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352 MATEMÁTICAS Cálculo Integral. Integrales. Matemáticas II 353 Índice 1.PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. LA INTEGRAL INDEFINIDA 1.DEFINICIÓN DE PRIMITIVA 2.DEFINICIÓN.

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1 352 MATEMÁTICAS Cálculo Integral

2 Integrales. Matemáticas II 353 Índice 1.PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. LA INTEGRAL INDEFINIDA 1.DEFINICIÓN DE PRIMITIVA 2.DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 3.PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 2.INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES 1.INTEGRAL DE DIFERENCIAL DE x. INTEGRALES INMEDIATAS 2.INTEGRAL DE LA FUNCIÓN CONSTANTE 3.INTEGRAL DE LAS FUNCIONES POTENCIALES 4.INTEGRAL DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES 5.INTEGRAL DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS 6.INTEGRAL DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 3.MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 1.INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE 2.INTEGRACIÓN POR PARTES 3.INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 4.INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 5.OTRAS INTEGRALES 4.INTEGRAL DEFINIDA 1.ÁREA BAJO UNA CURVA 2.LA INTEGRAL DEFINIDA 4.3 TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL 4.FUNCIÓN INTEGRAL O FUNCIÓN ÁREA 5.TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL 6.REGLA DE BARROW 7.APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Área encerrada bajo una curva Área comprendida entre curvas Volumen de un sólido de revolución Resumen A estas alturas de tu vida estudiantil has aprendido muchos símbolos matemáticos. Posiblemente este sea el último que aprenderás en el instituto, el símbolo de integral: Fue introducido por el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1675, basándose en la palabra latina summa, ‘suma’, escrito ſumma, tomando sólo la inicial. Por tanto, este símbolo es una S, y la integral no deja de representar una suma. El término “Cálculo integral”, por su parte, fue introducido por Jakob Bernoulli en 1690.

3 Integrales. Matemáticas II 354 Actividades de introducción f  x   x entre el origen de coordenadas y un Calcula el área de la región limitada por la función punto genérico de abscisa x. Solución: Si representamos la función f  x   x y dibujamos la superficie entre ella y el eje OX, obtenemos el triángulo rectángulo de la figura. Sabemos que el área del triángulo es: Área  base  altura 2 Tanto la base como la altura valen x unidades, por tanto: 2 x 2x 2  x  x Área  Por tanto, el área bajo la curva f x  x 2 2   se calcula como A  x   x. Calcula el área de la región limitada por la función f  x   3  x entre el origen de coordenadas y un punto genérico de abscisa x. Solución: Como antes, representamos la función f  x   3  x y dibujamos la superficie entre ella y el eje OX. Ahora obtenemos el trapecio rectángulo de la figura. Si dividimos la figura en un rectángulo de altura 3 u y un triángulo, el área se calcula como: 2 x 2x 2  3 x  x  x Área  3  x  Por tanto, el área bajo la curva f  x   3  x se calcula como: 2x2x Ax  3 xAx  3 x 2.2. Repite los procedimientos anteriores para calcular el área de la región limitada por las funciones f  x   a, f  x   a  x y f  x   a  x  b (con a y b  R ) entre el origen de coordenadas y un punto genérico de abscisa x. Analiza:  Deriva las expresiones obtenidas en los ejercicios anteriores y razona qué relación hay entre las funciones A  x  y f  x .  Recuerda la interpretación de área como “suma de las unidades cuadradas encerradas por una figura”. Aplícala para determinar el área de la función f  x   16  x 2, representándola en una cuadrícula y contando el número de cuadrados bajo ella para diferentes valores de x.  Razona qué ocurre con el área cuando la función f  x  es negativa en el intervalo analizado.

4 Integrales. Matemáticas II 355 1.PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. LA INTEGRAL INDEFINIDA 1.Definición de primitiva Se llama función primitiva de una función f  x  a otra función F  x  tal que la derivada de F  x  es f  x , es decir, F  x   f  x  Ejemplo: La función F  x   x 3  1 x 2  3x es una primitiva de f  x   3x 2  x  3, ya que F  x   f  x . 2 Teniendo en cuenta las propiedades de la derivada, se verifica que si F  x  es una función primitiva de f  x , cualquier otra función primitiva de f  x  es de la forma F  x   C, con C  R. En efecto; consideramos la función F  x   C, tal que F  x   f  x  y C  R. Si derivamos:  F  x   C   F  x   C  f  x   0  f  x  Por tanto, F  x   C es primitiva de f  x . 1.2. Definición de integral indefinida La integral indefinida de una función f  x  es el conjunto de todas sus primitivas, y se representa como  f  x  dx. Se lee “integral de f  x  diferencial de x ”. Por tanto, si F  x  es una primitiva de f  x  :  f  x  dx  F  x   C A C se la denomina constante de integración, y el dx nos indica que estamos integrando respecto de x. Esto que ahora no parece tener demasiada importancia, sí la tendrá más adelante, ya que está relacionado con la regla de la cadena que vimos en el capítulo anterior y, en el futuro, aprenderás a realizar integrales en varias variables. Por otro lado, si recordamos lo visto en la actividad inicial y lo explicado en el “Resumen” acerca del origen del símbolo de integral, la expresión de la integral indefinida es la estilización de la expresión: Suma de f  x  por  x cuando  x  0, es decir:  f  x  dx  “la suma del área de todos los rectángulos de altura f  x  y base infinitesimal ( dx )” Ejemplos:  4x 3 dx  x 4  C porque  x 4  C   4x 3.  1 dx  ln x  C porque  ln x  C   1x

5 Integrales. Matemáticas II 356 1.3. Propiedades de la integral Las propiedades de las derivadas justifican muchas de las propiedades de las integrales. Suma (y resta) de integrales Sabiendo que si h  x   f  x   g  x   h  x   f  x   g  x  :   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx Producto por un número real Sabiendo que si h  x   k  f  x   h'  x   k  f '  x  :  k  f  x  dx  k   f  x  dx Ejemplos:   5x 4  2x  dx   5x 4 dx   2x dx  x 5  x 2  C porque  x 5  x 2  C   5x 4  2x.  7cos x dx  7  cos x dx  7 sen x  C porque  7 sen x  C   7 cos x Actividades resueltas Determina los valores de a, b y c para los que F  x   a x 3  be x  c x es una primitiva de la función f  x   7x 2  5 e x  3. Como F  x  es una primitiva de f  x  : 3 7 5, c  3 a , b   F  x   f  x   3a x  be  c  7 x  5 e  3   2x2x2x2x Determina a y b para que F  x   a ln x 3  b x sea una primitiva de f  x   ln x 2  5. Como F  x  es una primitiva de f  x  : 2 x3x3 3x 23x 2 F  x   f  x   a  b  ln x  5  Es imposible Si x representa el volumen de producción de una fábrica, el coste marginal de la misma viene dado por la función f  x   3  8x  15x 2. Encuentra la función del coste total, F  x , si se sabe que dicha función viene dada por la primitiva F de f que verifica que F  0   100. Como F es una primitiva de f  x   3  8x  15x 2 : F  x    f  x  dx    3  8x  15x 2  dx  5x 3  4x 2  3x  C Nos dicen que F  0   100 : F  0   100  5  0 3  4  0 2  3  0  C  100  C  100 Entonces: F  x   5x 3  4x 2  3x  100

6 Integrales. Matemáticas II 357 Actividades propuestas 1.Calcula las siguientes primitivas:   4x 3 dx b)  3x 2 dx c)  5x 4 dx d)   5x 4  4x 3  3x 2  dx es una primitiva de la función “parte entera de x ”, E  x , (salvo en los puntos de discontinuidad donde no es derivable): 2.Dada f  x   x 3  3x 2  2x  1, calcula la primitiva F ( x ) de f  x  que verifica F  0   4. 3.Comprueba si F  x   4x 3  2x 2  x  5 es una primitiva de f  x   12x 2  4x  3. En caso negativo, explica por qué. 4.Determina los valores de a, b, c y d para los que F  x   a x 3  b x 2  c x  d es una primitiva de la función f  x   4 x 2  5 x  3. 5.Al resolver una primitiva, Javier y Ricardo han utilizado métodos diferentes y, como era de esperar, han obtenido expresiones distintas. Después de revisarlo muchas veces y no encontrar ningún error en los cálculos, le llevan el problema a la profesora para ver quién tiene bien el ejercicio. Para su sorpresa, la profesora les dice que ambos tienen bien el problema. ¿Cómo es posible? 6.Razona por qué la gráfica siguiente:

7 Integrales. Matemáticas II 358 2.INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES 1.Integral del diferencial de x. Integrales inmediatas El término dx está relacionado, como su propio nombre indica, con el concepto de diferencial visto en el capítulo anterior. Teniendo en cuenta que la derivada y la integral son operaciones inversas una de la otra, es inmediato deducir que:  dx  x  C con C  R. Esta idea nos permite definir las integrales inmediatas: Integrales inmediatas son las que se obtienen directamente por la propia definición de integral. Si recordamos la regla de la cadena para la derivación: F  x   f  u   F  x   f  u   u podemos reescribirla en forma diferencial como: F  x   f  u   dF  f  u   du y, calculando su integral:  f  u   du   dF  F  x   C Ejemplos:   5 x 4  6x   e x 5  3x 2 dx   e x 5  3x 2 d  x 5  3x 2    e u du  e u  C  e x 5  3x 2  C   C  C  3 4 4 / 34 / 3 1 / 31 / 3 3 4 3  x  3  x  3 dx   x  3  d  x  3   C   x  3  dx x  2 2 1  C  ln x  C 4 3  ln x  2 dx  ln x  ln x d ln x  x2  ln x 2.2. Integral de la función constante La integral de una constante es igual a esa constante multiplicada por x.  k dx  k  x  C con C  R. En efecto; consideramos la función F  x   k x  C, con C  R. Si derivamos: F  x    k x  C   k  0  k También podríamos demostrarlo con lo visto en 1.3.2 y en 2.1:  k dx  k   dx  k  x  C Ejemplos:  3 dx  3x  C    8  dx   8x  C  3 dx  3 x  C5  2 3 dx  2 3 x  C

8 Integrales. Matemáticas II 359 2.3. Integrales de funciones potenciales Ya conocemos la derivada de la función potencial: f  x   x n  f  x   n  x n  1 con n  R También conocemos que: x f  x   ln x  f  x   1  x  1 Es fácil razonar el proceso inverso: n x dx   x n  1  n  1 C si n  –1 y con C  R. Ejemplos:  x dx  5  1  C  6  C x51x6x51x6 5 dx  C   C  x  C 4 4343 x 4 / 3x 4 / 3 3 x1 / 31x1 / 31 1 / 31 / 3  3 x dx   x 4 3 33 3 1  1 x 31x 2x 31x 2 33  1 1  x 3 dx   xdx   3  1  C   2  C  2 x 2  C 1 El caso n = –1 corresponde al logaritmo neperiano: x  1 dx   x  1 dx  ln x  C con C  R.  1 1 Donde el valor absoluto se debe a que tenemos que plantear todas las posibles funciones cuya derivada sea la función del integrando, y se cumple que:   1  x x  x  0  x x f  x     x  ln x f  x   ln x  si x  0  f    1 si x  0  ln   x  si x  0  Estas dos fórmulas se pueden generalizar a partir de la regla de la cadena, como vimos antes:   f  x   n  f  x  dx   f  x   n 1n 1 n1n1  C si n  –1 y f xf x f x f x    C   C  dx  ln f x con C  R. 9  4x Ejemplos:   4 dx  ln 9  4x  C CC C C  f  x  dx   126 x  2   2x dx   f  x     x  2   x dx    x 2  2  6  f x6 f x6 1212 5 2 1 5 2 2 1 5 2 sen x  cos x  cos x  sen x dx  ln sen x  cos x  C

9 Integrales. Matemáticas II 360 2.4. Integrales de funciones exponenciales Partiendo de la derivada de las funciones exponenciales: y f  x   e x  f  x   e x f  x   a x  f  x   ln a  a x deducimos:  e x dx  e x  C y x CC  a dx  a x ln a con C  R y a  1. Y su generalización con la regla de la cadena:  e f  x   f  x  dx  e f  x   C y f  x   a f  x  f  x  dx  a  C ln a con C  R y a  1. Ejemplos: x  5 x dx  5  C ln 5  8e 8 x dx  e 8 x  C CC  7 ln 7 74xdx  2 2 x22 x2 2 x2 x  9e x dx  9  e x dx  9e x  C  e dx   5 x5 x5 x5 x5 x5 x dx   e  5dx  e  C5 5 e 5 x  511 Necesitamos la derivada del exponente. Lo solucionamos multiplicando y dividiendo por 5 x  e dx   3 x3x3 3 dx  e  3x dx  e  C 3 x  e  311 3 x2xx2x 2 2x2x x x Necesitamos la derivada del exponente, es decir, 3x 2. Tenemos el x 2, pero nos falta el 3. Para solucionarlo, multiplicamos y dividimos por 3  x   x x  1 dx   3   3  2dx   3  ln 2  C  3 3  2dx   2 32 3 3 2 3    3  3 Necesitamos la derivada del exponente, es decir,  1. 3 Para ello, dividimos y multiplicamos por –3. 2.5. Integrales de funciones trigonométricas  sen x dx   cos x  C  cos x dx  sen x  C  sec 2 x dx  tg x  C y  sen f  x   f  x  dx   cos f  x   C con C  R. y  cos f  x   f  x  dx  sen f  x   C con C  R. y  sec 2 f  x   f  x  dx  tg f  x   C con C  R. Ejemplos:  sen  x  7  dx   cos  x  7   C  4x  sen  2x 2  dx   cos  2x 2   C  cos  ln 2x  dx   cos  ln 2x   1 dx  sen  ln 2x   C xx

10 Integrales. Matemáticas II 361 2.6. Integrales cuyo resultado son funciones trigonométricas inversas     arc cos x + C dx  arc sen x  C 1  x 2 yy   1  f  x  dx  arc sen f  x   C con C  R.  dx   arc tg x  C 1  x 2   arc cotg x  C y  f  x  dx  arc tg f  x   C 1  f 2  x  1 1  f 2  x  con C  R.     arc cosec x  C dx   arc sec x  C x x 2  1 y f ( x)f ( x)  arc sec  f  x   + C f 2  x   1 f  x  dx  con C  R. 2 Ejemplos:   4 dx    1  4dx  arc sen  4x   C 1   4x  2   3 dx    3 dx  3   2 dx  3   1  2dx  3 arc sen  2x   C 1   2x  2 2 1   2x  2 1   2x  2 1  4x 21  4x 2   2x2x x  1  x  11  ln  1  dx  3 6x6x 1  ln  x  1  x  1 1 dx  3  arc tg  ln  x 2  1    C 222222222 Actividades resueltas Calcula las siguientes primitivas: o  x 2x 2  5 dx. Observamos que la derivada del radicando es 4x, así que multiplicamos y dividimos entre 4:  2x 2  5  4x dx 4 x 2x 2  5 dx  1 4x  2x 2  5 dx  1 CC C C  Entonces, esta primitiva es equivalente a  2 u32 u3 3 23 2 3 u 2u 2 3 u du   u 2 du  1 : C  CC  C 436436 1  2x 2  5  3 2  2x 2  5  3  x 2x 2  5 dx  o    1  e2 x  e x1  e2 x  e x 1 dx. La función más importante es la exponencial, y vemos que la expresión más compleja se encuentra en un denominador en una forma similar al arco tangente. La reescribimos como:  e  x dx  x 21  e x 21  e 1  1 dx  e  x dx  1  e2 xex1  e2 x1  e2 xex1  e2 x 1 Y se confirma la hipótesis. Multiplicando y dividiendo entre (–1), para completar la derivada de e  x : dx      e  x  dx   du   arc tg  e  x   C 11 1  u 21  u 2  x 21  e x 21  e  1  e2 x ex 1  e2 x ex

11 Integrales. Matemáticas II 362 3.MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 1.Integración por cambio de variable La integración por cambio de variable busca transformar la primitiva dada en una más sencilla, y puede hacerse de dos formas diferentes: Caso 1. Identificar una parte del integrando con una nueva variable t. Ejemplo:   3x  2  4 dx. No es necesario un cambio de variable, pero vamos a mostrar el mecanismo: Hacemos el binomio igual a t y diferenciamos ambos términos: dt 3    3x  2  4 dx   t 4  dt  1  t 4 dt 3dx  dt  dx  3 3x  2  t Resolvemos la primitiva en la forma habitual: 15 3 53 5 3  t dt  C  C t 5t 5 11 t 511 t 5 4 Finalmente, deshacemos el cambio: CC 15   3x  2 dx  3x  253x  25 44 El caso más frecuente es aquél en el que observamos una función complicada y su derivada:  f  g  x   g  x  dx Una vez identificada, el cambio de variable consiste en llamar a dicha función t y diferenciar: g  x   t g  x  dx  dt  f  g  x   g  x  dx  La integral se transforma en otra que integraremos:  f  t  dt  F  t   C Para, finalmente, deshacer el cambio:  f  g  x   g  x  dt  F  g  x    C Ejemplo:  dx  3 tg 2 x  2 tg x  1  cos 2 xcos 2 x 1. La derivada de la tangente es  tg x   sec 2 x , y así: Hacemos la tangente igual a t, diferenciamos ambos términos e integramos: dx  dt    3t 2  2 t  1  dt  t 3  t 2  t  C cos 2 x   3 tg 2 x  2 tg x  1  cos 2 x tg x  t dx Deshacemos el cambio y obtenemos: dx   tg 3 x  tg 2 x  tg x  C cos 2 x  3 tg 2 x  2 tg x  1  Muchas veces se convertirá en una integral inmediata y, como en los ejemplos, no habría sido necesario dicho cambio.

12 Integrales. Matemáticas II 363 Caso 2. El cambio será de la forma x  g  t , donde g  t  se elegirá de forma adecuada para simplificar el integrando. Se diferencia la igualdad: dx  g  t  dt x  g  t   f  x  dx  Sustituimos en la integral, integramos y deshacemos el cambio hallando la función inversa de g :   f  x  dx  F  g  1  x    C  t  g  1  x  f  g(t)  g (t) dt  F  t   C  x  g  t  Ejemplo:  3 2  1  x  dx. La expresión del radical es similar a la relación que existe entre las funciones trigonométricas, así que intentamos el cambio:   3232 33 2 3 2 cos tcos t cos t dt  dt cos2 t cos2 t  cos t dt  1   sen t   dxcos t dt  1  x  dx  cos t dt x  sen t Esta primitiva es inmediata: dt  tg t  C  cos 2 t Finalmente, deshacemos el cambio:   dx   tg  arc sen x   C x  sen t t  arc sen x 1  x 2 31  x 2 3 En este caso, la expresión final es bastante fea, pero podemos mejorarla. Si en lugar de deshacer el cambio directamente buscamos la relación entre el seno y la tangente: sen t cos t 1  sen 2 t tg t  sen t  xdx dt CC  C C   232 Obtenemos:  2 1  x1  x  1  x 2  1  sen t sen t  tg t  C  cos t Hay muchos cambios ya estudiados, de uso frecuente para casos concretos. Será el método que explicaremos en los apartados 3.3 y siguientes. Actividades resueltas  5x  3 dx. Como antes, es una integral inmediata, pero vamos a repetir el procedimiento: Hacemos el binomio igual a t y diferenciamos:  5 5  5x  3dx  t  1 dt  1 t  dt 5x  3  t 5dx  dt  dx  1 dt Resolvemos la primitiva: t  dt  1  t 1 2 dt  1  2  t 3 2  C  2 t 3  C 55 315 1 1  Y deshacemos el cambio: 55 15 5x  3 dx  2  5x  3  3  C

13 Integrales. Matemáticas II 364   6x6x 1  ln  x  1  x  1 1 22 dx. La derivada del logaritmo es: x 2  1x 2  1 2x2x  ln  x 2  1    que se encuentra en la fracción que precede al diferencial de x. Hacemos el cambio: 1   2  1    C 2x dx  dt   1  t 2  3dt  3  arc tg t  C  3  arc tg ln x ln  x 2  1   t x 2  1 Resuelve  x 2  x  1  dx haciendo el cambio de variable x  1  t 2 Hacemos el cambio que nos indican:       t  1t2t dt dx  2t dt 2 2  2 2  x 1  t 2  x  t 2 1 x 1  t 2  x  t 2 1 x 2  x  1  dx Desarrollamos el cuadrado, simplificamos e integramos: t   C t t   3 1313 5 25 25 7 1 42742764242 t  2t  t  dt  2   t    t  2t dt  2  t  2t  1  t 2  1  2  t 2  2t dt   Y, finalmente, deshacemos el cambio:  2  x  1  7  4  x  1  5  2  x  1  3  C 753 x  1  t 2t x  1x  1  t 2t x  1  x 2  x  1  dx  Actividades propuestas 7. Calcula las siguientes primitivas utilizando el cambio indicado: a)  4 x4 x x  3 x 1212 dx haciendo x = t. b)b)  e x  e  x dx haciendo e x = t. c)  dx 1  2 x1  2 x 5x 45x 4 haciendo 1  2 x  t 2 x x 2  1x x 2  1 d)   dx haciendo x  x 2  1  t e)   2 sen 3 x  3 sen 2 x  sen x  3  cos x dx haciendo sen x  t f)  1  x 2 dx haciendo x  sen t 8. Elige el cambio de variable que simplifica las siguientes integrales: a)   3 dx 4  x  2x 2x 3  1 e arctg x b)  1  x 2 dx c)  x  ln x dx ln  ln x  d)  2x 3 x 4  49  dx e)   x  1 dx 3 x  1  2 f)  dx x 1  4x 21  4x 2

14 Integrales. Matemáticas II 365 3.2. Integración por partes La integración por partes es un método que nos permite calcular la integral del producto de dos funciones de naturaleza diferente, una fácilmente derivable y otra fácilmente integrable. Los casos más frecuentes son arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales y trigonométricas (senos y cosenos), que nos permiten crear la regla mnemotécnica A–L–P–E–S. Con el método de integración por partes transformaremos integrales de la forma  u  x   v  x  dx donde v  x  es la función fácil de integrar, en otra expresión más sencilla en la que aparece una nueva integral más fácil de calcular que la de partida. Se utiliza la siguiente fórmula:  u  x   v  x  dx  u  x   v  x    v  x   u  x  dx que se suele escribir de forma abreviada como:  u  dv  u  v   v  du Existen muchas reglas mnemotécnicas para recordar esta fórmula, recogemos tres de ellas: Ujo es un hermoso pueblo asturiano - Salieron Unidos De Viaje Y Un Viajero Menos Se Vino De Ujo. - Susanita Un Día Vio Un Valiente Soldado Vestido De Uniforme. - Sergio Un Día Vio Una Vaca Sorda Vestida De Uniforme. Demostración: Consideramos el producto de funciones u  x   v  x  y calculamos su derivada:  u  x   v  x    u  x   v  x   u  x   v  x  Integramos ambos miembros de la igualdad:   u  x   v  x   dx    u  x   v  x   u  x   v  x   dx    u  x   v  x   dx   u  x   v  x  dx   u  x   v  x  dx De donde: u  x   v  x    u  x   v  x  dx   u  x   v  x  dx Despejando, resulta:  u  x   v  x  dx  u  x   v  x    v  x   u  x  dx También puede obtenerse a partir de la diferencial del producto: d  u  v   du  v  u  dv  u  dv  d  u  v   v  du Integramos ambos miembros de la igualdad:  d  u  v     du  v  u  dv    v  du   u  dv Y obtenemos:  u  dv  u  v   v  du

15 Integrales. Matemáticas II 366 Observaciones: 1. Como norma general, se elige como “ u ” a la primera función de la palabra ALPES y como dv al resto del integrando, pudiendo darse el caso de tener que plantear dv = dx. Ejemplo: dv  dx  v   dx  x dx 2 dx  1  x1  x 1  arc tg x  x   x  1  x 21  x 2 1 u  arc tg x  du   arc tg x dx  x 22 dx  x  arc tg x  1  ln 1  x 2  C 2 2x2x 2 1  x dx  x  arc tg x  1 1  x 21  x 2  x  arc tg x  2. Sabremos que estamos aplicando correctamente el método si obtenemos una integral más simple que la inicial. Ejemplo: dv  sen x dx  v   sen x dx   cos x u  x  du  dx  x  sen x  dx  x    cos x      cos x   dx    x  cos x   cos x dx   x  cos x  sen x  C 3. El proceso de integración por partes puede aplicarse varias veces. En ese caso se debe mantener la elección inicial de u y v. Si se invierte, volveremos a la integral de partida. dv  e dx  v   e dx  e xx  x 2  e x   e x  2x dx  x 2  e x  2  x  e x dx  u  x 2  du  2x dx Ejemplo:  x 2  e x dx   u  x  du  dx  xx dv  e x dx  v   e x dx  e x 2x  e  2 e dx  2xx2xx  x 2  e x  2   x  e x  e dx   x  e   x 2  e x  2x  e x  2  e x  C   x 2  2x  2   e x  C 4. Si la integral inicial es el producto de una exponencial por una trigonométrica, se obtiene lo que se denominan integrales cíclicas. Al aplicar por segunda vez el método de integración por partes, se obtiene la integral de partida, y se debe resolver como una ecuación:   dv  cos 3x dx  v  cos 3x dx  sen 3x 3 1 u  e 2 x  du  2e 2 x dx Ejemplo:  e 2 x  cos 3x  dx   333  333  3  e 2 x  1 sen 3x  1 sen 3x  2e 2 x dx  1  e 2 x sen 3x  2  e 2 x sen 3x  dx  Repetimos:   3 dv  sen 3x dx  v  sen 3x dx   1  cos 3x u  e 2 x  du  2e 2 x dx   dx   2 x2 x 3 1 3 1 2 x2 x 33 1 21 2 2 x2 x2 x2 x  cos 3x   2ee    cos 3x    e  cos 3x  dx  e sen 3x   

16 Integrales. Matemáticas II 367  399399 e 2 x  cos 3x  dx  1  e 2 x sen 3x  2  e 2 x cos 3x  4 e 2 x cos 3x  dx Observamos que obtenemos la integral de partida. Si denotamos I   e 2 x  cos 3x  dx : 93999339993 I  1  e 2 x sen 3x  2  e 2 x cos 3x  4 I  I  4 I  1  e 2 x sen 3x  2  e 2 x cos 3x 2 2 x2 x2 x2 x 9 1 9 1 2 2 x2 x2 x2 x 9391339 131    e sen 3x  ecos 3x  I  e sen 3x  ecos 3x  I  e    3  sen 3x  2  cos 3x   C 13 ecos 3x  dx Entonces, sustituyendo I por su expresión y desarrollando las fracciones: 2 x 2 x  5. El método de integración por partes no es excluyente. Podemos utilizarlo después de vernos obligados a realizar un cambio de variable, o tener que realizar un cambio de variable después de haber aplicado la integración por partes. Ejemplo:  dx  dt dx  dx  arcsen x  t  x  sen t 1  x 21  x 2   x  e arc sen x   sen t  e t dt 1  x 21  x 2 1  x 21  x 2 x  e arc sen x Que se resuelve como en el ejemplo anterior, y proporciona: t  sen t  e dt  e   sen t  cos t   C 2 1 Antes de deshacer el cambio, expresamos el coseno como: tt  2 12 12 e   1  sen t   C sen t  sen t  e dt  Entonces:  dxe x  ex  e  arc sen x 2  1 1  x  1  x 2   C 1  x 21  x 2 6. Existen otras integrales que se resuelven por partes y que no están recogidas en “la regla de los ALPES”. La estrategia general es buscar una función “fácilmente integrable” y otra “fácilmente derivable” para simplificar la primitiva inicial. Ejemplo:        2 22 22 11 2   1  x   x  dx  1  x 2  x 2 dx 2  1  x 2 2  1  x 2   dv  v  x dx  1  x 2  2 u  x  du  dx  1  x 2  x 2 dx Y la segunda integral es inmediata:  1 arc tg x  C 2 22  dx  1dx 2   1  x 2  2 1  x Por tanto:  2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP arc tg x  C 2  x 1 x 1 2  1  x 2 2  1  x 2   1  x 2 2 1  x 2 2 x 2 dx

17 Integrales. Matemáticas II 368 Actividad resuelta  x 3 x 3 x 2  1 dx. Esta primitiva puede resolverse de varias formas diferentes: 1. Por partes: La dificultad es encontrar la función fácilmente integrable. En este caso, la elección es:    dx  2 2 3 / 2 3 x3x3 3 / 23 / 2 3 1 2 x x 2  1x x 2  1x 2  1 dx  1 x 2 x 2  1 u  x 2  du  2x dx x  1 dv  x x  1 dx  v    3 / 2 La segunda primitiva es más simple que la primera, así que estamos en el buen camino:  5 / 25 / 2 2 3 53 5 2 1 2 1 3 / 23 / 2 2 3 1 3 / 23 / 2 2 2 3 / 23 / 2 2 1331333 2 x3x3 x 1x 1 x  x  1     C x 1x 1 x  x  1   x  dx  x  1 dx   15 2 3 2 1313 2 x3x3 x  x  1    x 2  1  5  C x  1 dx  Es decir: 2. Por cambio de variable: El cambio de variable que buscamos es el que permite eliminar la raíz del integrando:  42 42  2 2 2  2 32 32  t  1t  tdt x1 xdx    t  tdt     xx1 dx   x x 2  1  t 2  x 2  t 2  1 2x dx  2t dt  x dx  t dt Resolvemos la primitiva:   5 2 1 5353 53535353 1 4242 t  t  dt  t  t  C   x  1    x 2  1  3  C Las dos expresiones son diferentes, pero es sencillo manipularlas para hacerlas iguales. Actividades propuestas 9. Determina si las siguientes integrales son inmediatas o no:   a)   x  dx x 2x 2 3  1 1 4x  3x  x b)  ln x dx c)  sen x cos x dx d)  edx arc sen x  e)  dx 2 1  x arc tg x f)f) x  ln  x  1  dx g)g)  tg x cos x dx h)  1  x 21  x 2 1  x 2  x 2  1  dx i)  e x 2 dx j)  x 2  e x 2 dx k)  dx x 1x 1 2 x 4  2x 2  1x 4  2x 2  1 10.Resuelve las siguientes integrales:    e 3 x  e 2 x  e x  e x dx x b)   ln x  2  dx c)  ln  cos x  tg x dx d)d) 1  x 41  x 4 x dx i)  e x dx 2 x2 x 1  e1  e j)  2 x  cos e x  e x dx 11. Resuelve las siguientes integrales: a)   x 2  x  1  e x dx b)  ln x dx d)  arc sen x dx e)  sen ax  e bx dx c)  x cos xdx con a, b  R. Para ello, multiplica y divide el integrando por x :  2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP x u  x  du   x  x dx  dv  cos  ln x  dx  v   f) Curiosidad – idea feliz: Resuelve la primitiva  cos  ln x  dx. cos  ln x 

18 Integrales. Matemáticas II 369 3.3. Integración de funciones racionales Abordamos ahora las integrales de la forma  dx QxQx Px Px donde P ( x ) y Q ( x ) son polinomios, con Q  x  un polinomio mónico o normalizado (el coeficiente principal vale uno: Q  x   x n  b x n  1  c x n  2   ). El primer paso es descartar que sea inmediata. Una vez descartado que es inmediata, el procedimiento para integrarlas se basa en determinar las raíces del denominador y descomponerla como suma de fracciones algebraicas cuyas integrales resulten más sencillas de calcular. Se nos pueden plantear las siguientes situaciones:  xxxx Q  x  sólo tiene raíces reales simples Grado P  x  < Grado Q Q  x  tiene una raíz real múltiple Q  x  tiene raíces reales simples y múltiples Q  x  tiene raíces complejas Grado P  x   Grado Q Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador Sea  dx QxQx Px Px con grado P  x   grado Q  x . x  n Q  x  x  ax  b 3.3.1. El denominador solo tiene raíces reales simples Sean a, b,… n las raíces de Q  x , polinomio mónico como ya se dijo. Entonces, podemos factorizarlo en la forma Q  x    x  a    x  b      x  n . El procedimiento consiste en descomponer el cociente como: P  x   A  B    N con A, B, , N  R. Así, expresamos la integral de partida como suma de integrales inmediatas: PxQx PxQx N x  n B x  b dx  A x  a dx   dx  A  ln x  a  B  ln x  b    N  ln x  n  Cdx    Ejemplo: dx  5  x 2  3x  4 x 2  3x  4 Calculamos las raíces del denominador y factorizamos el denominador:  4 4 x 2  3x  4  0  x     1  x 2  3x  4  x  4 x  1x 2  3x  4  0  x     1  x 2  3x  4  x  4 x  1  Por tanto, expresamos la fracción como suma de fracciones simples: 5 2     A  B A  B x  1    x  4  x  1x  4 x  3x  4 Calculamos los coeficientes: 5 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP  A  B  5  A   x  4   B   x  1   x  1    x  4  x  1x  4

19 Integrales. Matemáticas II 370 Y calculamos A y B dando a x los valores de las raíces encontradas: - Si x   4  5  0  A  5  B  B   1 - Si x  1  5  5  A  0  B  A  1 De aquí ya obtenemos las dos integrales logarítmicas: ABAB dx  dx  dx  dx  dx   1 dx  15  x 2  3x  4   x  1    x  4   x  1  x  4  x  1  x  4  C   1 dx   1 dx  ln x  1  ln x  4  C  ln x  1 x  1x  4x  4 3.3.2. El denominador tiene una única raíz real múltiple Si a es la raíz múltiple de Q  x , se puede escribir Q  x    x  a  n. En este caso, la descomposición es: Q  x  x  a x  a2x  anx  a2x  an P  x   A   B     N con A, B, , N  R. Así, expresamos la integral de partida como suma de integrales inmediatas de la forma:   x  a  N dx  x  a   Q  x   x  a P  x  dx  n A dx   B dx    2 Que son potencias de exponente negativo, es decir: n x  a  x  a  P  x  dx    x  a  Qx Qx 2 n 1 x  an1n 1 x  an1  B    1   N  C A dx   B dx     N dx  A  ln x  a Ejemplo: dx  x  2  x 3  6x 2  12x  8 Factorizamos el denominador usando el método de Ruffini o el teorema del resto: x 3  6x 2  12x  8   x  2  3 Por tanto, expresamos:  x  2 x  2x  2ABCx  2x  2ABC  x  2  A  x  22  B  x  2 C x  2  A  x  22  B  x  2 C x  23x  22x  23x  23x  22x  23 x 3  6x 2  12x  8 Ahora calculamos A, B y C dando valores a x : - Si x  2  4  0  A  0  B  C  C  4 Para hallar A y B podemos dar cualesquiera otros dos valores: - Si x  3  5  A  B  C  5  A  B  4  A  B   1 - Si x  1  3  A  B  C  3  A  B  4  A  B   1 Resolvemos el sistema: AAAA  BBBB   1  A  B   1  A  0    Sumando  1  2 A  0  B  1  Entonces, tenemos: x  2   1 dx    dx 4   dx   x  2   2 dx  4  x  2323 dx   x  21 1x  21 1  4  4  x  22 2x  22 2  C  12 Cx  2x  22 C  12 Cx  2x  22 ¡Ojo! No confundir la C del sistema con la constante de integración. 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

20 Integrales. Matemáticas II 371 3.3.3. El denominador tiene raíces reales simples y múltiples Este caso es una combinación de los dos anteriores. La fracción se descompone en sumandos cuyo x  cx  d Q  x  x  ax  b numerador es una constante, y los denominadores son los factores de Q  x  en el caso de las raíces simples y las potencias sucesivas de la factorización en el caso de las raíces múltiples. Es decir, si Q  x    x  a    x  b      x  c  n   x  d  m La descomposición es: P  x   A  B     C   D    E   F   G    H x  cnx  cn1x  d mx  d m1x  cnx  cn1x  d mx  d m1 con A, B, , H  R los parámetros a obtener. La integral quedará descompuesta en una suma de logaritmos y fracciones algebraicas simples:      x  d EFGH x  c ABx  ax  bABx  ax  b dx  QxQx Px Px         x  d mx  d m1x  d mx  d m1 CD  x  c  n   x  c  n  1 FC11 n  1  x  c  n  1 m  1  x  d  m  1    E  ln x  c    H  ln x  d  K  dx   A  ln x  a  B  ln x  b    Donde K representa la constante de integración, para no confundirla con la C de la factorización. Ejemplo:  x 3  3x  2 dx  x 2  3 Calculamos las raíces del denominador usando el método de Ruffini o el teorema del resto y factorizamos el denominador: x 3  3x  2   x  1  2   x  2  Por tanto, expresamos:   x  2 C Bx  12Bx  12 x  1x  1 x 2  3A  x  1  2   x  2  x 3  3x  2 x 2  3x 2  3  x 2  3  A  x  1  x  2   B  x  2   C  x  1  2 Ahora calculamos A, B y C dando valores a x : 3 - Si x  1  4  0  A  3  B  0  C  B  4 9 - Si x   2  7  0  A  0  B  9  C  C  7 Para hallar A damos un valor cualquiera: 29 29 3939 4 7 4 7 2  A  2   A  - Si x  0  3    2   A  2  B  C  3   Por tanto, tenemos:  1313 22    9x  2  x  1  dx7dx C2dx4 2 dx   x  2 dx  9  x   B  x  1  A dx   x  1 dx    x  1    x  2  x 2  3x 2  3  dx    ln x  2  C 7 3x 193x 19 4 dx  ln x  1  9 9x  2 7 1 2 dx   x  1 9x 139x 13 2 1 4 22 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

21 Integrales. Matemáticas II 372 3.3.4. El denominador tiene alguna raíz compleja simple Si el denominador Q  x  contiene algún factor irreducible de la forma a x 2  b x  c, al descomponer la fracción en suma de fracciones algebraicas, a dichos factores les corresponderán sumandos de la forma: Mx  N ax 2  bx  c Antes de analizar la descomposición completa, vamos a resolver este tipo de primitivas: Mx  N Las integrales de la forma  ax 2  bx  c dx, cuando el denominador no tiene raíces reales, se transformarán en una integral logarítmica y otra de arco tangente. Para ello, se puede proceder de dos formas distintas: Forma 1. Manipulación algebraica de la fracción. El mecanismo consta de dos pasos: primero se transforma el numerador en la derivada del denominador y, a continuación, se convierte la expresión de segundo grado para llegar al arco tangente. Ejemplo: x  1x  1  x 2  4x  13 dx. Es automático comprobar que el denominador no tiene raíces reales. En primer lugar, intentamos que el numerador sea la derivada del denominador.  x 2  4x  13   2x  4 Multiplicamos la x del numerador por el factor necesario, en este caso por 2: 12 x  2 2 x  12 x  1 x  11x  11  x 2  4x  13 dx  2  x 2  4x  13 dx  2  x 2  4x  13 dx  A continuación, sumamos y restamos para obtener el 4: 2x  4x  13 dx  1 12 x  22 x  2  2  2 dx  12 x  4  2 dx  22 2  x 2  4x  132  x 2  4x  13 Y separamos la integral como suma de dos, una con el término buscado y “el resto”:   2 2  2 2  x 2  4x  13 dx dx  2x  4x  13 dx   1  x 2  4x  13 dx  2x  4x  13 dx  1   x 2  4x  13 x  12 x  422 x  4 En segundo lugar, trabajamos con la segunda integral:  x 2  4x  13 dx Se trata de identificar un cuadrado perfecto en el denominador. Vemos los términos x 2  4x, que nos recuerda al cuadrado perfecto:  x  2  2  x 2  4x  4, por tanto:  dx  x 2  4x  13  x 2  4x  4  9   x  2  2  9 dx Ya que buscamos una integral de la forma u  u 2  1 u 2  1 du, extraemos factor común al 9:  2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP         1 1 3  1 1 9 99 2  x  2  x  2   1dx 9 x  22x  22 dx  x  22  9 x  22  9

22 Integrales. Matemáticas II 373 Ya casi hemos terminado, hemos conseguido la forma de la derivada del arco tangente. Solo nos queda conseguir la derivada de la fracción obtenida:              1 1 3  1 1 3  3 3 9   1  1 3 2 3 2 3 2  x  2  x  2  1 1 dx 3  x  2  x  2   x  2  x  2  1dx1 1 dx 9 Entonces:      1 1 3 1313 2 3  2 2 2  x  2  x  2  1 dx dx  2x  4x  13 12 x  412 x  4 dx  x  4x  13 x  1x  1 Que son dos integrales inmediatas: CC    3  x  2    arc tg 1 x  4x  13 dx  ln  1 x  1 x  1 2 x 2  4x  1323 Forma 2. Cambio de variable. Ahora nos basta con hacer un cambio de variable basado en la solución compleja que se obtiene al intentar resolver la ecuación de segundo grado del denominador. a x 2  b x  c  0  x     i  x      t  dx    dt Ejemplo: x  1x  1  x 2  4x  13 dx. Anulamos el denominador: 2  x   2  3i 2 1222 122  4  4 2  4  1  13  4  36  4  6i x  4x  13  0  x  El cambio de variable es, por tanto: x   2  3t  dx  3 dt Entonces:  2  3t   1 2  3t   1 x  1x  1  x 2  4x  13 dx     2  3t  2  4    2  3t   13  3dt Desarrollamos las expresiones y obtenemos:      22 dt  9 t 2  99  t 2  13    t 2  1t  1 dx  3   x 2  4x  13 x  13t  1 dt  3 3t  1 dt  1   3t dt Que son, directamente, las integrales de un logaritmo y un arco tangente:    2 3t  1t  13   2 1   3t dtdt    1   3 ln  t 2  1   arc tg t   C  1 ln  t 2  1   1 arc tg t  C  2 2 2 2 Deshacemos el cambio:     1x  2  1   arc tg  C 23 x  11 x  2 2x  11 x  2 2  x 2  4x  13 dx  2 ln   3 Desarrollando el argumento del logaritmo obtenemos la integral del mecanismo anterior:  x  1 dx  1 ln  x 2  4x  13   1 ln 9  1 arc tg x  2  C 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP x 2  4x  13 2223

23 Integrales. Matemáticas II 374 Una vez que sabemos cómo resolver esta primitiva, abordamos el caso general. Si el denominador Q  x  contiene algún factor irreducible de la forma a x 2  b x  c, al descomponer la fracción en suma de fracciones algebraicas, a dichos factores les corresponderán sumandos de la forma: Mx  N ax 2  bx  c y los factores correspondientes a las raíces reales se descompondrán como en los apartados anteriores: Si Q  x    ax 2  bx  c    x  d      x  e  n   La descomposición es: x  e Q  x  ax 2  bx  cx  d  x  e  n  x  e  n  1 P  x   Mx  N  A     B   C    D con A, B, , M, N  R. Ejemplo: dx  x  5  x3  3x 2  x  3 x3  3x 2  x  3 Calculamos las raíces del denominador usando el método de Ruffini o el teorema del resto y factorizamos el denominador: x 3  3x 2  x  3  0  Tenemos: x 3  3x 2  x  3   x  3    x 2  1  Por tanto, expresamos:  M x  N  x  5  A  x 2  1    M x  N    x  3  A x 3  3x 2  x  3  x  3    x 2  1  x  3x 2  1 x  5x  5 Ahora calculamos A, M y N dando valores a x ; tenemos: 105 2 1 2 1 - Si x  3  3  5  10  A  0   B   C  A    5 - Si x  0  0  5  1  A   0  M  N     3    5  A  3N  N  8 1515 - Si x  2  2  5  5  A   2  M  N     1    3  5A  2M  N  M  Tenemos, por tanto:  M x  N dx   A x  3 x  1 x  1 x  3  x  3    x  1  x  5 1 x  8 dx   5   55 dx  2  1 dx 22  x 1 dx   dx  8 x  15x  1 1 1 5  x  3 dx  5   1  1  2 2 2 dx  1 dx  8 5x  1 2x2x dx  1 1 5  x  310x  1 dx   1  2 2  2 2 5105   1 ln x  3  1 ln x 2  1  8 arc tg x  C Si hubiera más de un polinomio de grado dos con raíces complejas, la descomposición implica una fracción para cada término: P  x   Hx  K   Mx  N   con H, K, M, N,   R. Q  x  ax 2  bx  cax 2  bx  c 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

24 Integrales. Matemáticas II 375 3.3.5.Elgradodelnumeradoresmayoroigualqueelgradodel denominador Sea  dx QxQx Px Px con grado P  x   grado Q  x . En este caso, en primer lugar dividiremos el numerador entre el denominador. De esta forma, la fracción se descompone en la suma de un polinomio y una fracción algebraica con el grado del numerador menor que el grado del denominador:  dx RxQx RxQx dx  C  x  dx  QxQx Px Px Ejemplo:  dx  x  3 x 2  x  5 Dividiendo el numerador entre el denominador, tenemos: x  4  x  3x  3 x 2  x  5  17 Así: x  3x  3x  32x  3x  3x  32  x  x  5  17  1x2 dx   x  4  dx  dx   x  4  dx  17dx  4x  17 ln x  3  C El denominador Q ( x ) no es un polinomio mónico Si en la integral racional  dx PxQx PxQx el polinomio del denominador no es mónico (su coeficiente principal no es 1), la factorización se realiza del modo habitual en el que se factorizan los polinomios. Ejemplo: 2 3 2 2  2x  32x  3  x 1 x 1    x    2  Qx  x 1 Qx  x 1  x   3  x  1 Qx  2x  x  3  Qx  0 Qx  2x  x  3  Qx  0  Para el cálculo de integrales se utiliza la factorización obtenida y se procede de la forma ya explicada: Ejemplo:  dx. 2 x 2  x  3 La descomposición resulta ser: 1   1  A  x 1 B  2x  3 1  A  x 1 B  2x  3 ABAB 2x 2  x  3 x  12x  3 Resolvemos la ecuación como hicimos varias veces antes, y obtenemos:   B B     ln 2x  3  C 5  ln x  1 1dx2dx11 2x  x  3 5x  152x  35 2 5 5  22 5 A  1 dx 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

25 Integrales. Matemáticas II 376 Actividades propuestas 12. Halla las siguientes primitivas: a) dx 2 x  4  dxx dx b)   x  1  2 c)   x  1  2 d)   x  1  2 x 3 dx e)  x 3  4x 2  4x dx x 2  x  1x 2  x  1 f)   2x  1    3x 2  2  dx 3x 2  13x 2  1 g)  x 3  x 2  1  dx x 2  2 h)  dx x 2 +1 x 3  2x 2  5x  3 i)   x  1  x  1  2  x 2  1   x  1   dx j)  x 4  1 dx 4.Integración de funciones trigonométricas. Para integrar una función trigonométrica no inmediata, tenemos que clasificarla en una de las cate- gorías que veremos a continuación. Es importante seguir el orden planteado; si no lo hacemos, obtendremos integrales mucho más complicadas de lo necesario. Cuadrados de funciones trigonométricas Si la función es el cuadrado de una función trigonométrica, podemos ahorrar mucho trabajo si las estudiamos antes que las demás: 1.Cuadrados de seno y coseno: Para resolver estas primitivas nos basamos en las expresiones: cos 2x  cos 2 x  sen 2 x sen 2 x  cos 2 x  1 y Sumando y restando miembro a miembro: 1  cos 2x  2 cos 2 x y 1  cos 2x  2sen 2 x Obtenemos las siguientes simplificaciones: 2 1 2 2  cos 2 x dx  1  1  cos 2x  dx   x  sen 2x   C y 1  cos 2x  dx   x  sen 2x   C 1 2 222 22 sen 2 x dx  1  2. Cuadrados de secante y cosecante: Ya sabemos que son integrales inmediatas: y  sec 2 x dx  tg x  C  cosec 2 x dx   cotg x  C 3. Cuadrados de tangente y cotangente: Se convierten en integrales inmediatas fácilmente: y  tg 2 x dx    sec 2 x  1  dx  tg x  x  C  cotg 2 x dx    cosec 2 x  1  dx   cotg x  x  C Actividad resuelta   dx sen 2 x  cos 2 x Esta primitiva puede resolverse de varias formas diferentes. En este apartado usaremos las transformaciones recién aprendidas:  2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP   dx    2 cotg 2x  C 4 dx4 dx4 dx  sen 2 2x   2 sen x  cos x  2 sen 2 x  cos 2 x  4 sen 2 x  cos 2 x

26 Integrales. Matemáticas II 377 3.4.1. Funciones impares en seno de x Si la integral es de la forma  R  sen x, cos x , (es decir, una función racional en senx y cosx ) y verifica que R   sen x, cos x    R  sen x, cos x  debemos aplicar el cambio cos x  t. Tras transformar las funciones trigonométricas con el cambio, obtendremos una función racional que resolveremos con los métodos anteriores. Ejemplo:  sen 3 x 1  cos 2 x dx  El exponente del seno es impar, por tanto es impar en seno: sen 3 x 1  cos 2 x R  sen x, cos x   Por tanto: sen 3 x    R  sen x, cos x  1  cos 2 x1  cos 2 x   sen x  3 R   sen x, cos x   Aplicamos el cambio indicado, manipulando ligeramente la integral: cos x  t  sen x dx  dt   sen 2 x  1  cos 2 x 1  cos 2 x sen x dx  1  cos 2 x sen x dx  1  cos 2 x dx  sen 3 x Entonces: dt  dt   t  1  2 2 t 2  1 1  t 2 1  t 2   1  cos 2 x dx   1  t 2 sen 3 x Que podemos resolver como integral de una función racional:      t  1  1  dt  t  2 arc tg t  C 2 t 2  1t 2  1 t 2  1  22  dt   t 2  1 t 2  1 t 2  1 dt  Y deshacemos el cambio:  C C   cos x  2 arc tg cos x 1  cos 2 x dx sen 3 x Cuando no es tan simple manipular el integrando, podemos utilizar las siguientes igualdades: cos x  t x  arc cos t  dx   dt 1  t 2 sen x  1  cos 2 x  1  t 2 Ejemplo: sen 3 x  1  cos 2 x dx  Ahora vamos a utilizar las expresiones tabuladas para obtener la primitiva:  2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP   1  t 2 t 2  1 1  t 2  1  t 2 dt   dt  dt 1  t 21  t 2  1  t 2 1  t 2  1  t 2  3  dt  1  t 2  2  1  cos 2 x dx   1  t 2 sen 3 x Que es la misma integral que resolvimos antes (como no podía ser de otro modo)

27 Integrales. Matemáticas II 378 3.4.2. Funciones impares en coseno de x Si la integral es de la forma  R  sen x, cos x , y verifica que R  sen x,  cos x    R  sen x, cos x  debemos aplicar el cambio sen x  t. Como antes, tenemos las siguientes igualdades: sen x  t x  arcsen t  dx  dt 1  t 2 cos x  1  sen 2 x  1  t 2 Ejemplos:  cos 3 x  sen 2 x dx  Comprobamos que el radicando es impar en coseno: R  sen x, cos x   cos 3 x  sen 2 x  R  sen x,  cos x   (  cos x) 3  sen 2 x   R  sen x, cos x  Aplicamos el cambio indicado:  3232   cos 2 x  sen 2 x  cos x dx   t 2   1  t 2   dt  sen x  t cos x dx  dt I  cos x  sen x dx  Desarrollado el producto,  t  Ct t  I    t  t  dt   3 1313 5 1515 4242 Y deshacemos el cambio:  5353 I  cos 3 x  sen 2 x dx   1 sen 5 x  1 sen 3 x  C  sec x dx   dx  cos x Es evidente que el radicando es impar en coseno, aplicamos el cambio:        2 1  t1  t dt 1  t 21  t 2 1  t 2 1  t 2  cos x  1  t 2 1  t 2 1  t 2 dt sen x  t  dx  dx  cos x dx La resolvemos como integral de una función racional: 1  t1  t1  t1  t 11AB1AB  2  2 2  2 1 1  t 21  t 2 1  t 21  t1  t1  t 21  t1  t    Entonces:  1 ln 1  t  C  1 ln 1  t  C 221  t   1 ln 1  t dt  1dt  1dt  1  t 2 2  1  t2  1  t2 21  sen x Y deshacemos el cambio:  sec x dx  1 ln 1  sen x  C Curiosidad – idea feliz: A veces, existen estrategias específicas para resolver primitivas más rápidamente. Para esta primitiva,  sec x dx, si multiplico y divido entre  sec x  tg x  : sec x  tg xsec x  tg x 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP  sec x dx   sec x  sec x  tg x dx   sec x  sec x tg x 2 dx  ln sec x  tg x  C

28 Integrales. Matemáticas II 379 3.4.3. Funciones pares en seno de x y coseno de x Si la integral es de la forma  R  sen x, cos x , y verifica que R   sen x,  cos x   R  sen x, cos x  debemos aplicar el cambio tg x  t. En este caso, podemos hallar la expresión para el seno y el coseno como: 1 1 t 2  1t 2  1  cos 2 x  cos x  cos 2 xtg 2 x  1 sen 2 x  cos 2 x  1  tg 2 x  1  y  t 2  1 t  sen x  1tg 2 x tg 2 x  1tg 2 x  1 sen 2 x  1  cos 2 x  1  Que resumimos en la tabla siguiente: tg x  t x  arc tg t  dx  dt 1  t 2 sen x  t t 2  1 cos x  1 t 2  1 Ejemplo:  dx sen 2 x  cos 2 x Es evidente que el radicando es par en seno y coseno: 1  R   sen x,  cos x   R  sen x, cos x  sen 2 x  cos 2 x R  sen x, cos x   Aplicamos el cambio indicado:    dt dx t 2t 2 t 2t 2 t 2t 2 1  t 21  t 2 1 1  t 2 1  t 21  t 2 1  t 2  1  t 2   1 1  t 21  t 21  t 21  t 2 sen 2 x  cos 2 x  1  t 21  t 2 tg x  t  dx   sen 2 x  cos 2 x Que es inmediata si la separamos en sumandos: dx1 dt  t   C   22  tg x  C  tg x  cotg x  C t sen x  cos x tg x t 2t 2 t 2  11 Curiosidad – idea feliz: Como antes, podemos seguir buscando felices ideas que simplifiquen integrales. Usando la relación fundamental de la trigonometría, sen 2 x  cos 2 x  1 : dx  dxsen 2 x  cos 2 x  sen 2 x  cos 2 x  sen 2 x  cos 2 x dx   cos 2 x   sen 2 x  tg x  cotg x  C O bien, como vimos anteriormente, acudir a las expresiones del ángulo doble como hicimos antes:  2  cosec 2 2x  2 dx   cotg 2x  C 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP sen 2 2x sen 2 x  cos 2 x   dx     4 dx

29 Integrales. Matemáticas II 380 3.4.4. Cambio general Si no pudimos resolver la integral con los cambios anteriores, deberemos aplicar el cambio universal: tg x  t 2 21 2 dt  dx  dt 1  t 21  t 21  t 21  t 2 De aquí tenemos: tg x  t  x  arc tg t  x  2  arc tg t  dx  2  Aplicando ahora las propiedades de las razones trigonométricas del ángulo doble, tenemos: 2 22 22 2 2 22 cos x sen x 12t2t 1  t 21  t 2  sen x  1  tg 2 x sen x  2  sen x  cos x  2  2  cos x  2  tg x  cos x  2  tg x  2 2 2 2 2 2 2 21  1  t 21  t 21  t 21  t 2 2  1  t 2 1  t 22  1  t 2 1  t 2  1  1  1  t 21  t 2  1  cos x  1  tg 2 x cos x  cos x  sen x  2  cos x  1  2  Tenemos, por tanto: tg x  t 2 dx  2 dt 1  t 2 sen x  2t 1  t 2 1  t 2 cos x  1  t 2 Ejemplo:   dx  1  cos x Es fácil ver que no cumple ninguna de las tres condiciones anteriores, por tanto:    dt  dt 2 2 1 1  1 2 2 cos x  tg x  t  dx   1  t 2  1  t 2   1  t 2  1  t 2  1  t 2  1  t 2  1  t 21  t 21  t 21  t 2 1  t 21  t 21  t 21  t 2 1  t 21  t 2 1  t 21  t 2 1  t 21  t 2  dt  2  1  t 2  1  t 2  2t 2 2  2 2 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP 1x 1x  t 1tt 1t 2 tg x  1 dt  1 dt  t  2 dt  t  C   1  C   C   cotgC 2 Curiosidad – idea feliz: Para esta primitiva, si multiplico y divido por el conjugado del denominador,  1  cos x  :  dx   1  cos x  dx   1  cos x  dx   1  cos x  dx   1  cos x   1  cos x    1  cos x  1  cos 2 xsen 2 x Ahora separamos en dos sumandos, obtenemos sendas integrales inmediatas:  cos x dx   cotg x  1  C   cotg x  cosec x  C  1  cos x  dx  dx  2222 sen 2 xsen xsen xsen x En general, en las integrales de la forma:   dx a sen x  b cos x Haciendo a  k  cos  y b  k  sen , con k y  valores a obtener, la primitiva se transforma en:     cosec  x    dx dx dx dx1 a sen x  b cos xk sen x cos   k cos x sen  k sen  x    k que ya vimos cómo resolver en apartados anteriores.

30 Integrales. Matemáticas II 381 Actividades propuestas 13. Halla las siguientes primitivas: a) sen  x  1  dx 22 3 b)  3 cos 3x sen 3x dx c)  sen 2 x cotg x dx d)   cos 2x  1  2 sen 2x dx e)  tg 2 x dx f)   tg 2 x  x  1  dx dx tg( x ) 2 h)  dx 1  sen x g)  i)  cos ( x ) dx sen x k)  sen 2 x dx m)  cos 4 x dx n)  cos  ln x  dx x dx cos  ln x  x ñ)  sen x cos x  1  sen 2 x  dx dx j)  sen 2 x cos x dx l)  sen 4 x dx truco: multiplica y divide por x :  o)  1  sen 2 x p)  sen 5x cos 4x dx dx q)  13  12 cos x Actividad resuelta – Idea feliz  sen 4 x  cos 4 x sen 2x dx          dt t  1t  1t  1t  1 En este ejemplo podríamos acudir a que el integrando es par en seno y coseno y aplicar el cambio tg x  t. Entonces: 2   1   t   sen 2x dx  2 sen x cos x dx  t 4  1t 4  1 2t  t 2  1  dt    1  2 1  t 2 2 22 2 t 2t 2 t 2  1t 2  1 44 44  sen 4 x  cos 4 xsen x  cos x Pero también podemos jugar un poco con el denominador, completando un cuadrado perfecto:     sen 2 x  cos 2 x  2  2 sen 2 x cos 2 x sen 4 x  cos 4 x  2 sen 2 x cos 2 x  2 sen 2 x cos 2 x sen 2x dxsen 2x dx  sen 2x dx  2 2 sen 2x dxsen 2x dx  2  sen 2 2x  1  1 sen 2 2x 2  1  1 4 sen 2 x cos 2 x  1  2 sen 2 x cos 2 x La última idea feliz consiste en obtener el cos 2x en el denominador:  2 2 cos 2x dxsen 2x dx  2 2 cos 2x dx 2  2  sen 2 2x  1  1  sen 2 2x  1  cos 2 2x Y hemos obtenido una integral inmediata:  sen 4 x  cos 4 x sen 2x dx   2arc tg  cos2x   C 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP 1  cos 2x sen2x dx = 2= 2 2

31 Integrales. Matemáticas II 382 3.5. Otras integrales Los apartados anteriores dejan claro que el proceso de resolución de integrales no es tan fácil como el de derivación. Todas las simplificaciones que se pueden realizar después de derivar una función es lo que complica el cálculo de primitivas. Por tanto, en muchas ocasiones nos tendremos que limitar a obedecer los cambios aconsejados. Además, existen funciones que no tienen primitiva o no puede expresarse en términos de funciones elementales. Incluso algunas de ellas sirven para definir otro tipo de funciones. Algunos ejemplos son: x,  cos e x dx,  cos x 2 dx   sen x dx  e x 2 dx, Podemos intentar calcularlas con GeoGebra, por ejemplo. Tecleamos en la barra de entrada: 1.Integral[sen(x)/x] 2.Integral[cos(e^x)] Y observamos que aparecen expresiones como:  sen x dx  Si  x ,  cos e x dx  Ci  e x  x Donde Ci y Si son las siglas de Cosine Integral y Sine Integral, cuyas gráficas son: ln at Listamos a continuación los cambios de variable y mecanismos aconsejados para otras primitivas. Integrales de funciones exponenciales  R  a x  dx  a x  g  t   t; dx  1  dt, con a  1. Integrales de funciones irracionales  R  n x m, p x q, r x s,   dx  x  g  t   t m.c.m.(n,p,r,  )  R  a 2  x 2  dx  x  g  t   a  sen t  R  a 2  x 2  dx  x  g  t   a  tg t  R  x 2  a 2  dx  x  g  t   a  sec t 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

32 Integrales. Matemáticas II 383 Actividad resuelta  4  x 2 dx El cambio aconsejado es x  2 sen t, entonces:  x  2 sen t dx  2 cos t dt   4   2 sen t  2  2 cos t dt   4  4 sen 2 t  2 cos t dt  4  x 2 dx  Utilizando la relación fundamental de la trigonometría:  4  4 sen 2 t  2 cos t dt   2 1  sen 2 t  2 cos t dt   2 cos t  2 cos t dt  4  cos 2 t dt Que ya resolvimos antes:   t  sen 2t   C 2 1 4 cos 2 t dt  2  1  cos 2t  dt  2 Para deshacer el cambio, jugamos de nuevo con las expresiones trigonométricas, 2  t  1 sen 2t  t  1  2  cos t  sen t  t  sen t  1  sen 2 t2 t  arcsen x x  2 sen t y obtenemos: x       x Cx C  22 2 4  x dx  2  arcsen  4 Otras integrales trigonométricas -  R  sen mx, cos nx  dx : Se utilizan las expresiones: a  b   cos  a  b   sen a  sen b   cos  2 1 cos  a  b   cos  a  b   cos a  cos b   2 1 a  b   sen  sen a  cos b   sen  2 1 - nn  dv  sen x dx   sen n x dx     sen n  2 x dx a  b   sen n  1 x  cos xn  1  u  sen n  1 x          - n  dv  cos x dx   cos n x dx     cos n  2 x dx cos n  1 x  sen xn  1  u  cos n  1 x        - n 1n 1 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP n2n2 n tg n  1 x  tg n x dx   tg n  2 x  (sec 2 x -1) dx   tgx dx (análogamente con la cotangente) (análogamente con la cosecante) -  sec n x dx   sec n  2 x  sec 2 x dx Si n par:  sec n  2 x  sec 2 x dx   (1  tg 2 x) (n  2)/2  sec 2 x dx Cambio de variable: tg x  t   sec n x dx   (1  t 2 ) (n  2)/2 dt Si n impar: Por partes, elegimos: u  sec n  2 x y dv  sec 2 x dx n 1n 1   sec n x dx  1  sec n  2 x  tg x  (n  2)   sec n  2 x dx 

33 Integrales. Matemáticas II 384 4.EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA 1.Área bajo una curva Dada una función f  x  continua y no negativa en un intervalo  a,b , su gráfica determina una región del plano que vendrá limitada por la función, el eje de abscisas y las rectas x  a y x  b. Veamos cómo podemos calcular de forma aproximada el área de dicha región: Tomamos una partición del intervalo  a,b . Consiste en dividir el intervalo x0, x1, x2,, xnx0, x1, x2,, xn verificando en n partes, tomando para ello los puntos a  x 0  x 1  x 2    x n  b. Así, tenemos los intervalos  a, x 1 ,  x 1, x 2 , ,  x n  1, b . A continuación, denotamos por m i al mínimo valor que toma la función en el intervalo  x i  1, x i  y por M i al máximo valor que toma la función en el mismo intervalo. Así, en cada intervalo  x i  1, x i  consideraremos dos posibles figuras, la creada con rectángulos de base x i  x i  1 y altura m i y la creada con rectángulos de base x i  x i  1 y altura M i. Sumando las áreas de los n rectángulos, obtenemos: Suma inferiorSuma superior n i1i1 n i1i1 En el primer caso obtenemos una aproximación por defecto del área encerrada bajo la curva: s  m 1  x 1  x 0   m 2  x 2  x 1     m n  x n  x n  1    m i  x i  x i  1  Esta suma se denomina suma inferior de la partición en el intervalo  a,b . En el segundo caso obtenemos una aproximación por exceso del área encerrada bajo la curva. S  M 1  x 1  x 0   M 2  x 2  x 1     M n  x n  x n  1    M i  x i  x i  1  Esta suma se denomina suma superior de la partición en el intervalo  a,b . Hemos obtenido dos aproximaciones del área A, una por defecto s y otra por exceso S. Se tiene que s  A  S 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

34 Integrales. Matemáticas II 385 Si tenemos una partición P 1 del intervalo  a,b , con suma inferior s 1 y suma superior S 1, diremos que otra partición P 2 del intervalo  a, b  es más fina que P 1 si contiene todos los puntos de la partición P 1 y además otros puntos nuevos. Para dicha partición P 2, tenemos una suma inferior s 2 y una suma superior S 2. Se verifica que: s 1  s 2  A  S 2  S 1 Es decir, al tomar una partición más fina, la suma inferior aumenta (siendo todavía menor o igual que el valor del área) y la suma superior disminuye (siendo mayor o igual que el valor del área). Partición P 1 Partición P 2 Partición P 1 Partición P 2 Esto significa que cuanto más fina sea la partición, más nos acercamos al verdadero valor del área. Considerando una sucesión de particiones cada una más fina que la anterior, P 1, P 2, , P n, P n  1, , obtendremos s 1, s 2, , s n, s n  1,  la sucesión de áreas por defecto y S 1, S 2, , S n, S n  1,  la sucesión de áreas por exceso. Cuando n  , la longitud de los intervalos de la partición se hace cada vez más pequeña, luego x i  x i  1  0. Así, cuando la función sea integrable, las sumas inferiores y superiores tenderán al área: S n  s n  0 Esto significa que lim  S n  s n   0  lim S n  lim s n, y de aquí: lim S n  lim s n  A n  n  n  n  n  Suma inferior y superior con la partición P 1 Suma inferior y superior con la partición P 2 … Área 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

35 Integrales. Matemáticas II 386 4.2. Integral definida Sea una función f  x  continua y no negativa en un intervalo  a,b . Definimos la integral definida entre a y b de f  x  como la expresión  b a f  x  dx Su valor es el área comprendida entre la gráfica de f  x , el eje de abscisas y las rectas x  a y x  b. Los valores a y b se llaman límites de integración. Hemos visto que dada una sucesión de particiones P 1, P 2, , P n, P n  1,  del intervalo  a,b , cada una más fina de la anterior, con sumas inferiores s 1, s 2, , s n, s n  1,  y sumas superiores S 1, S 2, , S n, S n  1, , se verifica que dichas sumas tenderán al verdadero valor del área. n b annann Se tiene que:  f  x  dx  lim S  lim s, es decir, que la integral se puede interpretar como: “la suma del área de todos los rectángulos de altura f  x  y base infinitesimal ( dx ) comprendidos entre a y b ” Propiedades:  a a xx 1. – Si los límites de integración son iguales, la integral definida vale cero. fdx  0 2. – Si la curva está por encima del eje X  f  x   0 , la integral es positiva,  b a f  x  dx  0, mientras que si la curva está por debajo del eje X  f  x   0 , se puede definir también la integral definida, que  b a será negativa: f  x  dx  0. 3. – Sea c   a,b , entonces podemos descomponer la integral de la forma:  b acac bcbc a f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx. 4. – Si intercambiamos los límites de integración, la integral cambia de signo.  a b b a dx f  x  dx   f  x  5. – Dadas dos funciones f  x  y g  x  continuas en el intervalo  a,b , se tiene que:  bb  f  x   g  x   dx  f  x  dx  g  x  dx  bbb aaaaaaaaaaaa y  f  x   g  x  dx  f  x  dx  g  x  dx     b a 6. – Dada una función f  x  continua en el intervalo  a, b  y una constante k  R, se tiene que: b a dx  kf x dx k f  x  7. - Dadas dos funciones f  x  y g  x  continuas en  a,b , verificando f  x   g  x   x   a,b , se tiene:  b a b a f  x  dx  g  x  dx 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

36 Integrales. Matemáticas II 387 4.3. Teorema del valor medio del cálculo integral Dada una función f continua en el intervalo  a,b , entonces existe un punto c   a,b  tal que b a  f  x  dx  f  c    b  a . Interpretación geométrica: Siendo la integral un área, la interpretación geométrica es simple: Existe un punto c   a,b  tal que el área encerrada entre la curva, el eje de abscisas y las rectas x  a y x  b es igual al área de un rectángulo de base la amplitud del intervalo, b  a, y altura el valor que toma la función en el punto intermedio, f  c . Ejemplo:    b a Encuentra los valores de c que verifican f x dx  f   c   b  a  siendo f  x  la semicircunferencia de centro el origen y radio 1, y a y b los puntos de corte de la misma con el eje OX. Sabemos que la ecuación de la circunferencia en el plano es x 2  y 2  r 2, así que para el problema que se nos plantea tenemos que f  x    1  x 2 y los puntos de corte con el eje son   1, 0  y   1, 0 . Se trata de encontrar el rectángulo (azul) cuya área coincide con la de la semicircunferencia (roja), sabiendo que la base para ambas figuras está comprendida entre los puntos   1, 0  y   1, 0 . Entonces, siendo: A rect  b  h y A circ    r 2 Debe verificarse: 4 2 1   r 2  b  h  1   1 2  2  h  h   El valor de h corresponde a la variable y, pero nos piden un valor de x. Por tanto: 0.61899 2 4 22222222  x 2  y 2  r  x  h  1  x   1      Que son los valores de c que nos piden. 4.4. Función integral o función área Dada una función f continua en el intervalo  a,b , para cualquier punto x   a,b  se define la función  x a t  dtx  F  x   f  integral o función área como: F :  a, b   R 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

37 Integrales. Matemáticas II 388 4.5. Teorema fundamental del cálculo integral Sea f una función continua en el intervalo  a, b  y sea  x a t  dtF x f F x f  con x   a,b  la función integral. Entonces F es derivable en  a, b  y F  x   f  x  para cualquier punto x   a,b . Demostración: Aplicando la definición de derivada tenemos:   h t  dtf  t  dt  f  F x  h  F xhF x  h  F xh x a xhxh h0h0h0h0  lím a F  x   lím Separando la primera integral en dos sumandos (propiedad 3):    h t  dtf  t  dt  f  t  dt  f  x  h  f  t  dt x xhxh x x a h0h0 h0h0  lím x F  x   lím a x f  c   hc x  h  x c x  h  x  f  t  dt  f   Aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral,  c   x, x  h  tal que x  h Así: h h0h0h0h0h0h0  lím f  c  f  c   h  lím  x  h f  t  dt F  x   lím x h0h0 Como c   x, x  h  y f es continua entonces lim f  c   f  x  y, por tanto: F  x   f  x . Actividad resuelta  x dt Sin efectuar el cálculo de la integral indefinida, calcula f  x  si f  x   0 3 2  1  t  Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral:  0 3 2 dt x 11  x 2 311  x 2 3  f  x   1  t1  t f  x    Generalización (1): Si en lugar de valores reales, los límites de integración son funciones reales de variable real, se aplica la regla de la cadena para obtener: Sea f una función continua en el intervalo  a, b   R y sea  h x h x  a f  t  dtF x F x  con x   a,b  la función integral. Si h ( x ) es derivable, entonces F es derivable en  a, b  y F  x   f  h  x    h  x  para cualquier punto x   a,b . 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

38 Integrales. Matemáticas II 389 Generalización (2):  Sea f una función continua en el intervalo  a, b   R y sea h  x  g x g x  t  dtF x f F x f  con x   a,b  la función integral. Si h ( x ) y g ( x ) son derivables, entonces F es derivable en  a, b  y F  x   f  h  x    h  x   f  g  x    g  x  para cualquier punto x   a,b . Actividad resuelta Sin efectuar el cálculo de la integral indefinida, calcula f x3x3  x 2  1  t 2  3 dt  x  si f  x   Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral:      3 2 3232 13x 22x3x 22xdt1 x3x3  1  x6 31  x 4 31  x6 31  x 4 3  2x  2x  2 2  x 3xx 3x 1  x1  x1  x1  x  f    f  x    x 2  1  t 2  3 4.6. Regla de Barrow Si f  x  es una función continua en el intervalo  a, b  y F  x  es una primitiva de f  x , entonces:  b a f  x  dx  F  b   F  a  y suele representarse como: b 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP a b a b F ab F a f  x  dx   F  x    F   Demostración: Se tiene que F  x  es una primitiva de f  x . Por otro lado, aplicando el teorema fundamental del cálculo integral,  x a Gx f Gx f  t  dt también es una primitiva de f  x . Al ser dos primitivas de la misma función, sólo se diferencian en una constante: G  x   F  x   C  G  x   F  x   C Evaluando las dos expresiones anteriores en el punto x  a, tenemos: x a a a    t  dt  G  a   f  Gx f Gx f  Gx  F x C  Ga  F a CGx  F x C  Ga  F a C   F a C  0  C  F a F a C  0  C  F a t  dt  0 Evaluando ahora dichas expresiones anteriores en el punto x  b, tenemos:   b a x a b a    f  t  dt  F  b   F  a  t  dtt  dt  G  b   f  Gx f Gx f  G  x   F  x   C  G  b   F  b   C  G  b   F  b   F  a  

39 Integrales. Matemáticas II 390 Entonces, para aplicar la Regla de Barrow se siguen los siguientes pasos: 1.Calculamos una primitiva F  x  de f  x  2.Hallamos los valores de esa función entre a y b : F  a  y F  b  b a b a b F ab F a 3. Calculamos la integral f  x  dx   F  x    F   Ejemplos:  5 1 2   x  6x  5  dx. La función f  x    x 2  6x  5 es una función polinómica, luego es continua en todo R, y por tanto es continua en el intervalo [1, 5]. 1. - Calculamos una primitiva de f x:f x: 2 12 12 3 1313 2 x  5xx  6    x  6x  5  dx    1313 2. - Hallamos el valor de esa primitiva para los extremos del intervalo: F  x    33 1 3 F  1    3 1 3 5 3 x 3  3x 2  5x  25 3 5  55  5 2 2   2  5  1   1  3  5   7 y F  5    3  5 3. – Aplicamos la regla de Barrow: 25732 3 25 5 1 2 3 3333 333   7 7   5   F  1    dx  F    x  6x  5   2 22 2  x  4  dx. La función f  x   x 2  4 es una función polinómica, luego es continua en todo R, y por tanto es continua en el intervalo [  2, +2]. 1. - Calculamos una primitiva de f  x  : 3 1313 2 2 x  4 x  x  4  dx   22 2. - Hallamos el valor de esa primitiva para los extremos del intervalo y restamos: 333333 3 3 1 3 33 1 2323   1616  32  2   4    2   2   2    2   4   22 22 2222   x  4  dx   x  4 x     Actividades propuestas 14. Resuelve las siguientes integrales definidas: a)  6 0 2  dx x  x  1 b)b)  1 11 2  x  x  1  dx c) 00 3 xx 2  1 dx d)d) 1 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP 11 22 dx x  2x  2 x  1x  1   e 1 f) ln x dx e)  0 sen x dx 15. Halla el valor de c que verifica, donde f  x   2 x  1, y razona su interpretación geométrica. 16. Sin efectuar el cálculo de la integral indefinida, calcula f  x lnxlnx e dt  x  si f  x   2. 5 0 5  05  0   dx  f  c    2x 12x 1

40 Integrales. Matemáticas II 391 4.7. Aplicaciones de la integral definida Área encerrada bajo una curva Para calcular el área comprendida entra la gráfica de una función f  x  y el eje de abscisas en un intervalo en el que la gráfica aparece por encima y por debajo del eje X, es necesario hallar cada una de las áreas por separado. En los subintervalos en los que la gráfica está por debajo del eje X, la integral será negativa, y tomaremos el valor absoluto en toda la integral. 121221 2 2 1 1 b x x x x a f  x  dx  F  x   F  a   F  x   F  x   F  b   F  x  Área  f  x  dx    Desde el punto de vista práctico, si tenemos la representación gráfica de la función se puede plantear el área como suma o resta de las regiones donde la función es positiva o negativa, respectivamente. Ejemplo: Halla el área encerrada entre la gráfica de la función f  x   x 2  2x  3, el eje X y las rectas x   3 y x  4. La función f  x   x 2  2x  3 es una función polinómica, luego es continua en todo R, y por tanto es continua en el intervalo [  3, 4]. es una parábola cóncava (  ). 2a22a2 Si x  1  f  1   1 2  2  1  3   4 La gráfica de f  x  Calculamos el vértice: x   b  2  1 Tenemos: V  1,  4  Calculamos los puntos de corte de la función con el eje X. Para ello, resolvemos la ecuación f  x   0 : 2 12 1 f  x   0  x 2  2x  3  0  x  2  4  4  1    3    2   1    1, 0  2  2  4  12  2  16  2  4   3   3, 0  Representando la función f  x   x 2  2x  3 y las rectas x   3 y x  4 observamos que el área que queremos calcular se divide en tres regiones. Hallamos una primitiva de f  x  : 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

41 Integrales. Matemáticas II 392   x 2  2x  3  dx  x  2  3 x3x 3 Hemos obtenido tres regiones. El área total será la suma del área de cada región:        3434 2 11 313313 2 Área   x  2x  3  dx  x  2x  3  dx  x  2x  3  dx  F   1   F   3   F  3   F   1   F  4   F  3   5    9    9  5   20    9   333 33333333 3232771  u2u2 Por tanto, el área de la región es igual a 71 3 u2u2 También podríamos plantear, ya que tenemos la representación gráfica de la función:  4 3 2 11 2 1313 33 2 123123 3  dx x  2x  x  2x  3  dx   Área  Área  Área  Área   x  2x  3  dx   Es decir: 44 33 1313 3131  3 3  3 3  3 3  x3 x3  x3 x3 Área    x 2  3x     x 2  3x     x 2  3x     x 3 x 3 71 333333333    327 3 3   5  2032    3 3   5 5  9    9        9 u 9 u 2 Propiedades: 1. – Si la función es impar, la integral definida en un intervalo simétrico respecto al origen es nula: Si f  x  es impar,   a a aa f  x  dx  0 2. – Si la función es par, la integral definida en un intervalo simétrico respecto al origen es: Si f  x   a  a a aa  x  dx es par, f x 0   dx  2  f Para entender estas dos propiedades nos basta con ver las gráficas de cada tipo de función. - Si la función es impar, es simétrica respecto al origen de coordenadas y define dos recintos de signo opuesto e igual área a ambos lados del origen. Al sumarla, el resultado es nulo. - Si la función es par, es simétrica respecto al eje OY y define dos recintos de igual signo e igual área. Función imparFunción par 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

42 Integrales. Matemáticas II 393 Actividad resuelta Calcula el área de un círculo de radio r. Podemos elegir la ubicación de la circunferencia, así que la centramos en el origen. Para este caso, la ecuación de una circunferencia de radio r es: x 2  y 2  r 2  y   r 2  x 2 Podemos aprovechar la simetría del problema y calcular el área a partir del recinto del primer cuadrante:  r 0 A  4  r 2  x 2 dx La primitiva se resuelve con el cambio: x  r  sen t  dx  r  cos t  dt y proporciona: r     r  x  C  2 2 2  r 2  x 2 dx  1   r 2 arcsen x  x  Aplicando la regla de Barrow obtenemos:     r r r xx  0 0 2 0 2 r  x dx  2  r arcsen  x  r 2  x 2   A  4 A  4        00 2 22 2  r  rr r A  2  r arcsen  r  r 2  r 2  r 2 arcsen 0  0  r  0  Es decir, llegamos a la conocida fórmula: A    r 2 Área comprendida entre dos curvas El área comprendida entre las gráficas de las funciones f  x  y g  x  en el intervalo  a, b  es igual que al área que se encierra entre la función diferencia  f  g  x  y el eje X en ese intervalo.  b a g  x   dxA  f xA  f x Siendo f  x   g  x . Si no se determina qué función está por encima de la otra, podemos escribir la expresión general:  b a f  x   g  x  dx A A  Sin embargo, desde el punto de vista práctico, en el caso en el que las funciones f  x  y g  x  tengan varios puntos de corte, será conveniente hallar las diferentes regiones y determinar las áreas por separado. 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

43 Integrales. Matemáticas II 394 Ejemplo: Halla el área comprendida entre las gráficas de las funciones f  x    x 2  4x y g  x   x entre las rectas x   1 y x  3. Las representaciones gráficas de f  x  y g  x  son una parábola y una recta, respectivamente, así que es de esperar que haya dos cortes entre ellas y, por tanto, es posible que haya varias regiones diferenciadas a tener en cuenta. La gráfica de f  x    x 2  4x es una parábola convexa. Hallamos su vértice:  4 4 2a2    1   2 x   b    4  2 Si x  2  f  2    2 2  4  2   4  8  4  V  2, 4  Calculamos los puntos de corte de la función con el eje X, resolviendo la ecuación f  x   0 :  x  4 f  x   0   x 2  4x  0  x    x  4   0   x  0  La gráfica de g  x   x es una recta. Para dibujarla, basta con obtener dos puntos: x03 y03 Para determinar la región de la que queremos calcular el área, la representamos, junto con los límites de integración: Buscamos los puntos de corte entre las dos funciones, resolviendo la ecuación f  x   g  x  :   x  3 f  x   g  x    x 2  4x  x   x 2  4x  x  0   x 2  3x  0  x   x  3   0   x  0 Por tanto, el área que queremos calcular será:  3 11  f  g  x  dx Área  Hallamos una primitiva de  f  g  x  :  f  g  x   f  x   g  x    x 2  4x  x   x 2  3x    f  g  x  dx     x 2  3x  dx   x  3x 32 Hemos obtenido dos regiones. El área total será la suma del área de cada región:              0 0 11 3 0 2 0 11 2 32323232 Área  3x 2  3  3x 2  0  x3x3x3x3   x  3x  dx     x  3x  dx  F  0   F   1   F  3   F  0   0  11  9  0  11  9  19 u 2 62623 3 19 Por tanto, el área de la región es igual au 2 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

44 Integrales. Matemáticas II 395 Volumen de un sólido de revolución Una curiosidad relacionada con este apartado hace referencia a Johannes Kepler. Su segunda esposa, Susana, narraba en una carta que en la celebración de la boda, Kepler observó que el volumen de los barriles de vino se estimaba con una varilla introducida diagonalmente en el tonel por el agujero de la tapa. Kepler empezó a pensar en el razonamiento matemático que justifica ese proceso, y de ese modo comenzó el estudio de los volúmenes de los sólidos de revolución. Si f  x  es una función continua en el intervalo  a,b , entonces el volumen del sólido generado al girar la función en torno al eje OX : se calcula mediante la función:  b a V    f  x   dx 2 Ejemplo: Halla el volumen del cono de altura 3 unidades definido al girar en torno al eje de abscisas la recta y  3x. Los datos del ejemplo nos hacen calcular la integral:    3  0 3 0 2 3 0 2  x3  3 3303  x3  3 3303  3x  dx  9  x dx  9    V     9       81  u 3  33  Actividad resuelta Calcula el volumen de una esfera de radio R. Como antes con el círculo, elegimos una circunferencia centrada en el origen, cuya ecuación es: x 2  y 2  R 2  y   R 2  x 2 Como antes, la simetría permite calcular el volumen a partir del recinto del primer cuadrante:  RR R  x  dx 0 2 0 2 2 V  2   R  x  dx  2   Que es una primitiva inmediata y, aplicando la regla de Barrow obtenemos:    3 3   2   R 2  R    R 2  0  2   R 2  R    R 2  0  V  2  R 2  x V  2  R 2  x  x 3  R   R 3  0 3   3  0 3  Con la que obtenemos la conocida fórmula: V  4   R 3 3 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

45 Integrales. Matemáticas II 396 ímbolos matemáticos Arquímedes Arquímedes, escribió su tratado sobre “El método de teoremas mecánicos”, que se consideraba perdido hasta 1906. En esta obra, Arquímedes emplea el cálculo infinitesimal, y muestra cómo el método de fraccionar una figura en un número infinito de partes infinitamente pequeñas puede ser usado para calcular su área o volumen. Fue escrito en forma de una carta dirigida a Eratóstenes de Alejandría.infinitesimalAlejandría. Observa cómo es la base de los conceptos que en el siglo XVII permitieron a Isaac Newton y a Leibniz unificar el cálculo diferencial con el cálculo integral, y cómo es el precursor del concepto de integral definida como las sumas inferiores y las sumas superiores de Riemann.siglo XVIIIsaac Newton Leibniz CURIOSIDADES. REVISTA Eudoxo de Cnido (390 aC – 337 aC) Eudoxo demostró que el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma de su misma base y altura; y que el volumen de un cono es la tercera parte del de un cilindro de su misma base y altura.pirámideprismaconocilindro Para demostrarlo elaboró el llamado método de exhausción.método de exhausción Método de exhaución Elmétodode procedimiento exhauciónesun geométrico de aproximación aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en la medida en que avanza el cálculo. El nombre proviene de H l is la t t o ín ria exh d a e us l t o iö s s (agotamiento, exhausto) Se utiliza para aproximar el área de un círculo,ola circunferencia, circunscribiendo longituddeuna inscribiendoy polígonos regulares con cada vez mayor número de lados. 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

46 Integrales. Matemáticas II 397 ¿Has pensado alguna vez en la historia de los símbolos matemáticos? Al principio las matemáticas eran retóricas, es decir, todos los cálculos se explicaban con palabras. Poco a poco empezaron a usarse abreviaturas, símbolos para representar las operaciones. Hoy las matemáticas están llenas de símbolos. Por ejemplo, para indicar sumas y restas, primero se usaron letras como p y m, pero en el siglo XV comenzó a usarse los símbolos + y –. Para el producto se usó el aspa, x, de la cruz de San Andrés, pero Leibniz escribió a Bernoulli que ese símbolo no le gustaba pues se confundía con la x, y comenzó a usar el punto, ·. Para el cociente, la barra horizontal de las fracciones es de origen árabe, y los dos puntos, de nuevo se los debemos a Leibniz, que los aconseja cuando se quiere escribir en una sola línea. El símbolo de infinito, , se debe a John Wallis y, a pesar de su parecido, no está relacionado con la cinta de Möebius, sino con la Lemniscata. En 1706 se empezó a usar π, como inicial de la palabra griega “perímetro” y se popularizó con Euler en 1737. El símbolo de la integral se lo debemos, de nuevo, a Leibniz, y es una estilización de la letra S, inicial de suma. También le debemos la notación dx, dy para el cálculo diferencial. A Euler le debemos la invención de muchos símbolos y la popularización de otros: No sabemos por qué uso la letra e para representar al número e, base de los logaritmos neperianos, la letra i, para la unidad imaginaria compleja,  para el sumatorio, y la notación f (x) para las funciones. En lógica y teoría de conjuntos se usan muchos y nuevos símbolos, como , , , , , , , {, }, , , , … que podemos deber a George Boole. e if(x)e if(x) , , , , , , , {, }, , ,  2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

47 Integrales. Matemáticas II 398 RESUMEN CUADRO DE PRIMITIVAS  dx  x  C  f  x  dx  f  x  + C   f  x   g  x     dx   f  x  dx   g  x  dx    a  f  x  dx  a   f  x  dx  f n  x  f  x  dx  1  f  x  n+1  C, n  –1 n  1  f  x  dx  ln f  x   C f  x   e f ( x) f  x  dx  e f  x  + C f  x   a f  x  f  x  dx  a + C, a  1, a>0 ln a  cos  f  x   f  x  dx  sen  f  x    C  sen  f  x   f  x  dx   cos  f  x    C  sec  f  x    tg  f  x   f  x  dx  sec  f  x    C  sec 2  f  x   f  x  dx  tg  f  x    C  cosec 2  f  x   f  x  dx   cotg  f  x    C  f  x  dx   arc tg  f  x    C 1  f  x  2   arc cotg  f  x    C   f  x  dx   arc sen  f  x    C  1  f  x  2   arc cos  f  x   + C   f  x  dx   arcsec  f  x   + C  f  x  f  x  2  1   arc cosec  f  x   + C Método de integración por cambio de variable 1.  g  f  x    f  x  dx  t  f  x   dt  f  x  dx  g  t  dt  G  t   C  F  x   G  f  x    C 2.  f  x  dx  x  g  t   dx  g  t  dt  f  g  t   g  t  dt  G  t   C  F  x   G  g  1  x    C Método de integración por partes  u  dv  u  v   v  du Regla de Barrow  f  x  dx   F  x   b  F  b   F  a  ba Área entre una curva y el eje OX A   f  x  dx b a Área entre dos curvas A   f  x   g  x  dx b a Volumen de revolución en torno al eje OX V      f  x   2 dx b a 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

48 Integrales. Matemáticas II 399 EJERCICIOS Y PROBLEMAS n 1. - Sabiendo que  x dx  n  1n  1 xn1xn1  C y  f n  x  f  x  dx  n  1n  1 f n  1  x   C, calcula: 2)  4 dx 3)  x2 x2 dx 1)  x 5 dx 1 6)  5x 4 dx x 5 7)  5 x 3 dx 5)  6x 7 dx 9)   2x 5  5x  3  dx 3 23 2 10)   2  3xdx 4)  37 dx 8)   3  2x  x 4  dx 12)   1  x 3  2 dx x3x3 13)  x  x  2 3 dx 14)           4x  2x dx 3 2    11)  2  x 2  2  3 dx   2x a  dx 13e13e 15)   3a  2  16)   x  2   dx x  33 33  3   5 2 2  5  2 x  dx 3x 23x 2 4 17)   3x  18)   1  x  x dx 19)  dx x 2 x 3  5x 2  4 x   dx       4x 24x 2 2x3  3x 2  5 2x3  3x 2  5  20) 5e  21)  dx 1  x21  x2 22)    x x  x  x   dx 12 12  23)  x  x 3  1  dx 24)       2   dx 3 x xx5xx5 25)  2 x  3  5x  dx 26)  dx x  x  1  x  2  2 27)   3x  4  dx 4 28)  (3x  7) dx 32)   x 3  3  x 2 dx 29)  x  x 2  4  3 dx 33)   x  2  3 2 dx 30)  3x  x 2  2  3 dx 31)   x 3  2  2 x 2 dx 34)   a  x  3 dx 35)    x  2  3   x  2  2  dx 36)  3x  12 dx 37)  x  3 dx 38)  x 13 x 13 dx 39) (x 2  x) 4  2x  1  dx  40)  x 22 1  1  xdx 41) dx x3x3  x 4  12 x 4  12 42)  x 2  43 x 2  43 x dx 43)  x x  7dx 2 4 2   x  2x  3  dx 44)  x  1 45)  dx 1  7x 21  7x 2 3x3x 46)  2 dx 3  x  2  8x 28x 2  47)  3 x 2  3 3xdx  48) x  3 1  x 2 dx 49)  dx x 2x 2 4 x 3  5  50) x  dx 5 3 2323 x 1x 1 52)   e x  1  3 e x dx 53)  sen 3 x cos x dx 51)  x 2  2x 4 dx 54)  x cos 4 x 2 sen x 2 dx 55)  x 2  3 x ln  x 2  3  dx 56) 33 cos x sen x dx 57) dx exex  2e x  3 58)  tg 5 x  sec 2 x dx 59)  dx tg 3x sec 2 3x 60)  dx 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP 3x3x ln x

49 Integrales. Matemáticas II 400 x  2. - Sabiendo que dx  ln x 1 C yC y f xf x  dx  ln f  x  f 'x f 'x  C, calcula: dx 1)  x  2 dx 2)  2x  3 dx 3)  x  1 x dx 4)  x 2  1 x 2 5)  1  2x 3 dx x 2 6)  1  x 3 dx 3x dx 7)  x 2  2 4 8)  3x  5 dx x  1 9)  x 2  2x  2 dx 10)   x  1  dx  x   11)   3  2  x  dx   x 2 x  dx 12)  x ln x dx 13)  x  1  x  14)   1  1  dx  2x  12x  1   e x 15)  e x  1 dx e 2 x 16)  e 2 x  3 dx 17)  tg x dx 18)  cotg x dx 19)  5 dx x ln x 20)  sen x  cos x cos x 2 sen x cos x 21)  1  sen 2 x dx sen x  cos x 22)  sen x  cos x 23)  x cotg x 2 dx 3. - Si  e x dx  e x  C,  e f  x  f  x  dx  e f  x   C,  a x dx  a x ln a y a f  x  ln a  C  a f  x  f '  x  dx  C,C, calcula: 1)  3 x dx 2)  a 4 x dx 3)  e  x dx 4)  4 e 3x dx 5)  3x 2 e x 3  2 dx 6)  4e 4  x dx 7)  x 2 e x 3 dx 8)   e x  1  2 dx 2 9)   x 1   e   dx  e x  10)   e x  x 6  2 dx 11)  e  x  2 x dx 2 e ln x 12)  x dx 1 e x 2 13)  x 3 dx 14)  xe sen x 2 cos x 2 dx 15)  e 3cos2 x  sen 2x dx e x 16)  5 x dx 17)  e cos x  sen x dx  1  e 2 x  3  18)    e  dx  2e   19)  e tg 2 x sec 2 2x dx 20)  2x  3 3  5 x 2 dx 3 21)  x  2 3  5 x 2 dx 2 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP y 4. - Sabiendo que  sen x dx   cos x  C,  f  x   sen f  x  dx   cos f  x   C,  cos x dx  sen x  C  cos f  x  f  x  dx  sen f  x   C calcula: 1)  sen  2x  8  dx 2)  sen x dx 2 3)  cos 3x dx 4)  x sen x 2 dx 5)   3 sen x  2 cos x  dx  4   6)  sen 2x dx 7)  e x cos e x dx 8)  x cos  2x 2   sen  2x 2  dx sen  ln x  9)  x dx

50 Integrales. Matemáticas II 401  cos 2 x 5. – Si  1 dx   1  tg 2 x  dx  tg x  C y f  x  dx    cos 2 f  x   1  tg 2 f  x    f '  x  dx  tg f  x   C, calcula: 1)  x  1  tg x 2  dx 2)   1  tg x  2 dx 3)  tg 2 3x dx 6. – Halla el valor de las siguientes integrales, usando un cambio de variable: 1)   2  5x  4 dx 2)   3  4x  6 dx 3)  6x  3  x 2  5 dx  33  4)   5  4x   5  4x  3  dx  5)   3  2x  3 3  2x  dx  e x  4  6)   e 2 x  dx  7)  sen 3 x  cos x  dx sen x 8)  cos x dx cos x 9)  sen 4 x dx 10)  x x 2  4 dx  e x  3  11)   e 2 x  dx   e  x  2  12)   e 3x  dx   x  2 x  2 13)  3x 2 dx  2  3 x  2 14)  4x dx 15)  senx dx 7. – Halla el valor de las siguientes integrales, usando el método de integración por partes: 1)  3x cos x dx 2)  x 2  sen x dx 3)  x 2 ln x dx 4)  x ln x dx ln x 5)  x 2 dx 6)  2e x  cos x  dx 7)  2e x  sen x dx 8)  e x  cos 3xdx 4  2x 2 9)  x  ln xdx 8. – Halla el valor de las siguientes integrales racionales: 2 1)  x 2  1 dx 3 2)  2x 2  2 dx 3 3)  x  3 dx 2 4)  3x 2  3 dx 5x 5)  x 2  3 dx 3x  2 6)  x 2  1 dx  2x  3  2 7)  3x 2 dx x  2 8)  x  1 dx x  1 9)  x  1 dx 3x  1 10)  x  3 dx 3x 3 11)  x 2  4 dx 3x 3 12)  x 2  1 dx x 2  2x  2 13)  x  2 dx x 3  4x 2  2x  5 14)  x  2 dx 2 15)  x 2  4 dx 3x  2 16)  x 2  3x dx 4x  3 17)  x 2  1 dx 3x 2 18)  x 2  6x  9 dx x  2 19)  x 2  5x  6 dx 3x  2 20)  x 2  4x  4 dx 3x  1 21)  x 3  4x 2  3x dx 2x 2  1 22)  x 2  3x  2 dx x  1 23)  x 2  4x  4 dx 3x  1 24)  x 2  6x  9 dx 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

51 Integrales. Matemáticas II 402 9. – Halla el valor de las siguientes integrales definidas: 1)  3 dx 1 2x 2)  3 x dx 2 x 2  1 5  3)   sen x dx 3 4  4)   sen 3x dx 4 6 4 5)   4 x dx 6)   3x 2  2x  1  dx 1   1  2  7)   2  3  dx 2   1  x  2x  3  8)   3a  x  dx 2   2  52  3 1 9)  2 x   ln x  3 dx 0  2 x 3  10)   2  e  3x  dx  e  5  11)  3  sen x  cos x  2 dx  4  b 11 2 10. – Halla el valor de b para que se cumpla  2bx  3x  dx   12. 11.– Halla el área comprendida entre la función f  x   x 2  4x, el eje de abscisas y las rectas x  1 y x  6. 12.– Halla el área limitada por la función f  x   0,5  cos x, el eje de abscisas y las rectas x  0 y x  . 13.– Halla el área de la región limitada por la función f  x   x 3  x 2  6x y el eje de abscisas. 2 14. – Calcula el área de la porción de plano que limitan las curvas y  1 x 2  x  1 e y  x  1  0. 15.– Halla el área delimitada por las gráficas: a) f  x   x y g  x   x 2 b) f  x   x 2  x  4 y g  x    x 2  2x  5 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP

52 Integrales. Matemáticas II 403 AUTOEVALUACIÓN F  x   a x 3  b e x  c sen x es una primitiva de la función1. Los valores de a, b y c para los que f  x   3x 2  7 e x  5cos x son: a) 1,  7, 5;b) 3, 7,  5; c) 1,  7,  5;d)  1,  7, 5 2. La integral inmediata  x 2x 2  3 dx vale: 6 6  2x 2  5  3  2x 2  3  3 a)  C ;b)  C c) 4  2x 2  5  3 C ;d)C ;d) CC 6 2x2  522x2  52 3. La integral  sen 4 x  cos 4 x sen2x dx a) tg(arccosx) + C ; vale: b)  2 arc sen(arctgx) + C ; c) arctg(arcsenx) + C; d)  2arctg  cos2x   C. 4. Al integrar por partes  dx x  e arc sen x  1  x 21  x 2 se obtiene: a) e arc sen x  1  x 2  ;b) arc sen x 1212 e  x  1  x 2   C c) e sen x  x  1  x 2   C ;d) arc sen x 1212 e  x  1  x 2   C 2x  2 5. La integral  dx vale: x 2  4x  13 3 a) ln  x 2  4x  13   arc tg x  2  C ; 3 b) ln  x 2  4x  13   arc tg 2x  2  C 5 c) ln  x 2  4x  13   arc tg x  2  C ; d) Ninguna es correcta 6. La integral  2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP dx sen 2 x  cos 2 x vale: a) tg x  sen x  C ;b)  tg x  cotg x  C c) tg x  cotg x  C ;d) tg x  cotg x  C 0 7. La integral definida   cos x dx vale: a) 1;b)  c) 0;d)  1 8.El área comprendida entre la gráfica de la función f  x    x 2  4x, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 4 vale: a) 128/3;b) 32/3c) 64/2;d) 64/3 9.El área comprendida entre las gráficas de las funciones f  x    x 2  4x y g  x   x vale: a) 9/2;b) 19/3c) 27/2;d) 3 10.El volumen del sólido de revolución generado por y = x 2, entre 0 y 2, al girar en torno al eje de abscisas es: a) 32  ;b) 16  /5c) 16  ;d) 32  /5

53 Integrales. Matemáticas II 404 Apéndice: Problemas de integrales propuestos en Selectividad 3 x3 x x 3  3x  5 (1) Calcula una primitiva de la función f  x   (2) Calcula: a)  dx x  x  2 2 2x 3  3x 2  2x  1 b)b)  x ln 2 x dx c) 2 1 22 x  3x dx d)d) 0  22  sen  2x   x  sen x  dx e)  e x cos 3x dx f)  arc tan  3x  dx (3) Calcula haciendo el cambio de variable e x  t : exex a)  e 2 x  1 dx b)  dx 1  ex1  ex e x  4e 2 x (4) Calcula    2 0 e  x cos x  dx 2 x2 x (5)a) Encuentra todas las funciones f  x  cuya segunda derivada es f  x   x e x. b) De todas ellas, determina aquella cuya gráfica pasa por los puntos A  0, 2  y B  2, 0 . (6)Considera la función y  x 3  3x 2  1 a)Determina la recta tangente en el punto en que la función alcanza su máximo relativo. b)Dibuja el recinto limitado por la curva y la recta tangente anterior. c)Halla el área del recinto del apartado (b). (7)Obtén el área del recinto cerrado por las curvas y  1  cos x e y  0 en el intervalo   ,  . 2 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP (8) Considera la función f  x   1  sen x 2 a) Dibuja el recinto acotado por la gráfica de f  x , el eje OX y las rectas x = 0 y x  . b) Calcula el área del recinto anterior. (9)a) Dibuja el recinto plano limitado por la parábola y = 4x – x 2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje de abscisas. b) Halla el área del recinto dibujado en (a). (10)Halla el área de la zona del plano limitada por las rectas y  0, x  1 y x  e, y la gráfica de la curva y  ln 2  x . 22 2 x  y g  x   x limitan un recinto finito en el plano. (11)Las gráficas de las funciones f  x   sen  a)Dibuja un esquema del recinto. b)Calcula su área.

54 Integrales. Matemáticas II 405  (12) Sea f  x    ln x si x  1 x  12six  1x  12six  1, donde ln x significa logaritmo neperiano de x. (13) a)Dibuja el recinto acotado comprendido entre la gráfica de f  x  y la recta y = 1. b)Calcula el área del recinto anterior. Sea la función f : R  R definida por   2 4x  12 f  x    si x   1 x  4x  3 si x   1 (14) (15) a)Haz un dibujo aproximado de la gráfica de la función f. b)Calcula el área del recinto limitado por la función f, el eje de abscisas y la recta x = 2. Sea la parábola y  x 2  3x  6 a)Halla la ecuación de la tangente a la gráfica de esa curva en el punto de abscisa x = 3. b)Haz un dibujo aproximado del recinto limitado por la gráfica de la parábola, el eje OY y la recta tangente hallada anteriormente. c)Calcula el área del recinto anterior. Dada la función f  x    x  a  cos x, busca el valor del número real a sabiendo que 0  2 2 22   2 f  x  dx  (16) Considera las curvas f  x   x 2  3x  2 y g  x   x 2  x  2. a)Encuentra sus puntos de intersección. b)Representa el recinto limitado que encierran entre ellas. c)Encuentra el área del recinto limitado por las dos curvas. (17) (18) (19) Las curvas y  e x, y  e  x y la recta x  1 limitan un recinto finito en el plano. a)Dibuja un esquema del recinto. b)Calcula su área. Se considera la curva de ecuación y  x 3  2x 2  x a)Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa curva en el origen. b)Dibuja un esquema del recinto limitado por la gráfica de la curva y la recta hallada. c)Calcula el área de ese recinto. La derivada de una función f  x  es f  x    x  2    x 2  9  a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de f  x . 5 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP b) Determina la función f sabiendo que f  0   1.

55 Integrales. Matemáticas II 406 (20) 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP La gráfica de la parábola y  2x 2 divide al cuadrado de vértices A  0, 0 , B  2, 0 , C  2, 2  y D  0, 2  en dos recintos planos. a) Dibuja la gráfica de la función y los recintos. b) Calcula el área de cada uno de ellos. (21) (22) a)Calcula la función f  x  sabiendo que su derivada es f  x    x  1  e x y que f  2   e. b)Demuestra que f  x  tiene un extremo relativo en un punto del eje de abscisas y razona si es máximo o mínimo. Las gráficas de la curva y  x 3 y de la parábola y  x 2  2x encierran un recinto plano. a)Dibuja ese recinto. b)Calcula su área.     (23) Sea f : R  R la función definida por f  x    mx  n x 2x 2 si x  0 si 0  x  1 2 si 1  x a)Calcula m y n para que f sea continua en todo su dominio. b)Para esos valores hallados, calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta y = 1.   2 (24) Sea la función f : R  R definida por f  x    2x  4 si x  0  x  2  si x  0 (25) (26) (27) (28) a)Dibuja la gráfica de la función. b)Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. La curva y  x 3  3x y la recta y  x limitan un recinto finito en el plano. a)Dibuja un esquema del recinto. b)Calcula su área. La parábola x  y 2  1 y la recta x  3 limitan un recinto finito en el plano. a)Dibuja un esquema del recinto. b)Calcula su área. La curva y  x 2  3 y la recta y  2x  3 limitan un recinto finito en el plano. a)Dibuja un esquema del recinto. b)Calcula su área. Se considera la parábola y  6x  x 2 a)Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de la parábola en los puntos de corte con el eje OX. b)Dibuja un esquema del recinto limitado por la gráfica de la parábola y las rectas halladas anteriormente. c)Calcula el área de ese recinto. (29)Se considera la función f  x    x22 x22  e  k si x  2  2x  2 si x  2 a)Determina el valor de k > 0 para que la función sea continua en el intervalo  0,4 . b)Suponiendo que k  1, halla la recta tangente en x  3. c)Suponiendo que k  1, halla el área que la función determina con el eje OX, para x   0,4 . (30) a) Resuelve por partes la siguiente integral:  x  1  ln x  dx b) De todas las primitivas de f  x   x  1  ln x  calcula la que pasa por el punto  1, 3 .

56 Integrales. Matemáticas II 407 (31) La gráfica de la parábola y 2  8x y la recta x  2 encierran un recinto plano. a)Dibuja aproximadamente dicho recinto. b)Calcula el área de ese recinto. (32) La gráfica de la curva f  x   2  x 4 y las rectas y  4 y x  0 encierran un recinto plano. a)Dibuja aproximadamente dicho recinto. b)Calcula el área de ese recinto. 4 (33) Esboza la gráfica de la parábola y   x 2  x  7 y halla el área de la región del plano determinada 4646 11 11 por la parábola y la recta que pasa por los puntos  0,  y , 0 . (34)Se dispone de una chapa de acero que puede representarse por la región del plano determinada por la parábola y   x 2  4 y la recta y  1. a)Representa gráficamente la chapa y calcula su área. b)Determina las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede obtener a partir de dicha chapa con la condición de que uno de sus lados esté en la recta y  1. (35)Representa gráficamente las parábolas y 2  4x  0 y x 2  4 y  0 y calcula el área que encierran. x 2  1x 2  1 x (36) Se considera la función f  x   2  a)Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión. b)Para x   0, 5 , esboza la gráfica de la función y calcula el área comprendida entre ella y el eje X. x 2  1x 2  1 x (37) Se considera la función f  x   (38) a)Halla sus asíntotas, máximos y mínimos. b)Representa gráficamente la función. c)Halla el área delimitada por la función y el eje OX, para  1  x  1. a) Calcula:  x 3 ln(x)dx donde ln ( x ) es el logaritmo neperiano de x. b) Utiliza el cambio de variable x = e t – e –t para calcular   1 dx. 4  x 2  2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP    2  x  x 2  4  Indicación: Para deshacer el cambio de variable, utiliza: t  ln . (39) a) Si f es una función continua, obtén F  x  siendo:  x 0 2323 F  x   ( f (t)  t  t )dt 1  1 0 b) Si f    1 y además f (t)dt = 1, halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F  x  en el punto  1, F  1  . (40) a) Sea la función f  t   1 1  e t. Calcula f (t)dt. b) Se define  x g  x   f (t)dt g(x)xg(x)x. Calcula lim 0x00x0 (41) a) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) = –sen x y el eje OX entre las abscisas x = 0 y x = 2π. b) Halla el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de f ( x ) = – sen x alrededor del eje OX entre las abscisas x = 0 y x = 2π.

57 Integrales. Matemáticas II 408 Ampliación A lo largo del tema hemos desarrollado varios métodos, estrategias y aplicaciones de las integrales, pero hay mucho más. Dejamos este apartado para mostrar otras que superan los contenidos del temario. Integral de una función racional cuando el denominador tiene raíces complejas múltiples Si al resolver la primitiva de una función racional:  Q  x  dx Px Px con Grado de Q(x) > Grado de P(x) Q(x) tiene raíces complejas múltiples, es decir, en su factorización aparecen términos de la forma: Q  x    ax 2  bx  c  k   x  d      x  e  n   Descomponemos la fracción algebraica como:  Px Ax lCx Px Ax lCx Q  x    B  x    D  x    Q  x  dx  B  x    D  x  dx Px AxCx Px AxCx con:  B  x  el máximo común divisor de Q  x  y Q  x  ;  A  x  un polinomio, de grado uno menor que B  x , a determinar;  D  x  el polinomio que resulta del cociente Q  x  ; B  x   C  x  un polinomio, de grado uno menor que D  x , a determinar. El desarrollo requiere bastante habilidad con las expresiones algebraicas, y acaba proporcionando una integral racional cuyo denominador tiene raíces complejas simples. Volumen de un sólido de revolución generado al girar en torno al eje OY Si f  x  es una función continua en el intervalo  a,b , entonces el volumen del sólido generado al girar la función en torno al eje OY se calcula con la integral:  b a V  2  x  f  x  dx Longitud de un arco de curva Si f  x  es una función continua en el intervalo  a,b , entonces la longitud del arco de la curva entre los puntos de abscisa a y b se calcula como:  b a L  1   f  x   2 dx Superficie de un sólido de revolución generado al girar en torno al eje OX Si f  x  es una función continua en el intervalo  a,b , entonces la superficie del sólido generado al girar la función en torno al eje OX se calcula mediante la integral:  2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP b a 1   f  x   2 dx S  2f xS  2f x

58 Integrales. Matemáticas II 409 Ejemplos: Halla el volumen de la “plaza de toros” generada al girar la recta y  x alrededor del eje OY en el intervalo  1, 2 . La figura cuyo volumen queremos hallar es: Y se trata de calcular la integral: 2 1 2 2 1  33 3 33 3  2 3 1 3  14   2        3 1 3 1   x 3  2 x 3  2 V  2  x  x  dx  2  x dx  2   u3u3 Halla la longitud de una circunferencia de radio r.  b a 1   f  x   2 dx, así que derivamos la ecuación de la Debemos utilizar la expresión: L  circunferencia: r 2  x 2r 2  x 2 xx x 2  y 2  r 2  y   r 2  x 2  y  Entonces, utilizando la simetría de la circunferencia otra vez:    rr rr dx r  x xx 0 r 2  x 2r 2  x 2 0 2222 r 2r 2 0 x 2x 2 0  2 2 2 dx  4r  4  1  dx r 2  x 2 dx  4  1  1   L  4  r La primitiva se resuelve con el cambio: x  r  sen t  dx  r  cos t  dt como vimos en el apartado 3.5, y proporciona:   dx   r  cos t  dt   dt  arcsen t  C  arcsen x  C r 2  x 2 r 2  r 2 sen 2 t Aplicando la regla de Barrow obtenemos:  0  0    0 0  4   arcsen  arcsen   4    0  rr2 rr L  4   arcsen  r x  rx  r Es decir: L  2  r u 2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 10: Integrales LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es www.apuntesmareaverde.org.es Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Revisores: Luis Carlos Vidal, María Molero y Javier Rodrigo Ilustraciones: Creadas con GeoGebra y el GIMP


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