El Teorema de euclides Sobre números primos.

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1 El Teorema de euclides Sobre números primos

2 definiciones y resultados previos
Vamos a trabajar sobre el conjunto de los números naturales, N:={1,2,3,…,n,…}. En este conjunto podemos sumar y multiplicar pero no siempre podemos restar o dividir. Explicación Definición: Dados dos números naturales n y m, se dice que n divide a m (o que m es divisible por n) si existe un número natural c tal que m=cn. Explicación Definición: Diremos que un número natural p es primo si no es igual a 1 y solo es divisible por sí mismo y por 1. Como ejemplos de números primos tenemos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc. Explicación Vamos a necesitar unos resultados previos para demostrar el teorema de Euclides. Son los siguientes: Teorema Cualquier número natural n mayor que 1 se puede escribir como producto de números primos. Explicación Veamos algunos ejemplos: 35=57. 162=234. Sin embargo, esta factorización a veces no es fácil (intentar factorizar, por ejemplo, el número ).

3 definiciones y resultados previos
Vamos a trabajar sobre el conjunto de los números naturales, N:={1,2,3,…,n,…}. En este conjunto podemos sumar y multiplicar pero no siempre podemos restar o dividir. Explicación Definición: Dados dos números naturales n y m, se dice que n divide a m (o que m es divisible por n) si existe un número natural c tal que m=cn. Explicación Definición: Diremos que un número natural p es primo si no es igual a 1 y solo es divisible por sí mismo y por 1. Como ejemplos de números primos tenemos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc. Explicación Vamos a necesitar unos resultados previos para poder demostrar el teorema de Euclides. Son los siguientes: Teorema Cualquier número natural n mayor que 1 se puede escribir como producto de números primos. Explicación Teorema El número 1 no es divisible por ningún número primo.

4 El Teorema Teorema de Euclides Existen infinitos números primos.
Demostración: Vamos a demostrar este resultado usando una técnica matemática conocida como reducción al absurdo. Se supone que lo que se quiere demostrar es falso y se llega a una contradicción. Explicación Supongamos entonces que solo hay un número finito de primos, que llamaremos p1, p2,…, pk. Consideremos el número natural p1p2…pk+1. Explicación El teorema de factorización nos dice que este número se puede expresar como producto de primos: p1p2…pk+1= q1q2…qs. Explicación Si despejamos 1, tenemos que 1=q1q2…qs -p1p2…pk, de lo que se deduce que 1 es divisible por q1. Esto nos lleva a contradicción. Explicación Nota: Hemos demostrado que en la factorización de p1p2…pk+1 no puede aparecer ninguno de los primos p1, p2,…, pk. Explicación