Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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1 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
SISTEMAS MATRICIALES TEMA * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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ECUACIONES Y SISTEMAS ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES Son ecuaciones o sistemas de ecuaciones en las cuales las incógnitas o coeficientes son matrices. Sea A. X = B la ecuación, donde A y B son matrices Despejando X tenemos X = B / A = A .B Tendremos que calcular la inversa de la matriz A y luego un producto de matrices. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

3 FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
Todo sistema de ecuaciones lineales se puede expresar mediante matrices. En muchos casos ello nos facilitará además la resolución del sistema y demás cálculos. Ejemplo x – 2y + 3z = 4 5x + 6y – 7z = 8  A.X = C 9x – 10y + 11z = 12 1 – x 4 A = – 7 X = y C = 8 9 – z 12 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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... Ejemplo Tenemos pues A.X = C De donde X = C / A = A-1. C Si la matriz A es cuadrada y tiene inversa, podremos hallar A-1. La matriz inversa multiplicada por la matriz C nos dará la solución del sistema de ecuaciones. Calculamos la matriz inversa mediante Gauss-Jordan: 1 – – 9 – F2=F2 – 5XF1 y F3=F3 – 9XF1 0 16 – @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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... Ejemplo F3=F3 – 0,5XF2 y F3=F3:16 1 – 0 1 – 22/16 -5/16 1/16 0 0 0 – 5 -6,5 -0,5 1 F3=F3:(-5) y F1=F1 – 3XF3 1 – , , ,6 , ,1 -0,2 F2=F2 + (22/16)F3 y F1=F1 + 2XF2 , , ,05 ,475 0,2 -0,275 , ,1 -0,2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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... Ejemplo 0, , ,05 La matriz inversa es A-1 = 1, , ,275 1, , ,2 Las soluciones del sistema serán: 0, , , X = A-1 .C = 1, , , 1, , , 0,2 + 0,8 + 0,6 X = 5,9 + 1,6 – 3,3 5,2 + 0,8 – 2,4 x  x = 1,6 X= y  y = 4,2 z  z = 3,6 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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PROBLEMAS DE GRAFOS Un grafo es aquella figura que nos permite representar las relaciones existentes entre los elementos de un conjunto. Representamos por 1 cuando hay relación entre dos elementos y por 0 cuando no la hay. La matriz correspondiente se compondrá pues de unos y ceros. Sea la situación siguiente: Andrés ( A) conoce la dirección E_mail de Belén (B) y la de Carlos (C) Belén (B) conoce la dirección E_mail de Carlos ( C) Carlos (C) conoce la dirección E_mail de Andrés (A) y la de Belén (B) Diana (D) sólo conoce la dirección E_mail de Carlos (C) A C D B @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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MATRICES EN ECONOMIA En numerosas situaciones del mundo económico se presentan casos en los que aparece: Una serie de elementos de un colectivo (por ejemplo, un holding empresarial). Unos recursos o beneficios obtenidos por cada elemento (cada empresa del holding, por ejemplo) Una normativa que obliga a que cada elemento transfiera a los demás parte de sus recursos o beneficios. La normativa puede ser representada por una matriz de transferencia M, que se formará poniendo en cada columna los porcentajes que obligan a cada elemento. Recursos Recursos Tendremos así: M = Iniciales Finales @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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EJEMPLO En una familia el padre (P), la madre (M) y el hijo (H) ganan €, € y 900 € al mes respectivamente. El padre da el 50% a la madre, el 30% al hijo y el resto se lo queda él. La madre se queda la mitad y la otra mitad se lo da al hijo. El hijo por su parte se queda con un 70% de lo que gana y el resto se lo da a la madre. ¿Qué cantidad de dinero corresponderá a cada uno al mes ?. RESOLUCIÓN Sabiendo que M.(RI) = (RF) P M H 0, P 0,5 0,5 0, = M 0,3 0,5 0, H corresponde a cada uno ( P, M e H, en € ) Al padre 320 € , a la madre € y al hijo € @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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EJEMPLO PROPUESTO Una empresa fabrica cuatro tipos de artículos: A, B, C y D. Los precios de coste de cada unidad son 6, 9, 14 y 20 € respectivamente. Los precios de venta de cada unidad son 18, 28, 40 y 52 € respectivamente. El número de unidades vendidas anualmente es de 2240, 1625, 842 y 530 respectivamente.. Hallar los beneficios. Resolución: Las matrices de costes, ingresos y ventas son: COSTES INGRESOS VENTAS BENEFICIOS = INGRESOS - COSTES = V.I – V.C @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.