Sistemas de ecuaciones

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Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas Entrar

Federico y Alicia están jugando con monedas. En un determinado momento, Federico le dice a Alicia: “Si me das una de tus monedas, entonces tendré el doble de monedas que tú”. Alicia se queda muy pensativa, y le contesta: “Si tú me das una moneda, entonces tendremos el mismo número de monedas”. ¿Cuántas tiene cada uno? Siguiente

Ecuaciones con dos incógnitas Álex y Javi quieren comprar un regalo a Lola y tienen 15 pesos entre los dos Una ecuación de primer grado con dos incógnitas x e y se puede escribir así: ax + by = c a, b y c son números a y b se llaman coeficientes de las incógnitas c se llama término independiente Siguiente

Además, Álex tiene un peso más que Javi. Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son dos ecuaciones en las que las incógnitas representan los mismos valores. Los sistemas de ecuaciones se escriben así: ax + by = c dx + ey = f Siguiente

Solución de un sistema Una solución de un sistema es un par de números que verifica las dos soluciones simultáneamente. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar las soluciones del sistema. Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Si un sistema tiene solución, se dice que es compatible. Si un sistema no tiene solución, se dice que es incompatible. Siguiente

Solución de un sistema Sistema Posición de las rectas Solución Compatibles Determinado Se cortan Una solución Indeterminado Coincidentes Infinitas Incompatible Paralelas No tiene Siguiente

Métodos de Solución de un sistema Los principales métodos de solución para éste sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas son: Método de Adición o Sustracción (Reducción) Método de Igualación Método de Sustitución Método Gráfico Siguiente

Método de Reducción PROCEDIMIENTO Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad constante apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las incógnitas. Por suma o resta se elimina una de las incógnitas. Se resuelve la ecuación lineal resultante. Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita. Siguiente

Método de Reducción 2x + 3y = 8 4x + y = 6 2 x + 3y = 8 2 .(1) + 3y = 8 2x + 3y = 8 4x + y = 6 ( -1 ) ( 3 ) Despejo y obtengo -2x - 3y = -8 12x + 3y =18 y =2 10 x = 10 10 x = 10 Siguiente x = 1

Método de Igualación Se despeja la misma incógnita en cada una de las ecuaciones del sistema dado. Se igualan entre sí las expresiones obtenidas, consiguiendo eliminar una de las incógnitas y dando lugar a una ecuación con una incógnita. Se resuelve la ecuación de primer grado resultante. Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita. Siguiente

Método de Igualación 2x + 3y = 8 4x + y = 6 4x + y = 6 Restando y = x 2x + 3y = 8 Restando 3y = x Dividiendo Igualo las ecuaciones 8 – 2x = x y = 8 – 2x 3 3 Despejo x obtengo x= 1 Siguiente

Método de Igualación Continuación… x= 1 y = x Solución: x = 1 y = 2 y = 6 – 4 . (1) y = y = 2 Siguiente

Método de Sustitución Despejar en cualquiera de las ecuaciones del sistema una de las incógnitas en términos de la otra. Se sustituye la expresión para la incógnita despejada en la otra ecuación que no se ha utilizado, se obtiene una ecuación con una incógnita. Se resuelve la ecuación de primer grado resultante. Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita, también se sustituye en la expresión de la primera incógnita despejada, obteniéndose el valor de la otra incógnita, ambos procesos conducen al mismo resultado. Siguiente

Método de Sustitución 2x + 3y = 8 4x + y = 6 y = x 4x + y = 6 y = 6 – 4 .(1) Restando y = y = x y = 2 2x + 3. (6 - 4x) = 8 2x + 18 – 12 x= 8 x= 1 Siguiente

Método de Gráfico y = 8 – 2x 3 y = 8/3 - 2/3x 2x + 3y = 8 4x + y = 6 y = x Graficamos las ecuaciones lineales y el punto donde se cortan es la solución del sistema Siguiente

Método de Gráfico Solución

Ejemplo de aplicación En una granja hay conejos y patos. Si entre todos suman 18 cabezas y 52 patas, ¿cuántos conejos y patos hay? x+ y = 18 (puesto que tienen 1 cabeza) x: conejos y: patos 4x+ 2y = 52 (puesto que tiene 4 patas los conejos y 2 patas los patos) Resuelvo el sistema por alguno de los métodos

Ejemplo de aplicación Solución 8 conejos 10 patos

Actividades 1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando dos de los los métodos vistos: 8x - 9y = 7 3x + 2y = 8 a. 3x + 2y = 13 5x + 4y = 23 c. 6a + 5b = - 8 -3a + 4b = 17 b.

Actividades 2. Resuelve los siguientes problemas, planteando un sistema de ecuaciones lineales y encuentra la solución por alguno de los métodos vistos: Adrián tiene 25 animales, entre ovejas y pavos. Un día se da cuenta de que las patas de todos ellos suman 72. ¿cuántas ovejas y cuántos pavos tiene? La suma de 2 números es 150 y su diferencia es de 30, ¿cuáles son los números? La suma de 2 números es 15 y su diferencia es de 3, ¿cuáles son esos números?

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