Operaciones con Números Enteros [Z]. Contenido Conjuntos de números Los números enteros y sus operaciones Valor absoluto Operaciones básicas y sus propiedades.

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1 Operaciones con Números Enteros [Z]

2 Contenido Conjuntos de números Los números enteros y sus operaciones Valor absoluto Operaciones básicas y sus propiedades Divisores de un número Propiedades de los números a partir de sus divisores Divisibilidad Números primos y compuestos Descomposición de un número en sus factores primos. Descomposición de un número en sus factores primos Máximo Común Divisor (MCD) Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)

3 1 2 3 4 5 6 … NÚMEROS NATURALES …-6 -5 -4 -3 -2 -1 NÚMEROS CARDINALES NÚMEROS ENTEROS Conjuntos de Numeros 0 NÚMEROS POSITIVOS NÚMEROS NEGATIVOS

4 Números naturales Se utilizan para contar y se los representa por el conjunto N: N = {1, 2, 3, 4, 5…} El cero(0) no se considera como un número natural El conjunto que incluye al cero se lo define como: N 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5…} 1 2 3 4 5 6 …

5 Números enteros Introducción Entre las necesidades de los antiguos primitivos que descubrieron los números naturales y las del hombre actual existen diferencias radicales. El hombre antiguo vivía sometido a la naturaleza El hombre de hoy en día vive gobernado por sus creaciones

6 Números enteros El hombre descubrió que para medir ciertas magnitudes, es conveniente considerar su variación en un sentido y otro, por encima y por debajo de un origen prefijado. Por ejemplo: en los edificios se tienen pisos por encima y por debajo del nivel del suelo. Si los numeramos, el piso que se encuentra en el nivel del suelo sera el 0, el primero sobre este nivel sera 1, el segundo 2, etc. el primero debajo del nivel del suelo -1… Aplicaciones 1. Temperatura 2. Utilidades de una empresa 3. Crecimiento de un país 4. Altura

7 Números enteros La resta o la división de números naturales puede dar como resultado un número que no es natural. Ejemplo. 3-7, 9-10.. Por ello necesitamos ampliar el conjunto de los números naturales a otro más grande, el conjunto de números enteros. Se representa por Z y esta formado por naturales, sus opuestos y el cero. Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

8 Conjunto Z como recta numérica Enteros positivos … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … Enteros negativos Z + = N Z-Z- Z = Z -   0   Z + Z = Enteros Z + = Enteros positivos Z - = Enteros negativos N = Naturales

9 Números enteros Los números enteros pueden representarse en la recta de la siguiente manera: En esta representación se observa: Que los números naturales son mayores que los enteros negativos. Ejemplo: 3 > -3 tres es mayor que tres negativo Generalizando: si un número natural a es menor que otro b, entonces –a es mayor que –b. Ejemplo: 2 -5 Números positivos … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … Números negativos mayormenor

10 El valor absoluto de un número Recuerde que la distancia es una medida física NUNCA es negativa; entonces, el valor absoluto NUNCA es negativo Su interpretación gráfica es la distancia al cero. El valor absoluto de un número a se escribe |a| y se define como sigue: Si el número es natural, su valor absoluto es él mismo. |4| = 4 ; |0| = 0 Si el número es negativo, el valor absoluto es su opuesto |-3| = 3 ; |-15| = 15 VALOR ABSOLUTO Es la distancia entre 0 y el número de estudio.

11 Valor absoluto Si X es positivo su valor absoluto es el mismo X Ej. Si X=4, su valor absoluto es el mismo 4 Si X es negativo el valor absoluto es el inverso aditivo. Ej. Si X = -7, su valor absoluto es el mismo – (-7)=7 Las barras de valor absoluto también son símbolos de agrupación. Ej. |8 -15| = |-7| = 7

12 Valor absoluto. Ejemplo de aplicación La tabla muestra la proyección de las tasas porcentuales anuales de cambio en el número de empleos en algunas de las industrias con mayor crecimiento y con la disminución más rápida de 1994-2005 Industria% de Cambio Salud5.7 Computación4.9 Construcción4.3 Calzado-6.7 Textiles-4.2 Muebles-3.3 ¿Qué industria de la lista tendrá el mayor cambio?, ¿y el menor?

13 Aplicaciones Ejemplos: Escribir 3 enteros menores que 5 y mayores que -1. Una respuesta posible 2,3,4 Escribir 3 enteros mayores que -1 pero menores que 3. Respuesta única 0,1,2 … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …

14 Operaciones con números Z Suma Resta Multiplicación División Propiedades Conserva las propiedades de los números N y además tiene la existencia de un opuesto. Cualquier número entero tiene su opuesto, que sumando con él da 0. a + (-a) = 0 a – b = a + (-b)

15 PropiedadSumaMultiplicación Asociativa(a + b) + c = a + (b + c) (a  b)  c = a  (b  c) Conmutativaa + b = b + a a  b = b  a Elemento neutroEs el 0, porque a + 0 = a Es el 1, porque a  1 = a Elemento simétricoEl opuesto de a es –a a + (-a) = 0No tiene Distributiva del producto respecto de la suma a  (b + c) = a  b + a  c Propiedades

16 Para multiplicar enteros Se considera el signo por lo que es necesario conocer la regla de signos. Se utiliza la regla de signos: (+)  (+) = + (+)  (–) = – (–)  (+) = – (–)  (–) = + Se observa que: El producto de signos iguales es positivo (+) El producto de signos diferentes es negativo (–)

17 Expresiones con paréntesis Si un paréntesis va precedido del signo menos, se lo puede eliminar de 2 maneras: Cambiando el signo de todos los sumandos que haya dentro. Ej. -2 + 8 – (4 -13 + 6) = -2 + 8 – 4 + 13 - 6 Efectuando previamente las operaciones que aparecen dentro del paréntesis. Ej. -2 + 8 – (4 - 13 + 6) = -2 + 8 – ( -3) = -2 + 8 + 3

18 Operaciones compuestas Las operaciones compuestas se realizan según el siguiente orden 1. Paréntesis, si los hubiese Si aparecen varios, unos dentro de otros, se comienza efectuando los de dentro. 2. Multiplicaciones y divisiones 3. Sumas y restas Ej. Calcular: (-7)  [4  (3 - 8) – 5  (8 - 5) ] Solución: (-7)  [4  (3 - 8) – 5  (8 - 5) ] = (-7)  [4  ( -5) – 5  3 ] = = (-7)  [-20 – 15 ] = (-7)  [- 35 ] = +245

19 División de números Z Si a y b son dos enteros cualesquiera, b > 0, entonces existe un par único de enteros, q y r, tales que: donde. Si r = 0 decimos que “ b divide a a ”, o que “ la división es exacta ”.

20 Términos de la división Los términos de la división son dividendo, divisor, cociente y residuo. Dividendo 27 4 Divisor Residuo 3 6 Cociente La división es exacta si tiene residuo cero. La división es inexacta si tiene residuo diferente de cero.

21 División de números Z La regla de signos para la división es la misma que para la multiplicación. Ejemplos: -6 / 3 = -2 15 / -3 = -5 -8 / -4 = 2 (+) / (+) = + (+) / (–) = – (–) / (+) = – (–) / (–) = +

22 Propiedades de la División de números enteros La división no es conmutativa Ej. 9 / 3 ≠ 3 / 9 es decir 9 dividido entre 3 es distinto de 3 dividido entre 9 La división no es asociativa. Ej. (32 / 4) / 2 ≠ 32 / (4 / 2) 8 / 2 32 / 2 4 ≠ 16 a / b ≠ b / a (a / b) / c ≠ a / (b / c)

23 Divisores de un número Si a y b son dos números naturales distintos de cero, se dice que a es divisor de b si existe un número natural c tal que: a  c = b Ejemplos: 3 es divisor de 12 porque: 3  4 = 12 5 es divisor de 75 porque: 5  15 = 75

24 Propiedades a partir de los divisores Todo número es divisor de si mismo El número 1 es divisor de todo número natural Si a es divisor de b entonces b no es divisor de a. Si a es divisor de b y b es divisor de c entonces a es divisor de c. Si un número divide a otros dos, también divide a su suma.

25 Divisibilidad Se dice que un número natural a es divisible por otro número natural si se cumple: El residuo de la división a entre b es cero. Ejemplos: 15 es divisible por 1, 3, 5 y 15 porque dividen de forma exacta a 15.

26 Números Primos Un número es primo, si y solo si tiene dos divisores, el mismo número y el 1. Ejemplo: 2, 3, 5, 11 son números primos Curiosidades Los números primos se utilizan en la codificación de mensajes secretos y en las telecomunicaciones. Todo número puede obtenerse a partir de la suma de números primos.

27 Números compuestos Un número es compuesto si y solo si tiene otros divisores distintos del mismo número y de 1. Ejemplo: 4, 6, 8, 10,12 son números compuestos 0 no es un número primo ni compuesto porque no tiene un número finito de divisores. 1 no es un número primo ni compuesto porque no tiene dos divisores distintos.

28 Ejemplo Calcular si el número 113 es un número primo. Sugerencia: dividir 113 con los números primos inferiores a él cuyo cuadrado no sea mayor al número Solución: El número cuyo cuadrado menor más próximo a 113 es 10, entonces basta con comprobar si 2, 3, 5, 7 son divisores de 113. 113 no es divisible por 2, 3, 5 tampoco por 7. Luego 113 es un número primo.

29 Descomposición de un número en sus factores primos Se puede descomponer un número compuesto como producto de sus factores primos de dos formas. Mediante un diagrama de árbol Aplicando criterios de divisibilidad Todo número compuesto se puede expresar como producto de números primos de una sola manera, excepto por el orden sus factores.

30 Descomposición de un número en sus factores primos Aplicando criterios de divisibilidad Escribir el número a la izquierda de una línea vertical y a la derecha menor número primo por el cual sea divisible dicho número. Escribir debajo del número propuesto el cociente entre el número dado y el divisor primo elegido Repetir el procedimiento hasta obtener el número 1 como cociente. 28 14 7 1 227227

31 Diagrama de árbol Por cada número generamos 2 ramas que son la descomposición del número en 2 factores, continuamos así hasta obtener solo números primos. 28 2 14 27 Números compuestos Números primos 28 = 2  2  7

32 Criterios de divisibilidad Divisible por 2 Un número es divisible por 2 cuando el número es par. Divisible por 3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 Divisible por 5 Un número es divisible por 2 cuando el dígito unidad de número es 5 ó 0. Divisible por 6 Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3. Divisible por 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Divisible por 10 Un número es divisible por 10 cuando el dígito unidad de número es 0.

33 Máximo común divisor (MCD) El máximo común divisor de dos números es el mayor de los divisores comunes de esos números. Ejemplo: MCD (15,36) = 3 1313 3 5 15 23 46 9 18 36 Divisores de 15 Divisores de 36 MCD Divisores comunes

34 Mínimo común múltiplo (m.c.m.) El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número de los múltiplos comunes a ellos, distinto de 0. Ejemplo: El m.c.m.(12, 15) =60 0 60 12 24 36 48 72.. 15 30 45 75 90…. Múltiplos de 12 m.c.m múltiplos comunes Múltiplos de 15 El m.c.m. de dos números primos es el resultado de la multiplicación de ambos

35 Bibliografía Matemáticas B, Pedro Antonio Gutierrez Figueroa, Ed. La hoguera, 2001. Dominando las Matemáticas, AritmeticaII, L. Galdos,2005. Matemáticas 6, Ediciones Santillana, 2000