Lic. Patricia B. González y Lic. Mariana Baquero

Presentación del tema: "Lic. Patricia B. González y Lic. Mariana Baquero"— Transcripción de la presentación:

1 Lic. Patricia B. González y Lic. Mariana Baquero
Historia del desarrollo y evolución de la llamada "Matemática Moderna". Lic. Patricia B. González y Lic. Mariana Baquero Dto. de Matemática. UP

2 Resumen Segunda parte: introducción del desarrollo axiomático propio del Siglo XX cuando se declaró la importancia de enseñar la llamada "Matemática Moderna" en las aulas de los jóvenes. Tercera parte: la controversia que se generó entre la "Matemática Tradicional" y la "Matemática Moderna" y el cuestionamiento internacional que generó la pregunta: ¿cómo debe enseñarse la matemática a los jóvenes?. Primera parte: los progresos que el hombre realizó en la elaboración de la matemática desde la aparición de las primeras tablillas con escritura cuneiforme de los sumerios que datan aproximadamente del año 3000 A.C., hasta llegar a la construcción de la rigurosa ciencia del Siglo XIX Hacia 1960 los procesos de revisión de los fundamentos de la matemática condujeron a la creación de una nueva Matemática llamada “Moderna”, calificativo seguramente poco apropiado. La introducción de un lenguaje simbólico especial y de un nuevo vocabulario, más la idea de la axiomatización fue lo que la caracterizó a la llamada “Matemática Moderna” que tiene el mismo contenido que la "Matemática tradicional" sólo que está explicada en un lenguaje vertebrado lógicamente y reordenado de un modo diferente. Pero el verdadero cambio en esta ciencia se dio en “el modo de enseñarla”, a partir de lo cual se presentaron dos posturas opuestas: el "practicismo" y el "teoricismo". En el III Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME) realizado en la ciudad de Berkeley en 1980 se discutió estas posturas antagónicas y se elaboraron importantes recomendaciones acerca de la buena enseñanza de la Matemática. Dto. de Matemática. UP

3 1º parte:La Edad del Empirismo.
1º parte: Breve reseña de la historia de la Matemática desde el comienzo de la civilización hasta el advenimiento de la “Matemática Moderna”. Escrituras babilónica, egipcia, griega hierática, griega ática, romana. Los primeros documentos escritos por el hombre fueron registros contables, ya que escribir significaba ¨contabilizar¨. Los arqueólogos consideran que la escritura en principio surgió debido a la necesidad que el hombre tenía de ¨registrar¨ los objetos que poseía, para luego redistribuirlo e intercambiarlos entre los miembros de la sociedad a la cual pertenecía. Se considera que los primeros documentos escritos contenían símbolos que actualmente llamamos números. Los mismos pertenecen a la ciudad de Uruk, en la actual República de Irak. Se estima que hacia el 3300 a.C. Uruk era la ciudad más importante y más grande del mundo con una población de habitantes. Su clase dirigente había decidido construir caminos, viviendas y edificios públicos para satisfacer las necesidades de la población. Pero para que este proyecto pudiera llevarse a cabo, los funcionarios decidieron cobrar impuestos. El impuesto consistía en que cada agricultor debía entregar parte de sus cosechas para alimentar a los obreros de la construcción. Para eso necesitaban registrar la cantidad de granos que cada agricultor entregaba como pago de impuestos y para poder contar, los sumerios inventaron símbolos utilizados para efectuar los cálculos y emplearon, además, el Método Aditivo,  que consistía en utilizar un símbolo tantas veces según las unidades que había. Dto. de Matemática. UP

4 1º parte:Del Empirismo a la Abstracción.
La Geometría de Tales de Mileto (624 AC AC) formuló una concepción atómica del espacio basada en relaciones, en proporciones, en desplazamientos y en semejanzas. Hipócrates (460 AC AC) descubrió que las áreas de figuras geométricas en forma de medialuna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el problema de la cuadratura del círculo. A propósito de las diagonales del cuadrado surgió el escándalo de los irracionales. Si el cuadrado tiene un lado uno, entonces su diagonal tiene una longitud x tal que x2=2, y este número no existía en la aritmética griega . La geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes está contenida en los "Elementos" de Euclides (365 AC AC) 1º parte: Breve reseña de la historia de la Matemática desde el comienzo de la civilización hasta el advenimiento de la “Matemática Moderna”. Los sumerios ya en el año 3500 a.C. habían inventado las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división. Para tener una idea de la importancia de este hallazgo hay que tener en cuenta que se sabe con certeza que en el año 4000 a.C. el hombre aún vivía en las cavernas, que recién en el año 3000 a.C. se desarrolla Egipto la noción de número y que en el año 1800 a.C. China e India descubren dicho concepto. Llegaron a resolver problemas que mostraban el manejo del teorema de Pitágoras y hasta la resolución de ecuaciones de segundo grado. Pero sus conocimientos, como lo muestran los problemas que abordaron, eran netamente empíricos. Se debe a los griegos el salto de lo experimental a lo deductivo, a lo "racional". Se sabe que los griegos descuidaron la dirección utilitaria y empírica de los números, despreciando incluso los sistemas de numeración ya existentes como el babilónico y el egipcio y hasta las observaciones astronómicas de los navegantes, pero fundaron la ciencia racional. Los griegos se ocuparon de la matemática pensada ésta como ciencia y propiciaron un desarrollo sin precedentes especialmente en el área de la geometría. El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge, como lo muestran los trabajos de Arquímedes y de su contemporáneo Apolonio. Arquímedes de Siracusa (287AC - 212AC) determinó áreas y volúmenes por un verdadero método de integración por medio de sumas, que prácticamente son las sumas de Riemann, distinguió las sumas demasiado pequeñas y las demasiado grandes y se frenó ante el infinito. Apolonio de Perga (250 AC AC aprox.) escribió un tratado de 8 tomos sobre las cónicas y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos de René Descartes en el Siglo XVII. Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma talla. En el siglo III d. C., Diofanto de Alejandría encontró las soluciones enteras para problemas que generan ecuaciones con varias incógnitas. Dto. de Matemática. UP

5 1º parte:La Matemática del Medioevo.
Omar Khayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de sexto grado. Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci ( ) escribió el libro “Liber Abacci”, en donde presentó la idea de que la aritmética y la geometría están conectadas y una se apoya en la otra. Mientras el espíritu de la matemática languidecía en Occidente, los árabes se ocuparon de rescatar del olvido no sólo la matemática griega, sino la desarrollada en China, India y la Mesopotamia. En esta época Bagdad se convirtió en una nueva Alejandría. La matemática árabe puede clasificarse de manera natural en cuatro ramas: una aritmética proveniente de la India, basada en el principio posicional; un álgebra de origen griego y babilónico, pero que adopta una forma nueva y sistemática; una trigonometría griega a la que los árabes amplían y dan forma y una geometría, también de origen griego, a la que enriquecen con diversas generalizaciones y estudios críticos. Pero hacia el siglo XI la cultura árabe, que desde el siglo VIII había sido libre y fecunda, empezó a mostrar signos de decadencia, mientras que al mismo tiempo fue asomando un despertar en el mundo. “Liber Abacci” Este libro se ocupó más de los números que de la geometría. En primer lugar describió “las nueve formas hindúes” junto con el cero que llaman “zephirum”, de esta palabra y de sus variantes derivaron las palabras “cifra” y “cero”. Dto. de Matemática. UP

6 1º parte:El Renacimiento.
Fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado publicada en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su "Ars magna“. Galileo Galilei ( ) fue un importante físico y astrónomo italiano que junto con el astrónomo alemán Johannes Kepler ( ) comenzaron la revolución científica que culminó con la obra del físico inglés Isaac Newton. 1º parte: Breve reseña de la historia de la Matemática desde el comienzo de la civilización hasta el advenimiento de la “Matemática Moderna”. Dos acontecimientos culturales del Siglo XV tuvieron amplia repercusión en el desarrollo de la Matemática: la invención de la imprenta con tipos móviles que facilitó extraordinariamente la transmisión y la difusión de escritos científicos y el "renacimiento de los clásicos" que puso al alcance de los estudiosos los grandes monumentos científicos de la antigüedad. Así con el advenimiento del mundo moderno en los Siglos XV y XVI, se rescató la ciencia antigua: las corrientes venidas de Bizancio, de los árabes y por éstos, de la India, las investigaciones lógicas y una filosofía renovada. No fue sino hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente: era una fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado publicada en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su "Ars magna". Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos de finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois de principios del XIX. También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, entre ellos se destacan Pierre de Fermat de Francia e Isaac Newton de Inglaterra. Los grandes viajes impusieron la relatividad de la vertical y del campo magnético. Las teorías de Copérnico y Galileo anunciaron la relatividad del movimiento. Galileo Galilei ( ) fue un importante físico y astrónomo italiano que junto con el astrónomo alemán Johannes Kepler ( ) comenzaron la revolución científica que culminó con la obra del físico inglés Isaac Newton. Dto. de Matemática. UP

7 1º parte:El nacimiento de las nuevas ramas.
El acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton del cálculo diferencial e integral, entre 1664 y Isaac Newton ( ) se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. 1º parte: Breve reseña de la historia de la Matemática desde el comienzo de la civilización hasta el advenimiento de la “Matemática Moderna”. El siglo XVII fue de una fecundidad maravillosa para la ciencia, en él tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio, se produjeron entonces el nacimiento de varias nuevas ramas de la matemática . Dto. de Matemática. UP

8 1º parte:El nacimiento de las nuevas ramas.
Unos ocho años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz ( )descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo. La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad clásica. La obra "Las aritméticas" de Diofanto ayudó a Pierre de Fermat ( ) a realizar importantes descubrimientos en la teoría de números. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existen soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros positivos si n es mayor que 2. Esta conjetura, conocida como último teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de trabajos en el álgebra y la teoría de números. Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal ( ) y Fermat ( ) sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés Christiaan Huygens ( ) a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el "Ars coniectandi" (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli ( ). Tanto Jacques Bernoulli como el francés Abraham De Moivre ( ), en su "Doctrina del azar" de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su teoría que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de seguros. Dto. de Matemática. UP

9 1º parte: El Rigor del Siglo XIX.
Augustín Lowis Cauchy ( ) fue el primero en imponer el rigor en la teoría de las funciones numéricas, para las que inventó la noción de límite que la ciencia moderna conserva y que quita todo misterio al infinito en los casos considerados. El matemático alemán Julius W. R. Dedekind ( ) encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor ( ) y Karl T. W. Weierstrass ( ) también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Carl Friedrich Gauss ( ), escribió su “disertación doctoral” a la edad de 20 años. En ella dio la primera demostración rigurosa del teorema fundamental del álgebra, también dio una explicación adecuada de número complejo. 1º parte: Breve reseña de la historia de la Matemática desde el comienzo de la civilización hasta el advenimiento de la “Matemática Moderna”. El siglo XIX merece ser llamado la Edad de Oro de la Matemática. En él la matemática proclama su autonomía, dejando de ser una disciplina auxiliar de las ciencias naturales para convertirse en una ciencia independiente, con objetos y métodos propios. Se puede admirar este siglo como un período de descubrimientos sin par hasta entonces, ya sea en geometría, análisis o álgebra. En extensión, imaginación, rigor, abstracción y generalidad ninguno de los períodos anteriores puede compararse con él. Además Gauss fue uno de los descubridores de las geometrías no euclideas como él mismo bautizó al ser una geometría que nació de la negación del 5to. Postulado de Euclides después del fracaso de varios intentos de demostración. En esta geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y por el húngaro János Bolyai. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado también aplicaciones en física. Dto. de Matemática. UP

10 2º parte: La lógica del Siglo XX.
A fines del siglo XIX y en el siglo XX se forjaron poco a poco los instrumentos indispensables de la "Matemática Moderna" gracias a la teoría de conjuntos (Cantor) y al método axiomático (Hilbert). George Cantor ( ) David Hilbert (1862 – 1943) Se incorporó en el siglo XX el "razonamiento por inducción completa" que considera la prolongación de una sucesión infinita. Este razonamiento se utiliza cuando los conjuntos infinitos están bien ordenados.Ernst Zermelo ( ) proclamó que en todo conjunto existe el buen orden, aún cuando éste no se pueda describir. 2ª parte: El advenimiento de la “Matemática Moderna”. Tal vez la conocida frase "enseñar matemática moderna en las escuelas" tan nombrada desde la década del '70 del siglo XX no haya sido del todo feliz; lo que se quiso decir con esta expresión fue que convenía enseñar la matemática aprovechando los progresos últimos producidos en esta disciplina, en tanto y en cuanto esto fuera posible desde el punto de vista pedagógico. Los matemáticos modernos utilizan estos conceptos teóricos y otros como los axiomas de elección, los conjuntos parcialmente ordenados, etc. Esta situación recuerda la que habían vivido Eudoxio, Zenón y Arquímedes, hecho que había provocado la obra de Euclides. En estos años y en forma análoga se produce la obra de Bourbaki. Dto. de Matemática. UP

11 2º parte: La "Matemática Moderna" de los "Elementos de Matemática".
El grupo Bourbaki propone después de la guerra de 1914 – 18 tomar las Matemáticas en su punto de partida: la lógica formal y la teoría de conjuntos y obtener a partir de allí la estructura axiomática y sistemática. 2ª parte: El advenimiento de la “Matemática Moderna”. Nicolás Bourbaki no es un matemático. Es el nombre de un grupo de estudiosos de esta disciplina (entre otros: H. Cartan, C. Chevalley, Delsarte, Dieudonné y Weil ). Su obra está dedicada a personas con una sólida formación matemática y surge de las notas históricas de un trabajo anterior del equipo francés: Eleménts de Mathématique pero no se trata de un estudio enfocado a relatar toda la Historia de la Matemática, como un trabajo de reconstrucción cronológica del desarrollo de esta ciencia. Más bien, el libro aborda determinadas ramas de la Matemática, que están expuestas con profundidad. Las matemáticas clásicas estaban formadas por un conjunto de capítulos heterogéneos: álgebra, teoría de los números, análisis, geometría, cálculo de probabilidades, etc., referido cada uno a un dominio delimitado y a objetos o "entes" definidos por sus propiedades intrínsecas. El hecho de que la estructura de grupo haya podido aplicarse a los elementos más diversos y no sólo a las operaciones algebraicas, llevó entonces a los Bourbaki a generalizar la investigación de la estructura. Son tres las estructuras generales: algebraicas, de orden y topológicas. Si bien ninguna de estas estructuras puede reducirse a las otras (son irreductibles entre sí) ellas pueden combinarse entre sí o bien, consideradas individualmente, pueden diferenciarse generando otras estructuras. Dto. de Matemática. UP

12 2º parte: El análisis del término: "Matemática Moderna".
La llamada Nueva Matemática es en principio la misma matemática de siempre con importantes adquisiciones nuevas: el lenguaje en que está escrita, el método con el que trabaja y las estructuras abstractas entre las cuales se mueve. 2ª parte: El advenimiento de la “Matemática Moderna”. Como toda ciencia, la matemática evoluciona y progresa a lo largo de la historia. La llamada "matemática moderna" de los años '60 del siglo XX parece haber provocado una ruptura con la llamada "matemática tradicional". Sin embargo se puede asegurar que la denominación de “Matemática Moderna" no fue apropiada ya que la misma data de la introducción de la terminología simbólica de Peano ( ) y de la sistemática introducción de la teoría de conjuntos de Cantor. Además se vio que una sustanciosa parte del álgebra moderna tuvo sus fundamentos en los escritos de Galois, de modo que no se trataba de una matemática excesivamente moderna en el sentido de nueva sino que lo que se actualizó desde los '60 fue su introducción en la enseñanza elemental. Dto. de Matemática. UP

13 3º parte: La "Matemática tradicional" y la "Matemática Moderna".
La polémica desatada desde 1959 giró en torno de dos deformaciones pedagógicas: el practicismo y el teoricismo. Los "practicistas" desdeñaban toda elaboración teórica elevada y toda enseñanza sistemática basada en un ordenamiento subyacente bien meditado. Los "teoricistas" se manifestaron reclamando el recitado de las propiedades formales de las operaciones, el estudio de los puntos notables del triángulo, los detalles de la construcción de la trigonometría y de la geometría del espacio. 3ª parte: Repercusión de la introducción de “la Nueva Matemática” en la enseñanza Para comprender como fue que se impuso la "matemática moderna" hay que remontarse a fines del año En noviembre de 1959, la Organización Europea para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE) reunió en Francia a los más distinguidos matemáticos de dieciocho países europeos, que discutían sobre la reforma de las matemáticas a nivel secundario. En el transcurso del seminario, el famoso matemático francés Jean Dieudonné lanzó el grito de "¡Abajo Euclides!" y propuso ofrecer a los estudiantes una enseñanza basada en el carácter deductivo de la matemática que partiera de unos axiomas básicos. Sin embargo este tipo de enseñanza no fue llevada a la práctica con pocos problemas. Los "practicistas" desdeñaban toda elaboración teórica elevada y toda enseñanza sistemática basada en un ordenamiento subyacente bien meditado. Se abalanzaban sobre las mentes juveniles con un aquelarre de cuentas de almacén, pagarés, pintura de edificios, trenes que van y vienen, ejercicios de producción fabril y sobre alambrados de campos. Los "teoricistas" se manifestaron reclamando el recitado de las propiedades formales de las operaciones, el estudio de los puntos notables del triángulo, los detalles de la construcción de la trigonometría y de la geometría del espacio. Insistían en las definiciones conjuntistas de los números enteros, racionales y reales; en la formalización prematura (muchas veces infecunda) de las estructuras algebraicas; en la subordinación de las intuiciones geométricas a su axiomatización y en la introducción de los conceptos fundamentales del análisis matemático sin la apoyatura de la "intuición infinitesimal". Unos y otros tuvieron problemas en las aulas. Dto. de Matemática. UP

14 3º parte:ICME. Año Sitio ICME-1 1969 Lyon, France ICME-2 1972
Exeter, UK ICME-3 1976 Karlsruhe (Germany) ICME-4 1980 Berkeley, USA ICME-5 1984 Adelaide, Australia ICME-6 1988 Budapest, Hungary ICME-7 1992 Quebec, Canada ICME-8 1996 Seville, Spain ICME-9 2000 Tokyo, Japan ICME-10 2004 Copenhagen,Dinam. 3ª parte: Repercusión de la introducción de “la Nueva Matemática” en la enseñanza El "International Congress on Mathematical Education" (ICME) se lleva a cabo cada cuatro años desde 1969 bajo el auspicio del ICMI (Incoming Calls Management Institute). La tabla siguiente muestra los ya realizados o programados ... A raíz del fracaso del movimiento conocido como la "matemática moderna" debido a que los alumnos no aprendían bien los conceptos y seguían sin dominar las rutinas básicas del cálculo, se produjeron nuevos movimientos renovadores, entre ellos los conocidos como “retorno a lo básico”. El mismo supuso retomar la práctica de los algoritmos y los aprendizajes de los procedimientos básicos de cálculo. Pero después de un tiempo, se hizo evidente que no era una solución razonable a la hora de la enseñanza de la matemática. Los alumnos aprendían de memoria los procedimientos sin comprenderlos. A finales de los setenta se comenzó a cuestionar ¿Qué es lo básico?. Esta pregunta, se discutió en el IV Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME), desarrollado en Berkeley en 1980, donde se pensó que la resolución de problemas podía ser la respuesta a la pregunta y el foco de atención. Dto. de Matemática. UP

15 3º parte:El Congreso Internacional de Enseñanza de la Matemática de 1980.
1.        Que la resolución de problemas sea el foco de la matemática escolar. Pero considerando un tipo de problemas especial: aquellos que generan teoría, que ofrecen resistencia al alumno y que fomentan su creatividad y su espíritu crítico. 2.        Que la destreza básica en matemática comprenda la facilidad en el cálculo. 3.        Que los programas de matemática aprovechen la potencia de las calculadoras y de las computadoras en todos los niveles. 4.        Que se apliquen normas rigurosas de efectividad y eficiencia en la enseñanza de la matemática. 3ª parte: Repercusión de la introducción de “la Nueva Matemática” en la enseñanza 1.        Que se evalúe el éxito del aprendizaje de los programas de matemática. 2.        Que se redacte un currículum flexible para la enseñanza de la matemática de manera que pueda adaptarse a las diversas necesidades de la población estudiantil. 3.        La profesionalización de los maestros y profesores de matemática. 4.        El apoyo público a la buena enseñanza de la matemática comunicando a todos los estamentos de la sociedad la importancia que la misma para el buen desempeño de cada individuo y de la sociedad a la que pertenece. Dto. de Matemática. UP