defectuoso es P(x=1)=0.34 La probabilidad de que ese lote tenga a lo sumo una falla es F(X=1)=P(X<=1 )=0.57 La probabilidad de que dicho lote tenga al menos una falla G(X=1)=P(X>=1 )=0.77 En promedio se espera encontrar defectuosos .

19 Calcular la esperanza de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

20 Varianza y desviación estándar o típica
Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observa que la desviación típica lo hace con las mismas unidades que los propios datos. Por eso también se define al coeficiente de variación 10 20

21 Ejemplo 2 X P(X) -1 1 2 3 .1 .2 .4 -2 -1 1 2 4 1 .4 .2 .0 1.2 10 21

22 Calcula la varianza y desviación típica de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

23 Algunas propiedades de la varianza
10 23

24 Principales Distribuciones
En la práctica, la función de probabilidad de la mayoría de las variables discretas se ajusta a un modelo teórico expresado mediante una fórmula concreta. Veremos los más habituales.

25 Distribución de Bernoulli
Experimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que: éxito  1 fracaso  0 Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso q = 1 - p, podemos construir una función de probabilidad: Evidentemente:

26 Calcular la esperanza y la varianza de la distribución de Bernoulli.

27 Distribución Binomial de Probabilidad

28 Definición La distribución binomial de probabilidad es una distribución discreta de probabilidad que tiene muchas aplicaciones. Se relaciona con una experimento de etapas múltiples que llamamos binomial.

29 Experimento Binomial (Propiedades)
El experimento consiste en una sucesión de n intentos o ensayos idénticos. En cada intento o ensayo son posibles dos resultados. A uno lo llamaremos éxito y al otro fracaso. La probabilidad de un éxito, se representa por p y no cambia de un intento o ensayo. Por lo tanto la probabilidad de un fracaso se representa por (1-p), que tampoco cambia de un intento a otro. Los intentos o ensayos son independientes.

30 DIAGRAMA DE UN EXPERIMENTO BINOMIAL CON OCHO INTENTOS
Propiedad 1: El experimento consiste en n=8 intentos idénticos de lanzar una moneda. Propiedad 2: Cada intento da como resultado un éxito (E) o un fracaso (F). Intentos Resultados E F F E E F E E

31 Distribución binomial
La distribución binomial aparece cuando estamos interesados en el número de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n intentos independientes de un experimento. P. ej.: número de caras en n lanzamientos de una moneda. Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en un intento, entonces q = 1-p es la probabilidad de que A no ocurra (probabilidad de fracaso). En nuestro ejemplo de la moneda, p = 0.5 es la probabilidad de que salga cara y q = 1-p = = 0.5 es la probabilidad de que no salga cara.

32 X = Número de veces que ocurre A.
Supongamos que el experimento consta de n intentos y definamos la variable aleatoria: X = Número de veces que ocurre A. En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara. Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n. Si consideramos uno de estos valores, digamos el valor x , i.e. en x de los n intentos ocurre A y en n-x no. Entonces la probabilidad de cada posible ordenación es pxqn-x y existen idénticas ordenaciones.

33 La distribución de probabilidad P(X = k) será:
Distribución binomial para n = 5 y distintos valores de p, B(5, p)

34 Ejemplo: Supongamos que la probabilidad de encontrar una estrella de masa m* >10 M en un cúmulo estelar joven es del 4%. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra escogida al azar, entre 10 miembros del cúmulo encontremos 3 estrellas con m* >10 M?

35 Calcula la probabilidad de obtener al menos dos seis al lanzar un dado cuatro veces.
p = 1/6, q = 5/6, n = 4 Al menos dos seis, implica que nos valen k = 2, 3, 4. P(2) + P(3) + P (4)

36 Características de la distribución binomial
Media = E(X) = n p = 5 · 0.1 = 0.5 = 5 · 0.5 = 0.25 n = 5 p = 0.1 P(X) .6 .4 .2 X 1 2 3 4 5 Desviación estándar n = 5 p = 0.5 P(X) .6 .4 .2 X 1 2 3 4 5 36

37 Distribución de Poisson
Cuando en una distribución binomial el número de intentos (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña y np (la media de la distribución binomial) es finito y tiende a  entonces la distribución binomial converge a la distribución de Poisson: Observa que si p es pequeña, el éxito es un “suceso raro”. Recordemos que

38 Características de la distribución de Poisson
Media = 0.5 P(X)   E ( X )   .6 .4 .2 X Desviación estándar 1 2 3 4 5    = 6 P(X) .6 .4 Nota: el máximo de la distribución se encuentra en x   .2 X 2 4 6 8 10 38

39 n p =  La distribución de Poisson se obtiene como aproximación de
una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n > 30) y ‘p pequeño’ (p < 0,1). Queda caracterizada por un único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza). n p =  Distribución de Poisson para varios valores de .

40 Si la probabilidad de fabricar una CPU defectuosa es p = 0
Si la probabilidad de fabricar una CPU defectuosa es p = 0.01,¿cuál es la probabilidad de que en un lote de 100 CPU contenga más de 2 CPU defectuosas? La distribución binomial nos daría el resultado exacto: El suceso complementario Ac: No más de 2 CPU defectuosas puede aproximarse con una distribución de Poisson con  = np = 1, sumando p(0) + p(1) + p(2).

41 Un proceso poissoniano es aquél compuesto de eventos discretos que son independientes en el espacio y/o en el tiempo. Por ejemplo la llegada de fotones a un detector o la llegada de paquetes de bytes en una red o a un conmutador telefónico .Son sucesos de cola . Si el número de eventos esperados, el número medio de eventos en un intervalo de extensión h es m. Por ejemplo el detector nos informa de la llegada en promedio de 20 fotones cada 5 segundos. Entonces λ = h/ m, será la tasa de eventos por unidad de h. En nuestro caso 4 fotones por segundo. La probabilidad de que ocurran x eventos en el intervalo h vendrá dada por la distribución de Poisson. En nuestro ejemplo la probabilidad de que lleguen x fotones en 5 segundos.

42 La señal promedio recibida en un telescopio de una fuente celeste es de 10 fotones por segundo. Calcular la probabilidad de recibir 7 fotones en un segundo dado. P(7) = 107 e−10 / 7! = 0.09, es decir 9% Parece muy baja. Comparemos con el valor de máxima probabilidad que ocurrirá para x = 10: μ = P(10)=1010 x e−10 / 10! = 0.125, es decir % Las probabilidades poissonianas para un número de eventos dado, son siempre pequeñas, incluso en el máximo de la distribución de probabilidad. Una distribución de Poisson con μ = 10.

43 Si en promedio, entran 2 coches por minuto en un garaje, ¿cuál es la probabilidad de que durante un minuto entren 4 o más coches? Si asumimos que un minuto puede dividirse en muchos intervalos cortos de tiempo independientes y que la probabilidad de que un coche entre en uno de esos intervalos es p – que para un intervalo pequeño será también pequeño – podemos aproximar la distribución a una Poisson con  = np = 2. y la respuesta es 1 – = 0.143 El suceso complementario “entran 3 coches o menos” tiene probabilidad:

44 Ejemplo: En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos. a) X = Nº de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos X = 0, 1, 2, 3, ...., etc.  = 0.2 x 3 = 0.6 imperfecciones (3 minutos) b) X = Nº de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos X = 0, 1, 2, 3, ...., etc  = 0.2 x 5 =1 imperfección (5 minutos) = 1 - ( ) =

45 c) X = Nº de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos
X = 0, 1, 2, 3, ....., etc.  = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones (15 minutos)   = = También se puede considerar esta distribución como una aproximación de la binomial cuando n↑ y p↓, pero el producto n.p permanece constante. Al igual que ocurría con la binomial, los valores acumulados de la distribución de Poisson se encuentran tabulados para que resulte más fácil su manejo.

46 Ejemplo En una concurrida intersección de tráfico, la probabilidad de que un automóvil tenga un accidente de tráfico es muy escasa, digamos de 0,0001. Sin embargo, durante cierta parte del día (entre las 4:00 pm y las 6:00 pm) un gran número de automóviles pasa por esa intersección, digamos unos En dichas condiciones, ¿cual es la probabilidad de que dos o más accidentes ocurran durante ese período? X= nº accidentes en 1000 coches XB(1000, ) Como la probabilidad p es menor que 0,1, y el producto n.p es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson y podríamos aproximar por X  P(0.1) P(X  2) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X  1) = 1 – =

47 Distribución Geométrica G(p)
Realizamos el experimento de forma independiente hasta que obtenemos el primer éxito, y definimos la v.a.: X=”Número de experimentos hasta obtener el primer éxito” que toma los valores k=1,2,3,… con probabilidades: donde se tiene que E(X)=1/p y Var(X)=(1-p)/p2. Ejemplo: Una vía de una ciudad tiene seis cruces regulados por semáforos. La probabilidad de que al pasar un vehículo un semáforo esté verde es de ¿ Cuál es la probabilidad de atravesar dicha vía en verde, encontrándose rojo solamente el último semáforo? Se supone que la regulación de los semáforos es tal que estos son independientes entre sí. X = nº de semáforos que debemos atravesar hasta encontrar el primero rojo X G(0.4) P(X=6) = 0.65 * 0.4 =

48 Distribución Binomial Negativa BN (n,p)
Realizamos el experimento de forma independiente hasta obtener n éxitos y definimos la v.a.: X = “Número de fracasos antes del n-ésimo éxito” que puede tomar los valores k=0,1,2,… Además E(X)=n(1-p)/p y Var(X)=n(1-p)/p2. Ejemplo: En los play-off de la liga nacional, el vencedor de cada eliminatoria final es el equipo que logre primero la 4ª victoria en un total de 7 confrontaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que un equipo dispute como mucho 6 partidos, si su porcentaje de partidos ganados es del 60%? P = probabilidad de éxito = 0.6 X= nº fracasos hasta obtener la 4ª victoria X  BN(4,0.6) P(X  2)=P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = =

49 Distribución Hipergeométrica H(N,D,n)
La distribución hipergeométrica es el modelo que se aplica en experimentos donde, al igual que en la distribución binomial, en cada ensayo hay tan sólo dos posibles resultados: éxito o fracaso. Pero se diferencia de la distribución binomial en que los distintos ensayos son dependientes entre sí (no hay reemplazamiento). Supongamos que tenemos un lote de N piezas de las cuales D son del tipo considerada éxito (D ≤ N). Extraigo una muestra de n piezas (sin reemplazamiento) y defino la v. a.: X = “Número de éxitos en n intentos” que puede tomar los valores k = max{0,n+D-N},1,…,min{D,n} Además E(X)= nD/N y Var(X)=np(1-p)[(N-n)/(N-1)] con p=D/N=proporción de éxitos.

50 Ejemplo: En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas ¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean blancas? Entonces: N = 12; N-D = 5; D = 7; k = 3; n = 4 Si aplicamos el modelo: Por lo tanto, P (X = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.

51 Distribución Multinomial
La distribución multinomial es similar a la distribución binomial, con la diferencia de que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber múltiples resultados: con n = x1 + x2 + x3 + … Ejemplo: En un curso , el 20% de los alumnos son de Lomas , el 30% de Almirante Brown, el 40% de Lanús y el 10%v de otros distritos . En un pequeño grupo se han reunido 4 invitados: ¿cual es la probabilidad de que 2 sean de Lomas y de Lanús ? Aplicamos el modelo: Luego P = 0,0384  3.84% de probabilidad