Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas © MACMILLAN Education u n i d a d 3 Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas.

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1 Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas © MACMILLAN Education u n i d a d 3 Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas

2 © MACMILLAN Education Una sucesión es un conjunto ordenado de números u objetos, llamados términos. Cada término de la sucesión se representa con una letra minúscula con subíndice. a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, … Ejemplo ► En la sucesión 2, 7, 12, 17, 22, … a 1 = 2 indica que el primer término de la sucesión es el 2 a 2 = 7 indica que el segundo término de la sucesión es 7 a 3 = 12 indica que el tercer término es el 12 a 4 = 17 es el cuarto término, etc. Una sucesión es finita cuando tiene primer y último término. Una sucesión es infinita si tiene primer término pero no tiene último término. Ejemplo ► La sucesión 5, 10, 15, 20, 25 es finita. Su primer término es a 1 = 5 y el último a 5 = 25. 5n ► La sucesión 2, 7, 12, 17, 22, … es infinita. Su primer término es a 1 = 2 y no tiene último. Sucesiones

3 Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas © MACMILLAN Education u n i d a d3u n i d a d3 Sucesiones Los términos de algunas sucesiones se pueden determinar siguiendo un criterio que denominado regla de formación, que relaciona cada término con el lugar que ocupa. Ejemplo Las dos reglas fundamentales son: ► Sumar una misma cantidad. En la sucesión 2, 7, 12, 17, 22, 27 … cada término es el anterior más 5. ► Multiplicar por una misma cantidad. En la sucesión 3, 9, 27, 81, 243, 729… cada término es el anterior por 3. En una sucesión, el término que ocupa una posición cualquiera, n, se llama término general y se escribe a n. Ejemplo La sucesión 2, 4, 6, 8, 10, … es la formada por los números pares. El término general de esta sucesión es a n = 2 · n. 2n a 1 = 2 · 1 = 2, a 2 = 2 · 2 = 4, a 3 = 2 · 3 = 6, …, a n = 2 · n

4 Ejemplo: Calcula los cuatro primeros términos de las siguientes sucesiones:

5

6 Dadas las siguientes sucesiones, hallar el término general: a) 1, 3, 5, 7, 9, 11,... b) 15, 30, 45, 60, 75,... c) -2, -4, -6, -8, -10,... a)1, 3, 5, 7, 9, 11,... a 1 = 2 · 1 - 1 = 1 a 2 = 2 · 2 - 1 = 3 a 3 = 2 · 3 - 1 = 5 a 4 = 2 · 4 - 1 = b)2n -1 b) 15, 30, 45, 60, 75,... 15 + 15 (n-1) a 1 = 15 a 2 = 15 + 15 · 1= 30 a 3 = 15 + 15 · 2 = 45 a 4 = 15 + 15 · 3 = 60 c) -2, -4, -6, -8, -10,... -2n a 1 = -2 · 1 = -2 a 2 = -2 · 2 = -4 a 3 = -2 · 3 = -6 a 4 = -2 · 4 = -8

7 Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas © MACMILLAN Education u n i d a d3u n i d a d3 Progresiones aritméticas Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término menos el primero se obtiene sumando una cantidad constante al término anterior. Esta cantidad se llama diferencia de la progresión. Ejemplo: Determina si estas sucesiones son progresiones aritméticas: a) 7, 11, 15, 19, 23, 27,... b) 10, 7, 4, 1, -2, -5,... c) 3, 5, 8, 10, 13, 15,... a) b) c)

8 Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas © MACMILLAN Education u n i d a d3u n i d a d3 Progresiones aritméticas El término general de una progresión aritmética es: a n = a 1 + (n – 1) · d donde a 1 es el primer término, y d, la diferencia. En una progresión aritmética se cumple que: a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = a 4 - a 3 =... = d

9 El término general de una progresión aritmética es: a n = a 1 + (n – 1) · d donde a 1 es el primer término, y d, la diferencia.

10 Ejemplos: Determinar si la sucesión 3,8,13,18,23 es una progresión aritmética, si lo es determina el termino n-ésimo 1 paso; identificar la diferencia a n = a 1 + (n – 1) · d 3 paso; sustituir en la formula;

11 1 paso; identificar la diferencia 3 paso; sustituir en la formula;

12 Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas © MACMILLAN Education u n i d a d3u n i d a d3 Progresiones geométricas Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término, salvo el primero, se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la progresión. Ejemplo ► 5, 15, 45, 135, 405, … es una progresión geométrica de razón 3. Cada término se obtiene multiplicando el anterior por 3. a 1 = 5, a 2 = 5 · 3 = 15, a 3 = 15 · 3 = 45, … El término general de una progresión geométrica es: a n = a 1 · r n-1 donde a 1 es el primer término, y r, la razón. Ejemplo ► Si se conoce el primer término a 1 = 5 y la razón es r = 3, entonces podemos conocer el término general de esa sucesión: a n = 5 · 3 n – 1 Y cualquier valor concreto de la sucesión, por ejemplo, el término a 5 es: a 5 = 5 · 3 5 – 1 = 5 · 3 4 = 5 · 81 = 405

13 Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas u n i d a d3u n i d a d3 Progresiones geométricas En una progresión geométrica, la suma de los n primeros términos es: S n = a 1 · a 2 + a 3 + … + a n-1 + a n = ↓ · − ↓1 © MACMILLAN Education / −1 Ejemplo ► En la progresión geométrica 5, 15, 45, 135 la suma de términos es: S 4 = 135·3−5/(3−1) = 405−5/2 =200 En una progresión geométrica, el producto de los n primeros términos es: P n = √( ↓1 · ↓ )↑ Ejemplo ► En la progresión geométrica 5, 15, 45, 135, el producto de sus términos es: P 4 = √(5·135)↑4 = 455 625

14 Ejemplos: a n = a 1 · r n-1 3 paso; sustituir en la formula;

15 Determinar el termino n-ésimo y los primeros cinco termino de la progresión cuyo primer término es el 4 y la razón 1/3 a n = a 1 · r n-1

16 Tema de exposición Primer grupo: Matemática financiera e interés simple, pág. 97-98. Segundo grupo: Interés compuesto. Pág. 99-10. Tercer grupo: Comisión y Descuento. Pág. 102-103