Depto. Matemáticas – IES Elaios Tema: Distribuciones de Probabilidad 2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN NORMAL Presentación elaborada por el profesor.

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1 Depto. Matemáticas – IES Elaios Tema: Distribuciones de Probabilidad 2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN NORMAL Presentación elaborada por el profesor José Mª Sorando, ampliando y adaptando las diapositivas de la Editorial SM

2 Apuntes: Triángulo de Tartaglia o de Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 16 15 20 15 6 1 …. Este triángulo está formado por los números combinatorios

3 Distribución Binomial. Definición Un experimento aleatorio que tiene las siguientes características sigue el modelo de una distribución binomial: 1.En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados, el suceso A, que se llama éxito, y su contrario A c, al que se llama fracaso. 2.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en las pruebas anteriores. 3.La probabilidad del suceso A es constante; por tanto, no varía de una prueba a otra. Se representa por p la probabilidad de A, y por q = 1 – p la probabilidad de A c. La variable X, que representa el número de éxitos obtenidos en n pruebas, se denomina variable aleatoria binomial. Esta variable es discreta, ya que si se realizan n pruebas se podrán obtener 0, 1, 2, …, n éxitos. Una distribución binomial se caracteriza por los parámetros número de pruebas realizadas, n, y probabilidad del suceso “éxito”, p, y se representa por B(n, p). Ejemplos

4 Distribución binomial: función de probabilidad Si realizamos n = 10 pruebas, la probabilidad de obtener r = 3 éxitos es: Fenómeno aleatorio: lanzar un dado Éxito: A = "obtener un 6" Fracaso: A = "no obtener un 6" p(A) = 1 6 5 6 B = A  A  A  A  A  A  A  A  A  A

5 X = "número de 6 al tirar un dado 10 veces” es B(10, 1/6) Función de probabilidad: Gráfica de la función de probabilidad Distribución binomial: función de probabilidad

6 Distribución Binomial: media y varianza En una variable aleatoria binomial B (n, p) Media: Varianza: Desviación típica: Ejemplo.- X = "número de 6 al tirar un dado 10 veces” es B(10, 1/6) Media = 10 · 1/6 = 10/6 Varianza = 10 · 1/6 · 5/6 = 50/36 Desviación típica = √50 / 6 μ = n p

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8 Variable aleatoria de la Distribución Normal N( µ, ) Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de media  y desviación típica , y se designa por N( ,  ) si se cumplen las siguientes condiciones. 1.ª La variable puede tomar cualquier valor real, es decir, x  (– , +  ). 2.ª La función de densidad, que es la expresión en términos de ecuación matemática de la función de Gauss, es:

9 x =  Características de la función de densidad de la N( µ,  ) Campo de existencia = (– ,+  ) ( , ) Creciente Decreciente  I  I' Área bajo la curva: 1 unidad y = 0

10 Familia de distribuciones normales

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12 0 a Características de la distribución N(0,1): 1. Función de densidad: 2. Probabilidad: Distribución normal estándar N(0, 1) De las infinitas distribuciones N( ,  ) tiene especial interés la distribución N(0, 1), es decir, aquella que tiene por media el valor cero (  = 0) y por desviación típica la unidad (  = 1). Se le designa como variable Z.

13 Tablas de la normal N(0, 1)

14 Manejo de tablas P(Z  1,23) = 0,8907 0 1,23

15 Manejo de tablas P(Z  –1,23) = 0 1,23 –1,23 1 – P(Z  1,23) = 1 – 0,8907 = 0,1093

16 Manejo de tablas P(1,01  Z  1,23) = 0 1,23 P(Z  1,23) – P(Z  1,01) = = 0,8907– 0,8438 = 0,1469 1,01

17 Manejo de tablas P(–1,23  Z  –1,01) = 0 = P(Z  1,23) – P(Z  1,01) = 0,8907– 0,8438 = 0,1469 1,231,01 –1,23–1,01 P(1,01  Z  1,23) =

18 Manejo de tablas P(–1,23  Z  1,01) = 0 = P(Z  1,01) – (1 – P(Z  1,23)) = 0,8907– 1+ 0,8438 = 0,7345 P(Z  1,01) – P(Z  –1,23) = 1,01 –1,23

19 Apuntes: Algunas probabilidades bajo la N( µ,  )    –   –    –  0,683 0,954 0,997

20 Apuntes: Tipificación de la variable N( µ,  ) Dada una variable aleatoria X que sea N(µ, ) Con el cambio de variable Z = (X - µ)/  Se consigue una variable aleatoria Z que es N (0, 1) Se dice que Z es la variable tipo o tipificada. Pasar el problema a esta variable nos permite poder resolverlo consultando la tabla N (0, 1) Ejemplo.- Sea X una N(5, 0,4). Calcular P (X ≤ 5,8) Variable tipificada: Z = (X – 5)/ 0,4 Entonces: P (X ≤ 5,8)= P [(X – 5)/ 0,4 ≤ (5,8 – 5)/ 0,4] = P (Z ≤ 2) Buscamos en la tabla N (0, 1): P (Z ≤ 2) =0,9772