INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I. Modelos lineales y solución analítica y gráfica UNIDAD I.

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1 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

2 Modelos lineales y solución analítica y gráfica UNIDAD I

3 PROGRAMA DE ESTUDIO Objetivo Familiarizar al alumno con las técnicas de modelamiento y metodologías de resolución de problemas de la Investigación de operaciones, con especial énfasis en la aplicación de algoritmos de solución para modelos de programación matemática, en especial modelos lineales Contenido Introducción Investigación de operaciones Modelos matemáticos Programación Lineal Programación Lineal Métodos Gráfico Método Simplex Formulación de modelos Problema Dual y Análisis de Sensibilidad Programación de Maquinaria y Equipo

4 INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMA DEL CURSO DESCRIPCION El curso trata principalmente sobre la aplicación de los modelos usuales de Investigación de Operaciones en la solución de problemas reales, tales como modelos de Programación Lineal, Programación de Maquinaría y Equipo. OBJETIVOS Aplicar modelos cuantitativos en la resolución de problemas lineales. Optimizar soluciones usando la Investigación de Operaciones. METODOLOGÍA Clases expositivas para conceptos teóricos con discusiones sobre cada tema y participación activa del alumno en forma virtual. Practicas donde se conocerán el uso del software de apoyo a resolver problemas de Programación Lineal.

5 BIBLIOGRAFIA TAHA HAMDY A. Investigación de operaciones. PEARSON. 9 Ed. 2012 HILLIER, FREDERICK Y LIEBERMAN, GERALD: “Introducción a la Investigación de Operaciones”, McGraw – Hill Interamericana WINSTON WAYNE L.: “Investigación de Operaciones: Aplicaciones y Algoritmos”. Grupo Editorial Iberoamericana. DAVIS K ROSCOE y MC KEOWN Patrick. Modelos Cuantitativos para Administración. Grupo editorial Iberoamerica. 2 Ed. 1986. PRAWDA, Juan. Métodos y modelos de Investigación de operaciones. Limusa. JORGE ALVAREZ ALVAREZ, Investigación de Operaciones, Universidad Nacional de Ingeniería, Edición 2001. EPPEN G. D., GOULD F. J., SCHMIDT C. P., MOORE, Jeffrey, WEATHERFORD, Larry.- 2000, Investigación de Operaciones, en la Ciencia Administrativa, PEARSON, México. MATHUR, Kamlesh SOLOW, Daniel MATHUR.- 1996, Investigación de Operaciones, PRENTICE HALL, México.

6 INVESTIGACION DE OPERACIONES Definición: Conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas aplicable a diversos sistemas con el fin de mejorarlos, buscando las mejores alternativas de acción; esto mediante el modelamiento matemático de los problemas en estudio.

7 ¿Qué es la investigación de operaciones? Lawrence y Pasternak, (1998) “Es un enfoque científico para la toma de decisiones ejecutivas, que consiste en: El arte de modelar situaciones complejas, La ciencia de desarrollar técnicas de solución para resolver dichos modelos. La capacidad de comunicar efectivamente los resultados”.

8 Kamblesh Mathur: “Es el uso de la Matemática y computadoras para ayudar a tomar decisiones racionales frente a problemas de administración”. Jorge Alvarez: “Es un procedimiento o un enfoque para resolver problemas relacionados con la toma de decisiones”. ¿Qué es la investigación de operaciones?

9 La Investigación de Operaciones es el uso de la matemática e informática para resolver problemas del mundo real, tomando decisiones acertadas que garanticen el éxito. La investigación de operaciones tiene como objetivo buscar las soluciones que sean significativamente mas eficientes (en tiempo, recursos, beneficios, costos, etc.)

10 Toda toma de decisión empieza con la detección de un problema. Definir el problema en forma clara Identificar las restricciones Identificar las alternativas de solución Formular el o los objetivos Evaluar las alternativas y elegir la mejor Para tomar la decisión correcta, se debe: TOMA DE DECISIONES

11 Tiende a representar el problema cuantitativamente para poder analizarlo y evaluar un criterio común.

12 ¿Como se elige la mejor alternativa? Métodos Cualitativos Métodos Cuantitativos En base a la experiencia y al juicio profesional de la persona que toma la decisión En base a la utilización de herramientas matemáticas que permitan maximizar la efectividad en la toma de decisiones. TOMA DE DECISIONES

13 La dificultad de tomar decisiones ha hecho que el hombre se aboque en la búsqueda de una herramienta o métodos que le permita tomar las mejores decisiones de acuerdo a los recursos disponibles y a los objetivos que persigue. Este conjunto de herramientas o métodos es lo que llamaremos Investigación de Operaciones. “Enfoque científico de la toma de decisiones que requiere la operación de sistemas organizacionales”. Definición más formal La IO nos ofrece una serie de herramientas cuantitativas para la toma de decisiones. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

14 Modelos de IO Programación Lineal Métodos Clásicos DeterminísticosHíbridosEstocásticos Transporte y Asignación Prog. Maquinaria y Equipo Redes Optimización Lineal Optimización no Lineal Métodos de búsqueda Programación no lineal Programación Dinámica Teoría de Inventarios Simulación Pert / CPM Heurísticas Cadenas de Markov Teoría de Colas Procesos Estocásticos Teoría de Decisiones y Juegos MODELOS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

15 MÉTODOS EN INVESTIGACIÓN OPERATIVA Métodos determinísticos: Programación lineal, programación entera, probabilidad de transporte, teoría de la localización o redes, programación multicriterio, teoría de inventarios, etc. Métodos probabilísticos: Cadenas de markov, teoría de juegos, líneas de espera, teoría de inventarios, etc. Métodos híbridos: Conjugan métodos determinísticos y probabilísticos. Métodos heurísticos: soluciones basadas en la experiencia.

16 ¿Qué se busca en el curso de Investigación de Operaciones? Se intenta encontrar una mejor solución llamada solución óptima. Areas de Aplicación de la Investigación de Operaciones Manufactura. Transporte. Telecomunicaciones. Salud. Planeación. Servicios. Finanzas. Otros.

17 ORIGEN DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES La revolución de la administración científica de principios del siglo XX, iniciada por el creador de la organización científica del trabajo Frederick W. Taylor, aportó las bases para el uso de los métodos cuantitativos en la administración. Sin embargo, la mayor parte de la investigación moderna sobre el uso de métodos cuantitativos, en la toma decisiones tuvo su origen durante la Segunda Guerra Mundial. Durante este periodo, se formaron equipos conformados por personas con diversas especialidades (desde matemáticos, ingenieros y científicos del comportamiento) con el fin de abordar los problemas estratégicos y tácticos que enfrentaban las fuerzas armadas. Posterior a la guerra, la gran mayoría de los miembros de estos equipos continuaron con sus investigaciones acerca de los métodos cuantitativos enfocados a la toma de decisiones.

18 Proceso: Conjunto de actividades que crean una salida o resultado a partir de una o más entradas o insumos. Sistema: Un conjunto de elementos interconectados utilizados para realizar el proceso. Incluye subprocesos pero también incluye los recursos y controles para llevar a cabo estos procesos. En el diseño de procesos nos enfocamos en QUÉ se ejecuta. En el diseño del Sistemas el énfasis está en los detalles de CÓMO, DÓNDE Y CUÁNDO. SISTEMAS V/S PROCESOS

19 Entidades que Entran Entidades que Salen Reglas de Operación (Controles) Sistema Recursos Actividades

20

21 MODELO Con el propósito de estudiar científicamente un sistema del mundo real debemos hacer un conjunto de supuestos de cómo trabaja. Estos supuestos, que por lo general toman la forma de relaciones matemáticas o relaciones lógicas, constituye un Modelo que es usado para tratar de ganar cierta comprensión de cómo el sistema se comporta.

22 EL MODELADO Es una ciencia análisis de relaciones aplicación de algoritmos de solución Y a la vez un arte visión de la realidad estilo, elegancia, simplicidad uso creativo de las herramientas experiencia

23 ¿PARA QUÉ SIRVE UN MODELO? En atención a lo anterior se pueden definir tres ámbitos de utilidad de los modelos en la Investigación de operaciones: Aprender / Entender La experiencia demuestra que el principal beneficio en la generación de un modelo es el entendimiento que el modelador adquiere del comportamiento de la realidad.

24 Implementar en un computador La aparición de los computadores es la que le ha dado a la investigación de operaciones el impulso necesario. La implementación y automatización de procesos exige el modelado previo del problema planteado. Si se desea gestionar la información que genera una empresa, o implementar un sistema de gestión de recursos humanos es necesario realizar un modelo de dicha empresa que comprenda de la manera más eficiente posible toda la información vinculada. Tomar decisiones Los modelos construidos permiten mediante su resolución ayudar a la toma de decisiones generando soluciones óptimas, o suficientemente cercanas al óptimo, dado un objetivo establecido. Asimismo pueden ser utilizados para evaluar el impacto de tomar decisiones, antes de tomarlas, y de este modo elegir la que más se ajuste a la solución.

25 Problema Es identificar, comprender y describir en términos precisos, el problema que la organización enfrenta. El enunciado es la definición del problema. Un problema no se formula sino se define. Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma más eficaz Los recursos son escasos Los sistemas son cada vez más complejos METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

26 OPTIMIZACIÓN Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible.

27 PROGRAMACIÓN LINEAL Es una de las principales ramas de la Investigación Operativa. En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisión. Se trata de una herramienta que se utiliza para encontrar la mejor solución a los problemas que estén representados por modelos en forma de función o ecuación lineal. Ésta es una herramienta determinista; esto es, se supone que se conocen con certeza todos los parámetros del modelo, lo que casi nunca sucede en la vida real. Esta deficiencia se compensa con los llamados análisis de sensibilidad, mediante los cuales se van cambiando los datos o parámetros y se observan otras posibles soluciones del problema. Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.

28 CARACTERÍSTICAS DE LA PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Proporcionalidad: las variables y la función objetivo deben ser lineales. El uso de recursos por parte de una actividad es proporcional al nivel de la actividad. Aditividad: El valor de la función objetivo es la suma de las contribuciones de las actividades individuales. Divisibilidad: las soluciones no deben ser necesariamente números enteros. Certeza: Se asume que no hay aleatoreidad en los coeficientes que definen a las variables de decisión del problema.

29 Desarrollo de un modelo matemático Es la traducción del problema a términos matemáticos. Es formular un modelo matemático: Identificando variables Identificando la Función Objetivo Identificando las restricciones Objetivos: función objetivo alternativas: variables de decisión limitaciones del sistema: restricciones METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES I) Identificacion de las variables Xij = # de consultores que viajan del origen i al destino j II) Identificacion de la funcion objetivo Max 540X11+300X12+420X13+ 500X21+330X22+330X23+ 520X31+310X32+350X33 III) Identificacion de las restricciones X11+X12+X13 ≤ 2 X21+X22+X23 ≤ 1 X31+X32+X33 ≤ 4 X11+X21+X31 = 3 X12+X22+X32 = 2 X13+X23+X33 = 1 Xij ≥ 0 ; entero

30 Resolución del modelo Es resolver el modelo usando una técnica adecuada, es decir obtener valores numéricos para la variable de decisión. Es determinar los valores de las variables de decisión de modo que la solución sea óptima (o satisfactoria) sujeta a las restricciones. Puede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos. En esta parte se usa el Software WIN QSB. Hay otros como el LINDO, MLP y TORA METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

31 Un método óptimo para lograr un objetivo. Una forma de evaluar preguntas de sensibilidad de la forma: ¿Qué sucedería sí...? VENTAJA DE LOS MODELOS

32 EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PROVEE UNA SOLUCIÓN INTELIGENTE PARA ESTE PROBLEMA

33 METODOS DE SOLUCION DE PROBLEMAS LINEALES Métodos: Gráfico. Fácilmente comprensible y permite visualizar algunas propiedades. Analítico. El método simplex ha demostrado ser eficiente por el uso del computador. Algeibraíco Método Gráfico: Este método consiste en delinear sobre el primer cuadrante (debido a la condición de no negatividad) la región de soluciones factibles; luego sobre ella se grafica la función objetivo. Ejemplo 1 X i = Número de unidades del producto i Max (Z) = 6X 1 + 4X 2 Sujeto a: 2 X 1 + 2 X 2 ≤ 160 1 X 1 + 2 X 2 ≤ 120 4 X 1 + 2 X 2 ≤ 280 X 1, X 2 ≥ 0

34 2 X 1 + 2 X 2 ≤ 160 1 X 1 + 2 X 2 ≤ 120 4 X 1 + 2 X 2 ≤ 280 0, 60 40, 4060, 20 70, 0 6X 1 + 4X 2 = 0

35 Max (Z) = 3X 1 + 2X 2 (Función objetivo) Sujeto a: 2 X 1 + X 2 ≤ 100 X 1 + X 2 ≤ 80 Restricciones X 1 ≤ 40 X 1, X 2 ≥ 0 No negatividad PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN

36 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS RESTRICCIONES 2X 1 + X 2 ≤ 100 Cualquier Problema de Programación Llineal con sólo dos variables puede resolverse gráficamente. Por ejemplo, para representar gráficamente la primera restricción, 2X 1 + X 2 ≤ 100 : Dibujamos la recta 2X 1 + X 2 = 100 20 406080 40 60 80 100 X2X2 X1X1 2X 1 + X 2 = 100 El punto (0,0), cumple con la desigualdad

37 DIBUJAR LA REGIÓN FACTIBLE Puesto que el Problema de Programación Lineal tiene dos variables, se puede resolver gráficamente. La región factible es el conjunto de todos los puntos que satisfacen las restricciones: 2 X 1 + X 2 ≤ 100 X 1 + X 2 ≤ 80 Restricciones X 1 ≤ 40 X 1, X 2 ≥ 0 No negatividad Vamos a dibujar la región factible que satisface estas restricciones.

38 X2X2 X1X1 20 406080 40 60 80 100 2X 1 + X 2 = 100 Restricciones 2 X 1 + X 2 ≤ 100 X 1 + X 2 ≤ 80 X 1 ≤ 40 X 1, X 2 ≥ 0 DIBUJAR LA REGIÓN FACTIBLE Teniendo en cuenta las restricciones de signo (X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0), nos queda:

39 X2X2 X1X1 20 406080 40 60 80 100 X 1 + X 2 = 80 Restricciones 2 X 1 + X 2 ≤ 100 X 1 + X 2 ≤ 80 X 1 ≤ 40 X 1, X 2 ≥ 0

40 X2X2 X1X1 20 406080 40 60 80 100 X 1 = 40 Restricciones 2 X 1 + X 2 ≤ 100 X 1 + X 2 ≤ 80 X 1 ≤ 40 X 1, X 2 ≥ 0

41 X2X2 X1X1 20 406080 40 60 80 100 2X 1 + X 2 = 100 X 1 + X 2 = 80 X 1 = 40 La intersección de todos estos semiplanos (restricciones) nos da la región factible Región Factible

42 X2X2 X1X1 20 406080 40 60 80 100 2X 1 + X 2 = 100 X 1 + X 2 = 80 X 1 = 40 Región Factible La región factible (al estar limitada por rectas) es un polígono. En esta caso, el polígono ABCDE. A B C D E Como la solución óptima está en alguno de los vértices (A, B, C, D o E) de la región factible, calculamos esos vértices. VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE Restricciones 2 X 1 + X 2 ≤ 100 X 1 + X 2 ≤ 80 X 1 ≤ 40 X 1, X 2 ≥ 0

43 Región Factible. Es aquella que cumple con todas las restricciones y las condiciones de no negatividad. Solución Factible. Es cualquier punto situado en la región factible. Solución Básica. Es aquella que se encuentra en la intersección de rectas o hiperplanos o en la intersección con los ejes coordenados. Solución Básica Factible. Es una solución básica que pertenece a la región factible. Solución Optima. Es una solución factible que maximiza o minimiza la función objetivo según sea el caso Solución Básica Factible Degenerada. Es una solución factible básica en la que una o más variables básicas toman el valor de cero.

44 PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN Min (Z) = 50X 1 + 100X 2 (Función Objetivo) Sujeto a: 6X 1 + 3X 2 ≥ 30 Restricciones 2X 1 + 8X 2 ≥ 24 X 1, X 2 ≥ 0 No negatividad

45 X1X1 X2X2 2 2 4 6 8 10 12 14 14 12 10 8 6 4 2 Min (Z) = 50X 1 + 100X 2 Sujeto a:. 6X 1 + 3X 2 ≥ 30 2X 1 + 8X 2 ≥ 24 X 1, X 2 ≥ 0 6X 1 + 3X 2 = 30 2X 1 + 8X 2 = 24 DIBUJAMOS LA REGIÓN FACTIBLE

46 X1X1 X2X2 2 4 6 8 10 12 14 14 12 10 8 6 4 2 La región factible no está acotada Región Factible CALCULAMOS LOS VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE: A B C El vértice A es solución del sistema 6X 1 + 3X 2 = 30 X 1 = 0 Por tanto, A(0, 10) El vértice B es solución de 6X 1 + 3X 2 = 30 2X 1 + 8X 2 = 24 Por tanto, B(4, 2) El vértice C es solución de 2X 1 + 8X 2 = 24 X 2 = 0 Por tanto, C(12, 0)

47 Restricción de mayor o igual que cero, límite mínimo Ejemplo 2 Min (Z) = 2 X 1 + 6 X 2 Sujeto a: 12 X 1 + 6 X 2 ≥ 16 4 X 1 + 12 X 2 ≥ 12 X 1, X 2 ≥ 0

48 Ejemplo 3 Min (Z) = 2 X 1 + 3 X 2 Sujeto a: X 1 + X 2 ≤ 4 6 X 1 + 2 X 2 = 8 X 1 + 5 X 2 ≥ 4 X 1 ≤ 3 X 2 ≤ 3 X 1, X 2 ≥ 0 La solución se encuentra en el segmento A y B, donde X 1 = 8/7 y X 2 = 4/7. la función objetivo toma el valor de 4. A B A

49 Ejemplo 4 Max (Z) = X 1 + X 2 Sujeto a: - 4 X 1 + 2 X 2 ≤ 2 2 X 1 ≤ 4 2 X 1 + 2 X 2 ≤ 6 X 1, X 2 ≥ 0 Se aprecia que la recta de la función objetivo no es ahora tangente a un vértice del polígono factible, si no es coincidente con uno de los lados del mismo. ¿Cuál es entonces la solución? En este caso es posible definir cualquier punto sobre la recta BC y hallar en consecuencia los valores X 1 y X 2. X 1 = 2 ; X 2 = 1; Z = 3, otro resultado X 1 = 2/3, X 2 = 7/3 ; Z = 3 C B (2,1) (2/3,7/3)

50 Ejemplo 5 Max (Z) = 2 X 1 + 2 X 2 Sujeto a: X 1 - X 2 ≥ 1 1/ 2 X 1 + X 2 ≤ 2 X 1, X 2 ≥ 0 No tiene un valor máximo finito. En problemas prácticos no puede presentarse este tipo de solución. (6,5)

51 Ejemplo 6 Max (Z) = 3 X 1 + 2 X 2 Sujeto a: X 1 + X 2 ≤ 1 2 X 1 + 2 X 2 ≥ 4 X 1, X 2 ≥ 0 Ejemplo 7 Max (Z) = X 1 + X 2 Sujeto a: 3 X 1 - X 2 ≥ - 3 X 1 + X 2 ≤ 4 X 1, X 2 ≥ 0 No se puede garantizar que todo problema tenga solución factible.

52 MÉTODO GRÁFICO La solución de un modelo de programación lineal por medio del método gráfico, consiste en la búsqueda de la combinación de valores para las variables de decisión que optimicen el valor de la función objetivo, si es que dicha combinación existe. Gráficamente se define una región que deje satisfecha a todas y cada una de las restricciones y se sigue un criterio de decisión. De forma práctica sólo problemas de tres variables de decisión o menos serán representables y solucionables siguiendo este método.

53 A la región que satisface a todas y cada una las restricciones de un modelo de programación lineal se llama REGIÓN FACTIBLE y consiste de todas las combinaciones de los valores para las variables de decisión, que son válidas como una solución del modelo.

54 MÉTODO GRÁFICO Se determina todos los vértices de la región de factibilidad. Se evalúa la función objetivo para cada uno de los puntos de cada vértice. Se define como punto óptimo a aquel que alcance el mejot valor de la función objetivo y se establece siguiendo uno de los dos criterios: 1.En maximización, el mayor valor 2.En minimización, el menor valor

55 Región Factible E(0, 80) (20, 60) C(40, 20) B(40, 0) A(0, 0) VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE Los vértices de la región factible son intersecciones de dos rectas. El punto D es la intersección de las rectas: 2X 1 + X 2 = 100 X 1 + X 2 = 80 La solución del sistema X 1 = 20, X 2 = 60 nos da el punto D. 20 406080 40 60 80 100 X2X2 X1X1 D B es solución de X 1 = 40 X 2 = 0 2X 1 + X 2 = 100 X 1 = 40 X 1 + X 2 = 80 C es solución de X 1 = 40 2X 1 + X 2 = 100 E es solución de X 1 + X 2 = 80 X 1 = 0

56 Región Factible (0, 80) (20, 60) (40, 20) (40, 0) (0, 0) Max (Z) = 3X 1 + 2X 2 Max (Z) = 0 Max (Z) = 100 Max(Z) = 180 La última recta de Z que interseca (toca) la región factible indica la solución óptima para el Problema de Programación Lineal. Para el problema, esto ocurre en el punto D (X 1 = 20, X 2 = 60, Max (Z) = 180). 20 406080 40 60 80 100 X2X2 X1X1 RESOLUCIÓN GRÁFICA

57 Región Factible (0, 80) (20, 60) (40, 20) (40, 0) (0, 0) Max (Z) = 3X 1 + 2X 2 También podemos encontrar la solución óptima calculando el valor de Z en los vértices de la región factible. Vértice Max(Z) = 3X 1 + 2X 2 (0, 0) Max(Z) = 3·0+2·0 = 0 (40, 0) Max(Z) = 3·40+2·0 = 120 (40, 20) Max(Z) = 3·40+2·20 = 160 (20, 60) Max(Z) = 3·20+2·60 = 180 (0, 80) Max(Z) = 3·0+2·80 = 160 20 406080 40 60 80 100 X2X2 X1X1 La solución óptima es: X 1 = 20 X 2 = 60 Max (Z) = 180 SOLUCIÓN

58 Región Factible SOLUCIÓN CASO DE MINIMIZACIÓN A(0, 10) B(4, 2) C(12, 0) X1X1 X2X2 2 4 6 8 10 12 14 14 12 10 8 6 4 2 VérticeMin(Z) = 50X 1 + 100X 2 A(0, 10) Min(z) = 50·0 + 100·10 = = 0+1 000 = 1 000 B(4, 2) Min(Z) = 50·4 + 100·2 = = 200+200 = 400 C(12, 0) Min(Z) = 50·12 + 100·0 = = 600 + 0 = 600 El costo mínimo se obtiene en B. Solución: X 1 = 4 X 2 = 2 Costo Min (Z) = 400 Evaluamos la función objetivo Min(Z) en los vértices.

59 Región Factible RESOLVEMOS POR EL MÉTODO GRÁFICO A(0, 10) B(4, 2) C(12, 0) X 1 X2X2 2 4 6 8 10 12 14 14 12 10 8 6 4 2 El costo mínimo se obtiene en el punto B. Solución: X 1 = 4 X 2 = 2 Costo Min(Z) = 400 Min z = 50X 1 + 100X 2 Sujeto a: 6X 1 + 3X 2 ≥ 30 2X 1 + 8X 2 ≥ 24 X 1, X 2 ≥ 0 Min(Z) = 600 Min(Z) = 400

60 MÉTODO SIMPLEX El método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal, capaz de resolver modelos más complejos y que los resueltos por el método gráfico sin restricción en número de variables, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de dar solución a problemas de m restricciones y n variables. El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restricción.

61 MÉTODO SIMPLEX El método nos permite ir mejorando la solución a cada paso del procedimiento comenzado con una solución básica (punto extremo) y modificando esta a lo largo del proceso, a través de la inclusión y exclusión de una variable; siempre aumentando la utilidad (o reduciendo el costo) hasta encontrar una solución óptima.

62 Sujeto a:..... X 1,2,.....n > 0 Variables de decisión Coeficientes objetivo Coeficientes tecnológicos Coeficientes recurso Condiciones técnicas o No negatividad MODELO GENERAL DE PROGRAMACIÓN LINEAL nn XCXCXCMax(Z) Optimizar FO +++ =...... 2211 2 2222121 1 ),,(.....bXaXaXa n n ≥=≤+++ 1212111 ),,(.....bXaXaXa nn ≥=≤+++ mnmnmm bXaXaXa),,(..... 2211 ≥=≤+++

63 Donde el vector c también conocido como el vector costos, viene dado por: El vector de lado derecho o b, viene dado por: Este es un vector columna, que representa los recursos de las m actividades. Es por lo tanto el elemento de la mano derecha de cada una de las m ecuaciones.

64 La matriz A, representa los coeficiente tecnológicos; es la matriz para el sistema de ecuaciones Ax = b: El sistema de ecuaciones o el modelo de PL, queda representado por: Max (Z) = C X Sujeto a: A X = b i A X ≤ b i A X ≥ b i X ≥ 0

65 EL MODELO DE P.L. Z: función objetivo C (c 1,...,c n ): vector de coeficientes de la f. o. X (x 1,...,x n ): vector de variables de decisión A (...,a ij,...): matriz de coeficientes técnicos b (b 1,...,b m ): vector de demandas Matricialmente, Optimización Max o Min = CX S.A. AX b x  0 Forma canónica

66 TEOREMA 1. El conjunto de todas las soluciones factibles al problema de programación lineal es un conjunto convexo. TEOREMA 2. La función objetivo alcanza su máximo en un punto extremo del conjunto convexo, generado por el conjunto de soluciones factibles al problema de programación lineal. 1. Existe un punto extremo del polígono (poliedro) convexo en el cual la función objetivo tiene su máximo (mínimo). 2. Cada solución factible básica corresponde a un punto extremo del polígono (poliedro) convexo. Se tendrá que buscar que investigar únicamente los puntos extremos del polígono (poliedro) convexo y buscar aquel punto que proporcione el mayor (menor) valor para que la función objetivo y así obtendremos la solución buscada.

67 METODO SIMPLEX 1.b i ≤ 0 2.Restricciones ≤ 3.Restricciones ≥ 4.Restricciones = 5.X j ≤ 0; x i = - X i, donde X i ≥ 0 6.X i Sin Restricción de Signo (SRS) +, -, 0 X 1 ; SRS X 1 = X 1 + - X 1 - X 1 = A 1 - D 1 A 1 > D 1 ; X 1 > 0; X 1 = A 1 - 0 A 1 = D 1 ; X 1 = 0; X 1 = 0 - 0 A 1 < D 1 ; X 1 < 0; X 1 = 0 - D 1 donde : A 1, D 1 ≥ 0

68 7.Empate en el criterio en la variable que ingresa se escoge arbitrariamente cualquiera. Seleccionamos la variable que sale {θ i menor} 8.Empate en el criterio en la variable que sale se escoge arbitrariamente cualquiera. Criterio de Optimalidad Max Z j - C j ≥ 0 ; C j - Z j ≤ 0 Min Z j - C j ≤ 0 ; C j - Z j ≥ 0 9.Tipo de soluciones.

69 X i :Numero de unidades del producto tipo i que se deben producir mensualmente. Donde i = 1, 2 Max (Z) = 30 X 1 + 50 X 2 Sujeto a: X 1 + 2 X 2 ≤ 200 Estación de trabajo 1 X 1 + X 2 ≤ 140 Estación de trabajo 2 X 1, X 2 ≥ 0 Estación de trabajo 1 Estación de trabajo 2 Entra da X1X2X1X2

70 Solución (80,60) (140,0) (0,100) Max(Z)= 30X 1 + 50X 2 Max(Z) = 30(80) + 50(60) Max(Z) = 5 400 (0,100) (0, 0)

71 X i :Numero de unidades del producto tipo i que se deben producir mensualmente. Max (Z) = 30 X 1 + 50 X 2 + 0 S 1 + 0 S 2 Sujeto a: X 1 + 2 X 2 + 1 S 1 + 0 S 2 = 200 1 0 X 1 + X 2 + 0 S 1 + 1 S 2 = 140 0 1 X 1, X 2, S 1, S 2 ≥ 0

72 a) Forma algebraicab) Forma tabular Variable básica Ec. Coeficientes de la función objetivo: Lado derecho 305000 XBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 bi (1) X 1 + 2 X 2 + 1 S 1 + 0 S 2 = 200S1S1 11210200 (2) X 1 + X 2 + 0 S 1 + 1 S 2 = 140S2S2 21101140 Solución C 1 C 2 C 3 C 4 Max (Z) = 30 X 1 + 50 X 2 + 0 S 1 + 0 S 2 Sujeto a: X 1 + 2 X 2 + 1 S 1 + 0 S 2 = 200 X 1 + X 2 + 0 S 1 + 1 S 2 = 140 X 1, X 2, S 1, S 2 ≥ 0

73 Cj305000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 biθiθi 0S1S1 1210200100 0S2S2 1101140 Cj -Zj3050000 Solución Iteración N° 1 Pivot Semi Pivot mínimo X2X2 1/21 0100 C 1 – Z 1 = 30 – 0x1 + 0x1 = 30 C 2 – Z 2 = 50 – 0x1 + 0x1 = 50

74 Cj305000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 biθiθi 50X2X2 1/21 0100 Cj -Zj Cj305000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 biθiθi 50X2X2 1/21 0100 0S2S2 Cj -Zj

75 Semi pivot Cj305000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 biθiθi 50X2X2 1/21 0100200 0S2S2 1/20-1/214080 Pivot Semi Pivot 1101140 1/21 0100 -1/2-1/20-100 1/20-1/2140 Cj - Zj50-2505000

76 -1/210280 1/21 0100 -1/201/2-40 01160

77 Cj305000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 biθiθi 50X2X2 01160 30X1X1 10280 Cj -Zj00-20-105400 Solución Iteración N° 3

78 Solución (80,60) (140,0) (0,100) Max(Z)= 30X 1 + 50X 2 Max(Z) = 30(80) + 50(60) Max(Z) = 5 400 (0,100) (0, 0)

79 ¿Cuántos artefactos de A y B deben de producir para obtener el máximo beneficio? ARTEFACTO A (min/unid) ARTEFACTO B (min/unid) DISPONIBILIDAD Maquinado Armado Montaje Beneficio 4 5 12 100 8 6 120 480 600 540

80

81 X i : Cantidad de artefactos del tipo i a producirse al día. Donde i = 1, 2 FUNCIÓN OBJETIVO Max (Z) = 100 X 1 + 120 X 2 Sujeto a: 4 X 1 + 8 X 2  480 → Area de Maquinado 5 X 1 + 6 X 2  600 → Area de Armado 12 X 1 + 8 X 2  540 → Area de Montaje X 1, X 2  0 Área de Maquinado Área de Armado Área de Montaje Entra da Sali da

82 (15/2, 225/4) (0, 60) (45, 0)

83 Cj100120000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 biθiθi 0S1S1 4810048060 0S2S2 56010600100 0S3S3 128001540135/2 Cj -Zj1001200000 Solución Iteración N° 1 Cj100120000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 biθiθi 120X2X2 1/211/80060120 0S2S2 20-3/410240120 0S3S3 80016015/2 Cj -Zj400-15007200 Iteración N° 2

84

85 Iteración N° 3 Cj100120000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 biθiθi 120X2X2 013/160-1/16225/4 0S2S2 00-1/21-1/4225 100X1X1 10-1/801/815/2 Cj -Zj00-100-57500

86 X i : Variable de decisión FUNCIÓN OBJETIVO Max (Z) = 4 X 1 + 3 X 2 Sujeto a: 4 X 1 + 2 X 2  12 X 1 + 3 X 2  9 7 X 1 + 2 X 2  28 X 1, X 2  0

87

88 Cj43000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 biθiθi 0S1S1 42100123 0S2S2 1301099 0S3S3 72001284 Cj -Zj430000 Tipos de Solución Iteraciones 4X1X1 11/21/40036 0S2S2 05/2-1/410612/5 0S3S3 0-3/2-7/4017- Cj -Zj010012 4X1X1 103/10-1/509/5 3X2X2 01-1/102/5012/5 0S3S3 00-19/103/5153/5 Cj -Zj00-9/10-2/5072/5 Solución Optima Unica

89 X i : Variable de decisión FUNCIÓN OBJETIVO Max (Z) = 3 X 1 + 5 X 2 Sujeto a: X 1  4 2 X 2  12 3 X 1 + 2 X 2  18 X 1, X 2  0

90

91 Cj35000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 biθiθi 0S1S1 101004- 0S2S2 02010126 0S3S3 32001189 Cj - Zj350000 Tipos de Solución Iteraciones 0S1S1 1010044 5X2X2 0101/206- 0S3S3 300162 Cj - Zj300-5/2030 0S1S1 0011/3-1/32 5X2X2 0101/206 3X1X1 100-1/31/32 Cj - Zj000-3/236 Solución Optima Unica

92 X i : Variable de decisión FUNCIÓN OBJETIVO Min (Z) = - X 1 - 3 X 2 Sujeto a: X 1 + X 2  6 - X 1 + 2 X 2  8 X 1, X 2  0

93 Cj-300 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 biθiθi 0S1S1 111066 0S2S2 20184 Cj -Zj-3000 Solución Iteración N° 1 Iteración N° 2 Cj-300 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 biθiθi 0S1S1 3/201-1/224/3 -3X2X2 -1/2101/24 Cj -Zj-5/2003/2-12

94 Cj-300 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 biθiθi X1X1 102/3-1/34/3 -3X2X2 011/3 14/3 Cj -Zj005/32/3-46/3 Solución Iteración N° 3 Solución óptima única

95 X i : Variable de decisión FUNCIÓN OBJETIVO Max (Z) = 3 X 1 + 2 X 2 Sujeto a: X 1  4 2 X 2  12 3 X 1 + 2 X 2  18 X 1, X 2  0

96 (0,0) (4,0) (2,6) (4,3)

97 Cj32000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 biθiθi 0S1S1 1010044 0S2S2 0201012- 0S3S3 32001186 Cj - Zj320000 Tipos de Solución Iteraciones 3X1X1 101004- 0S2S2 02010126 0S3S3 02-30163 Cj - Zj02-30012 3X1X1 101004 0S2S2 00316 2X2X2 01-3/201/23 Cj - Zj000018

98 3X1X1 100-1/31/32 0S1S1 001 -1/32 2X2X2 0101/206 Cj - Zj000018 Solución Optima Altenativa X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3

99 X i : Variable de decisión FUNCIÓN OBJETIVO Max (Z) = 10 X 1 + 5 X 2 Sujeto a: -3 X 1 + 4 X 2  12 X 1 - 2 X 2  2 X 1 + 2 X 2  8 X 1, X 2  0

100

101 Cj105000-M CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A3A3 biθiθi 0S1S1 -341000123 0S2S2 1-201002- -MA3A3 1200184 Cj - Zj10+M5 + 2M00-M00 Tipos de Solución Iteraciones 5X2X2 -3/411/40003- 0S2S2 -1/201/21008- -MA3A3 5/20-1/20124/5 Cj - Zj 55/4+5M/20-5/4-M/2 0 -M015 5X2X2 011/100-3/103/1018/5 0S2S2 004/101-1/51/542/5 10X1X1 10-1/50-2/52/54/5 Cj - Zj 003/2011/2-M-11/226 Solución No Acotada

102 Para graficarlo, se tendría que hacerlo en tres dimensiones: En el siguiente problema de programación lineal: Max (Z) = -2 X 1 + 6 X 2 - 4 X 3 (Utilidades) Sujeto a: 3X 1 - 1X 2 + 2X 3 ≤ 7(Recurso N°1) -2X 1 + 4X 2 ≤ 12(Recurso N°2) -4X 1 + 3X 2 + 8X 3 ≤ 10(Recurso N°3) X 1, X 2, X 3 ≥ 0 X2X2 X1X1 X3X3

103 Max (Z) = -2 X 1 + 6 X 2 - 4 X 3 + 0 S 1 + 0 S 2 + 0 S 3 (Utilidades) Sujeto a: 3X 1 - 1X 2 + 2X 3 + S1 ≤ 7 (Recurso N°1) -2X 1 + 4X 2 + S 2 ≤ 12 (Recurso N°2) -4X 1 + 3X 2 + 8X 3 + S 3 ≤ 10 (Recurso N°3) X 1, X 2, X 3, S 1, S 2, S 3 ≥ 0 En el siguiente problema de programación lineal: Max (Z) = -2 X 1 + 6 X 2 - 4 X 3 (Utilidades) Sujeto a: 3X 1 - 1X 2 + 2X 3 ≤ 7(Recurso N°1) -2X 1 + 4X 2 ≤ 12(Recurso N°2) -4X 1 + 3X 2 + 8X 3 ≤ 10(Recurso N°3) X 1, X 2, X 3 ≥ 0

104 Cj-26-4000 CiXBXB X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 S3S3 biθi 0S1S1 321007 0S2S2 -240010123 0S3S3 -4380011010/3 Cj - Zj-26-40000

105 X i : Variable de decisión FUNCIÓN OBJETIVO Min (Z) = X 1 + X 2 Sujeto a: 9 X 1 + 3 X 2  9 3 X 1 + 3 X 2  15 3 X 1 + 4 X 2 = 12 X 1, X 2  0

106

107 Cj1100MM CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 A1A1 A3A3 biθiθi MA1A1 9301091 0S2S2 330100155 MA3A3 340001124 Cj – Zj1-12M1-7MM000 Tipos de Solución Iteraciones 1X1X1 11/3-1/901/9013 0S2S2 021/31-1/30126 MA3A3 031/30-1/3193 Cj - Zj02/3-3M1/9-M/3 0 -1/9+4M/30 1X1X1 10-4/2704/27-1/90 0S2S2 001/91-1/9-2/36 1X2X2 011/90-1/91/33 Cj - Zj001/270M-1/27M-2/93 Solución Degenerada

108 X i : Variable de decisión FUNCIÓN OBJETIVO Min (Z) = X 1 + X 2 Sujeto a: 9 X 1 + 3 X 2  9 X 1 - 2 X 2  15 X 1 + 2 X 2 = 12 X 1, X 2  0

109

110 Cj1100MM CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 A1A1 A3A3 biθiθi MA1A1 9301091 0S2S2 1-2010015 MA3A3 12000112 Cj – Zj1-10M1-5MM000 Tipos de Solución Iteraciones 1X1X1 11/3-1/901/9013 0S2S2 0-7/31/91-1/9014- MA3A3 05/31/90-1/911133/5 Cj - Zj02/3-5M/31/9-M/9 0 -1/9+M/90 1X2X2 31-1/301/303 - 0S2S2 70-2/312/3021 - MA3A3 -502/30-2/316 9 Cj - Zj-2+5M01/3-2M/305M/3-1/303

111 CjXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 A1A1 A3A3 bi 1X2X2 1/21000 6 0S2S2 20010127 0S1S1 -15/20103/29 Cj - Zj1/2000MM-1/26

112 X i : Variable de decisión FUNCIÓN OBJETIVO Max (Z) = 3X 1 + 5X 2 Sujeto a: X 1  8 2 X 2  12 3 X 1 + 2 X 2 = 18 X 1, X 2  0

113 GRAFICA

114 Cj35000-M CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 Biθiθi -MA1A1 1000188 0S2S2 02010012- -MA3A3 320010186 Cj – Zj3 + M5 + 2M-M000 Tipos de Solución Iteraciones -MA1A1 0-2/30-1/302 0S2S2 02010012 3X1X1 12/3001/316 Cj - Zj05-2M/3-M 0 -M/3-10 Solución No Factible

115 X i : Variable de decisión FUNCIÓN OBJETIVO Max (Z) = 460X 1 + 200X 2 Sujeto a: 18 X 1 + 3 X 2 ≤ 800 9 X 1 + 4 X 2  600 X 1 ≥ 80 X 1, X 2  0

116 Cj460200000-M CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A3A3 bibi θiθi 0S1S1 1831000800400/9 0S2S2 940100600200/3 -MA3A3 1000180 Cj – Zj460+M20000-M0 Tipos de Solución Iteraciones 460X1X1 11/61/18000400/9 0S2S2 05/2-1/2100200 -MA3A3 0-1/6-1/1801320/9 Cj – Zj0 370/3-M/6230/9-M/18 0-M0 Solución No Factible

117 X i : Variable de decisión FUNCIÓN OBJETIVO Max (Z) = X 1 + X 2 Sujeto a: 2 X 1 + 2 X 2 ≤ 8 6 X 1 + 2 X 2  18 2 X 1 + 4 X 2 ≤ 16 X 1, X 2  0

118

119 Cj11000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 biθiθi 0S1S1 2210084 0S2S2 62010183 0S3S3 24001168 Cj - Zj110000 Tipos de Solución Iteraciones 0S1S1 04/31-1/3023/2 1X1X1 11/301/6036 0S3S3 010/30-1/31103 Cj - Zj02/30-1/603 1X2X2 003/4-1/403/2 1X1X1 10-1/41/405/2 0S3S3 01-5/2-1/215 Cj - Zj00-1/2004

120 1X2X2 111/2004 0S2S2 401010 0S3S3 20-30110 Cj - Zj00-1/2004 Solución Optima Altenativa

121 Max (Z) = 4 X 1 + 8 X 2 Sujeto a: 6 X 1 + 8 X 2 ≤ 24 20 X 1 = 10X 2 8 X 1 - 4 X 2 ≤ 16 X 1, X 2  0

122 Cj480-M0 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 A2A2 S3S3 biθiθi 0S1S1 68100244 -MA2A2 20-1001000 0S3S3 8-4001162 Cj - Zj4+20M8 -10M000 Tipos de Solución Iteraciones 0S1S1 0111-3/1002424/11 1X1X1 1-1/201/2000- 0S3S3 000-2/5116- Cj - Zj0100-1/60 1X2X2 011/11-3/110024/11 1X1X1 101/222/55012/11 0S3S3 000-2/5116 Cj - Zj00-10/11-M-4/550240/11

123 Cj305000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 biθiθi 0S1S1 1210200100 0S2S2 1101140 Cj -Zj3050000 Solución Iteración N° 1 Pivot Semi Pivot mínimo 1/21 0100 C 1 – Z 1 = 30 – 0x1 + 0x1 C 2 – Z 2 = 50 – 0x1 + 0x1

124 Cj305000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 biθiθi 0S1S1 1210200100 0S2S2 1101140 Cj -Zj3050000 Solución Iteración N° 1 Cj305000 CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 biθiθi 50X2X2 1/21 0100200 0S2S2 1/20-1/214080 Cj -Zj50-2505000 Iteración N° 2 Pivot Semi Pivot Pivot Semi Pivot

125 PRÁCTICA DIRIGIDA Max(z) = 3X 1 +5X 2 +4X 3 +S 1 +S 2 -MA 3 Sujeto a: 3X 1 + 7X 2 - 3X 3 + S 1 = 120 4X 1 – 5X 2 + 2X 3 + S 2 = 80 2X 1 + 3X 2 + 5X 3 + A 3 = 20 X 1, X 2, X 3, S 1, S 2, A 3 ≥ 0

126 Cj35400-M CiXBXB X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 A3A3 biθiθi 0S137-3100120- 0S24-520108040 -MA3235001205 Cj - Zj3+2M5+3M4+5M000 Interacción 1 Cj35400-M CiXBXB X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 A3A3 biθiθi 0S121/544/51103/513215 0S216/5-31/5001-2/572- 4X32/53/51001/5420/3 Cj - Zj7/513/5000-4/5-M16 Interacción 2 Cj35400-M CiXBXB X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 A3A3 biθiθi 0S1-5/30-44/310-7/3220/3 0S222/3031/3015/3340/3 5X22/315/3001/320/3 Cj - Zj-1/30-13/300-M-5/3100/3 Interacción 3

127 Solución: Primera Evaluación 1.En el siguiente problema de programación lineal tiene múltiples soluciones óptimas, unos de los puntos son: (X 1 = 56/17, X 2 = 45/17), (X 1 = 0, X 2 = 1) encuentre otros dos puntos óptimos. (5 puntos) Max (Z) = -12X 1 + 24X 2 Sujeto a: 5X 1 + 7X 2  35 - X 1 + 2X 2 < 2 X 1, X 2 > 0 (0,1) (56/17, 45.17)

128 Considere el siguiente modelo: Min (Z) = 20X 1 + 15X 2 Sujeto a: 2X 1 + 1X 2 ≥ 5 -3X 1 + 2X 2  3 1X 1 + 1 X 2 ≥ 3 X 1, X 2 > 0 Use el Método Simplex y diga qué tipo de solución es y las soluciones básicas que presenta. (6 puntos)

129 Cj2015000-M CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 A3A3 biθiθi 0A1A1 21001055/2 0S2S2 -32010003- -MA3A3 11000133 Cj - Zj3+20M15+2M-M0 00 0 Interacción 1 Cj2015000-M CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 A3A3 biθiθi 20X1X1 11/2-1/2001/205/2- 0S2S2 07/2-3/2103/2021/2- -MA3A3 01/2 0-1/211/21 Cj - Zj15+1/2M10+1/2M0-M-10-3/2M050 Interacción 2 Cj2015000-M CiXBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 A1A1 A3A3 biθiθi 20X1X1 1100013 0S2S2 0501-30312 0S1S1 0110-221 Cj - Zj0-50020-M-20-M60 Interacción 3

130 Min (Z) = 20X 1 +10X 2 + 0S 1 + 0S 2 + MA 2 + MA 3 Sujeto a: 1X 1 + 2X 2 + 1S 1 ≤ 40 3X 1 + 1X 2 + 1A 2 = 30 4X 1 + 3X 2 – 1S 2 + 1A 3 ≥ 60 X 1, X 2, S 1, S 2, A 2, A 3 ≥ 60 Cj2010005000000 CiCi XBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 A2A2 A3A3 bibi 0 5000000 S1A2A3S1A2A3 134134 213213 100100 0 010010 001001 40 30 60 Cj - Zj-34999980-199999900500000000 6.Dada la tabla simplex inicial para un problema de programación lineal de minimización que se muestra en la tabla, reconstruya la formulación del problema original de programación lineal. (3 puntos)

131 a) Forma algebraicab) Forma tabular Variable básica Ec. Coeficientes de la función objetivo: Lado derecho 305000 XBXB X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 bi (1) X 1 + 2 X 2 + 1 S 1 + 0 S 2 = 200S1S1 11210200 (2) X 1 + X 2 + 0 S 1 + 1 S 2 = 140S2S2 21101140 Solución C 1 C 2 C 3 C 4 Max (Z) = 30 X 1 + 50 X 2 + 0 S 1 + 0 S 2 Sujeto a: X 1 + 2 X 2 + 1 S 1 + 0 S 2 = 200 X 1 + X 2 + 0 S 1 + 1 S 2 = 140 X 1, X 2, S 1, S 2 ≥ 0