El pensamiento geométrico y la “aplicabilidad” de las matemáticas

Presentación del tema: "El pensamiento geométrico y la “aplicabilidad” de las matemáticas"— Transcripción de la presentación:

1 El pensamiento geométrico y la “aplicabilidad” de las matemáticas

2 Algunas citas Paul Dirac: “La matemática es la herramienta especialmente adaptada para tratar con conceptos abstractos de cualquier tipo, y no hay límites a su poder en ese ámbito”. Einstein, El mundo como yo lo veo (1934): “Nuestra experiencia hasta el momento justifica nuestra creencia en que la naturaleza es la realización de las más simples ideas matemáticas que cabe concebir. […] La experiencia sigue siendo, por supuesto, el único criterio de utilidad de las construcciones matemáticas. Pero el principio creativo reside en las matemáticas”. El premio Nobel E. P. Wigner escribió Sobre la nada razonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales (1960). Y A. Einstein: “Lo más incomprensible del mundo es que resulta comprensible”.

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5 El camino de la geometrización
Leonardo y Durero; Galileo y Kepler: el gran libro de Natura está escrito en formas geométricas; Descartes: la física se reduce a geometría. Pero lo de Newton no...

6 Ό   έ. Ergo, “homo geometricus”.

7 Inflexión: el siglo XIX
La clave: generalización y abstracción de las nociones mismas de espacio y geometría. Doble proceso: dentro de la inicial geometría se distinguen varios estratos conceptuales o estructuras (métrica, proyectiva, afín, topológica), y simultáneamente se formulan alternativas a muchas de esas estructuras. Dos transformaciones prácticamente a la vez, aprox. entre 1820 y 1850: se desarrolla la geometría proyectiva con gran pujanza, y las geometrías no-euclideas de manera algo subterránea.

8 Geometrías no euclideas
Bolyai en 1823: “De la nada, he creado un nuevo universo."

9 Giro completamente nuevo en el XIX, Gauss:
El problema del espacio: orígenes con Descartes, el espacio absoluto de Newton vs. la visión relacional de Leibniz; intervención de Kant. Giro completamente nuevo en el XIX, Gauss: “debemos conceder con humildad que, si el número es puramente un producto de nuestro espíritu, el espacio tiene también una realidad fuera de nuestro espíritu, y que no podemos prescribir sus leyes completamente a priori.” Observaciones y mediciones geodésicas y astronómicas: Gauss, Riemann, Schwarzschild...

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12 Geometría proyectiva Abstracción: distancia y ángulo no se conservan bajo transformación proyectiva Nociones controvertidas: puntos y línea en el infinito Aspectos metodológicos: fenómeno de dualidad, contraste entre enfoques sintético y analítico, desarrollo independiente de conceptos métricos. Exigencias axiomáticas: Pasch, Hilbert, etc. Permite fundamentar las geometrías euclidea y no-euclideas Considerada “el todo” de la geometría en el XIX.

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14 ¿Cambio de tema? Matemática de construcciones
Matemática de los axiomas Euclides diagramático: Postulamos el trazar una línea recta de cualquier punto a cualquier punto. Hilbert relacional: Dados dos puntos cualesquiera, existe una recta que pasa por ambos.

15 El triángulo mágico: matemáticas, física y filosofía
“Sobre las hipótesis en que se funda la geometría”, 1854 (public. 1868) Generaliza la geometría diferencial de Gauss. Libera la idea de espacio, aspecto filosófico. Aplicaciones múltiples.

16 Diagramas del espacio-tiempo y de contracción de longitudes por Minkowski.
Staats- und Universitäts-bibliothek Göttingen (tomado de Scott Walter).

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18 Reflexiones Estructuras matemáticas: modelos posibles de lo real.
El aspecto misterioso: Dialéctica entre lo real y un mundo ideal? Juego del pensamiento y la imaginación, razón creativa? Implicaciones educativas: El conocimiento matemático no puede construirse sólo “desde abajo”: “sumergir” al alumno Importancia de repasar las grandes transformaciones en la Universidad Papel de la formación física y aplicada.

19 José Ferreirós, Noviembre 2006
Fin... ¿? José Ferreirós, Noviembre 2006

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