Práctica 3 La ecuación f(x) = 0 (2ª Parte). v Método de Newton u Convergencia u Newton modificado v Método de la secante v Método de Newton para polinomios.

Presentación del tema: "Práctica 3 La ecuación f(x) = 0 (2ª Parte). v Método de Newton u Convergencia u Newton modificado v Método de la secante v Método de Newton para polinomios."— Transcripción de la presentación:

1 Práctica 3 La ecuación f(x) = 0 (2ª Parte)

2 v Método de Newton u Convergencia u Newton modificado v Método de la secante v Método de Newton para polinomios v Cálculo de raíces con MATLAB

3 Método de Newton vEcuación de la tangente vIntersección con OX vPaso genérico

4 Ejemplo del cubo (otra vez…) vEcuación a resolver vFunciones implicadas vIteración de Newton a x

5 Newton como iteración de punto fijo vFunción de iteración vDerivada de la función de iteración vConvergencia cuadrática

6 Algoritmo de Newton vDatos Estimación inicial: x 1 Estimación inicial: x 1 Precisión deseada: tol Precisión deseada: tol Tope de iteraciones: maxiter Tope de iteraciones: maxiter vProceso: mientras no converja repetir Incremento: delta = - f(x k )/df(x k ) Incremento: delta = - f(x k )/df(x k ) Nueva estimación: x k+1 = x k + delta Nueva estimación: x k+1 = x k + delta vResultado Estimación final: sol Estimación final: sol

7 0 5 10 15 20 25 30 35 -6-4-20246 Simulando el caos 020406080100 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

8 Convergencia del método de Newton vConverge cuadráticamente si u la estimación inicial es buena u no se anula la derivada vInconveniente: usa la derivada u coste de la evaluación u disponibilidad vMétodo de Newton modificado

9 Método de la secante vEcuación de la secante u vIntersección con OX u vPendiente u (x 1, f (x 1 )) x2x2 f(x) (x 2, f (x 2 )) x3x3 x1x1

10 Método de Newton para polinomios vTeorema del resto: p(a) es el resto de la división de p(x) por (x – a) p(x) = q(x)(x – a) + r(x) grado(r(x))=0 p(x) = q(x)(x – a) + r(x) grado(r(x))=0 p(a) = r p(a) = r vConsecuencia: p’(a) es el valor del cociente anterior en x = a p’(x) = q’(x)(x –  a) + q(x) p’(x) = q’(x)(x –  a) + q(x) p’(a) = q(a) p’(a) = q(a)

11 Cálculo de la iteración vValor del polinomio p(x) en 2 p = [1 -5 4 3 -2] polyval(p,2) vCociente por x – 2 y resto [q,r]=deconv(p,[1 -2]) vDerivada p'(x) en 2 polyval(q,2)

12 Cálculo de raíces con MATLAB vRaíces de un polinomio »roots(p) vRaíces de una ecuación »fzero('f',x0,tol) vFunciones como parámetros function secante(f,x0,tol) feval(f,x0) »secante('f',x0,tol)