Curso: Introducción a las Matemáticas Profesora: Luz González Soza.

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1 Curso: Introducción a las Matemáticas Profesora: Luz González Soza

2 Números enteros Fracciones Números decimales MCD y MCM Números Potencias Raíces Logaritmos Potencias y Raíces Representar situaciones Términos Semejantes Productos Notables Despeje Interés simple y compuesto Álgebra CONTENIDOS L. González Soza 2 Horario Lunes 8:30-10:00 Martes 8:30-10:00 Miércoles 8:30-10:00

3 Tenga presente  Puntualidad  Empatía y respeto Evaluaciones FECHAUNIDADAPRENDIZAJES ESPERADOSPROCEDIMIENTO EVALUATIVO % INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN EVIDENCIA DE APRENDIZAJE 17/04/2019 CONJUNTOS NUMERICOS 1.1.Relacionar los conjuntos numéricos, su operatorias, 2. Distinguir los problemas cotidianos y de especialidad del uso de transformación de fracción a decimal y operatorias 3. Identificar los diversos problemas de porcentajes, recargos, descuentos, tasas, índices y comisiones, aplicaciones de tasas de interés simple y compuesto, EVALUACIÓN REGULAR N° 1: Prueba Sumativa de desarrollo 30% Prueba escrita de desarrollo PAUTA DE CORRECCION 22/05/2019 ECUACIONES 1. Desarrolla problemas de expresiones algebraicas en diversos grados. 2. Plantear los conceptos básicos de desarrollo de expresiones algebraicas en la sistematización de soluciones de ecuaciones. Así también dar soluciones a problemas asociados. EVALUACIÓN REGULAR N° 2: Prueba Sumativa de desarrollo 30% Prueba escrita de desarrollo PAUTA DE CORRECCION 26/06/2019 FUNCIONES 1.Examinar las funciones lineales, cuadráticas, exponencial y logarítmica sus representaciones y aplicaciones en el ámbito de la ingeniería EVALUACIÓN REGULAR N° 3: Prueba Sumativa de desarrollo 15% Prueba escrita de desarrollo PAUTA DE CORRECCION EVALUACIONES PARCIALES:10% Trabajos prácticos y de aplicación PROYECTO INTEGRADO15%RÚBRICA 10/07/2019 PRUEBA RECUPERATIVA Prueba escrita de desarrollo PAUTA DE CORRECCION L. González Soza 3

4 4 LECTURAS DE APOYO BIBLIOGRAFÍA BÁSICA DEL PROGRAMA DE ASIGNATURA ANGEL, Allen R. Álgebra Elemental. 6ª Ed. Pearson, 2007 BALDOR, Aurelio. Álgebra. 2ª Ed. México, Patria, 2007. 576p. SPIEGEL, Murray. Álgebra Superior. 3ª Ed. México, Mc Graw Hil, 2007. 388p. Carreño, Ximena. Algebra. Ed. Arrayan, Chile.

5 Conjuntos Numéricos L. González Soza 5

6 Regla de Signos Multiplicación y División (+)(+) = + (+)(-) = - (-)(+) = - (-)(-) = + Prioridad de operaciones Paréntesis Potencias / Raíces Multiplic. /División Sumas / Restas ¿Números Primos? 1. 2. Introducción N. Enteros GUÍA N° 1 (40 min) pág. 11 S. PLENARIA (20 min)

7 3. Ejercicio (Introducción) Este año lograste emprender una mini empresa, junto a 3 de tus compañeros, dedicada a la venta de accesorios para Smartphone. En los primeros meses, han vendido 14 cargadores a $18.000 cada uno, con una pérdida de $2.000 en cada artículo; 20 carcasas a $4.000 cada una con una ganancia de $1.000 por unidad, y 7 protectores de pantalla a $15.000 cada uno con una ganancia de $3.000 por protector, si la empresa en estos meses vendió todo lo que compró ¿Cuál fue el costo de toda la mercadería vendida? ¿Logró su empresa tener ganancias en sus primeros meses? L. González Soza 7

8 Pvta=165000/56000 Pvta=50,769.. Aproximando el precio de venta será de $51 aprox. 4.

9 Números Racionales ( Q ) L. González Soza 9 Es el conjunto de todos aquellos números que se pueden escribir como fracción, es decir: a b / a y b son enteros, y b es distinto de cero Q = Ejemplos: 2; 17; 0; -6; -45; -2; 7 0,489;2,18;-0,647 -1;-1; 8 14 ; 3 15, 0 NO es racional a: numerador y b: denominador

10 Por ejemplo: 3 es Natural (3 IN ), 3 es Cardinal (3 IN 0 ), y como 3 =, 3 es racional (3 Q ). 3 1 IN IN 0 Z Q Todo número entero es racional. L. González Soza 10

11 Fracciones Propias : Son aquellas fracciones cuyo numerador es menor que el denominador. L. González Soza 11 Ejemplos:,,,, Fracciones Impropias Son aquellas fracciones cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Ejemplos :,,,, Fracciones Mixtas Son aquellas fracciones que consisten de un número entero y una fracción propia Ejemplos:,,,,

12 Propiedades de los racionales Amplificar y simplificar fracciones Ejemplo: 2∙2∙ 3∙3∙ Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como denominador por un mismo número. 6 6 Al amplificar la fracción por 6 resulta: 2 3 = 12 18 Ejemplo: Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como denominador por un mismo número. 9 15 Al simplificar la fracción por 3 resulta: 27 45 27 : 45 : 3 3 = L. González Soza 12

13 Operatoria en los racionales Suma y resta Ejemplos: 1. Si los denominadores son iguales: 4 15 + 7 = 11 15 4 - 7 = -3 15 y 5 12 + 7 18 = 5∙3 + 7∙2 36 15 + 14 36 29 36 2. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): L. González Soza 13

14 -4 5 ∙ 8 7 = -32 35 = Multiplicación: Ejemplo: -4 5 7 8 = ∙ -28 40 = 28 40 - División: Ejemplo: -4 5 : 7 8 = 32 35 - Número Mixto: Ejemplo: 8 3 5 = 8∙5 + 3 5 = 43 5 Siempre es conveniente chequear si es posible simplificar antes de multiplicar L. González Soza 14

15 Transformación de números racionales De fracción a decimal: Ejemplo: Se divide numerador por denominador. 7 4 = 1,75 De decimal finito a fracción: Ejemplo: El numerador corresponde al número sin coma, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número. 100 175= 1,75 = 7 4 25∙7 25∙4 = L. González Soza 15

16 De un número decimal periódico a fracción: 1.El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera. 2.El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período. Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 233 99 Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 = 376 999 L. González Soza 16

17 3,21 = 321-32 = 289 90 De un número decimal semi-periódico a fracción: 1.El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período. 2.El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y seguido de tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período. Nota : Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma, y el período. Ejemplo: L. González Soza 17

18 Comparación de fracciones Multiplicación cruzada: Ejemplo: Al comparar(Multiplicando cruzado) 13 15 9 10 y 13 ∙ 10 y 15 ∙ 9 130 y 135 Como 130 < 135, entonces: 13 15 9 10 < L. González Soza 18

19 Igualar denominadores: Ejemplo: 13 15 7 12 Al comparar y (Igualando denominadores) 13∙4 15∙4 7∙5 12∙5 y 52 60 35 60 y Como 52 > 35, entonces 13 15 7 12 > L. González Soza 19

20 Transformar a decimal: Ejemplo: 13 15 7 12 Al comparar(Transformando a decimal)y 13 15 =0,86666666… 7 12 =0,58333333… 13 15 7 12 > Como 0,86 > 0,583, entonces L. González Soza 20

21 Ejercicio (introducción N. Racionales) Se ha instalado un nuevo restaurant de sushi en el cual se trabaja desde las 14:00 horas hasta las 02:00 a.m. El proceso para organizar la producción y el tiempo es el siguiente:  Un tercio del tiempo del horario de trabajo se destina cocinar las bases de los pedidos (cocinar arroz, cortar palta, cortar salmón, etc.)  Un cuarto de la jornada de trabajo se destina para limpiar y ordenar el mobiliario del restaurant.  La mitad del tiempo que se ocupa en cocinar las bases, se ocupa en la elaboración de productos que los clientes van consumiendo.  Un tercio del tiempo total que está destinado a limpiar y ordenar queda destinado a la atención de clientes.  La mitad del tiempo que es utilizado para la limpieza se utiliza en alimentación del personal.  El resto del tiempo se dedica a descansos. ¿Cuánto tiempo es el destinado para descanso de personal? L. González Soza 21

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23 L. González Soza 23 - 92,34π + 1- ¾∞3℮⅞ N Z Q Q* R N° Reales Complete la siguiente tabla, si o no, dependiendo si el número representado pertenece o no al conjunto.

24 L. González Soza 24 Siempre entre dos números reales hay otro número real; de ahí que se asocie al conjunto de los números reales con una recta. La recta está formada por infinitos puntos y cada punto representaría un número real, de ahí que a dicha recta suela llamársele recta real o eje real. La recta numérica real (R) -  -3 -2 -1 0 1 2 3  Recta numérica

25 Orden de los números reales Sean a y b cuales quiera dos números reales. SímboloDefiniciónSe lee a > ba - b es positivo.a es mayor que b a < ba - b es negativo.a es menor que b a ≥ ba - b es positivo o cero.a es mayor o igual b a ≤ ba - b es negativo o cero.a es menor o igual b Los símbolos >, <, ≤, u ≥ son símbolos de desigualdades. L. González Soza 25

26 Propiedad de tricotomía Sean a y b cualesquiera dos números reales. Sólo una de las siguientes expresiones es verdadera. L. González Soza 26

27 Potencias L. González Soza 27 Ejemplo:

28 Raíces L. González Soza 28 Ejemplo:

29 Proporciones Ejemplo:

30 Tipos de proporciones L. González Soza 30

31 Porcentaje Ejemplo:

32 Concepto y tipos de Interés Profesora: Luz González Soza 2018

33 Interés 1.Cuando un inversionista presta dinero a un prestatario, éste se compromete a pagar el dinero que pidió prestado así como los honorarios que se cobran por el uso del dinero ajeno, siendo el nombre mas apropiado para éste, Interés. 2.Al dinero prestado se le conoce como:  Capital (C)  Valor actual (VA)  Valor presente (VP)  Principal (P)

34 3.Al dinero que se tiene que devolver al final se le conoce como:  Monto (M)  Valor futuro o Valor final (VF)  Futuro (F) 4.El interés “I” no es otra cosa que la diferencia entre lo que se tiene que devolver al final menos lo que se nos dio al comienzo, es decir : I = VF – VP

35 El interés “I” es una cantidad de dinero. Existen dos tipos de interés: el interés simple y el interés compuesto.  Interés simple, el capital inicial no varía período a período, es decir, el cálculo del interés para un período no considera el interés que el capital ganó en el período anterior.  Interés compuesto, el interés que el capital gana en un período pasa a formar parte del capital para efectos del cálculo del interés en el período siguiente. A este proceso se le denomina Capitalización Nota: comparando ambos tipos de interés podemos decir que, en el interés simple no hay capitalización, en el interés compuesto si lo hay.

36 Para determinar el interés simple hay que considerar, el capital inicial “VP”, la tasa de interés ”i” y el tiempo “t”. Se calcula el monto del interés a través de la siguiente formula: I = VP* i * t Nota: Es importante hacer notar que existe una íntima relación entre la tasa “i” y el tiempo “t”. Por ejemplo, si la tasa es semestral, “t” tiene que ser número de semestres. Si la tasa es mensual, “t” tiene que ser número de meses y así sucesivamente. Interés Simple En este tipo de interés podemos también aplicar una fórmula para calcular rápidamente el monto al final: VF = VP + I VF = VP + VP * i * t VF = VP ( 1+ i * t)

37 Interés Simple - Fórmulas Monto de Intereses I = VP * i * t donde: I:Monto de interés ($) VP: Monto de capital principal ($) i:Tasa de interés por período (%) t: Número de períodos (días, meses, años, etc.) L. González Soza 37

38 Interés Simple - Ejemplos Ejemplo : Calcular el monto de interés que paga un préstamo de $500.000 al 1,5% mensual por 18 meses: Solución Capital:$500.,000 Tasa de interés:1,5% = 0,015 Tiempo:18 meses I = VP * i * t I = $500.000 * 0,015 * 18 I = $135.000 R: el monto de interés que paga un préstamo de $500.000 a la tasa señalada es de $135.000 L. González Soza 38

39 Interés Simple - Fórmulas Relación entre valor presente y valor futuro VF = VP + I VF = VP + VP*i*t VF = VP (1 + i * t) así la Fórmula es VF = VP (1 + i * t) Ejemplo : calcular el interés y el valor a pagar en 18 meses cuando se cumpla un préstamo por $500.000 al 1,5% mensual simple. a)Calcule el interés total que se pagará I = $500.000 * 0,015 * 18 = $135.000 b) Monto total a pagar VF = VP (1 + i * t) VF = $500.000 * (1 + 0,015 * 18) = $635.000 L. González Soza 39

40  L. González Soza 40

41  L. González Soza 41

42  L. González Soza 42

43 Interés Simple - Ejemplos Cálculo de Tiempo VF = VP (1 + i * t)  t = (VF/P -1)/i Ejemplo: calcule el tiempo necesario para que una deuda de $1.948.052 de convierta en $3.000.000 al 3% mensual: t = ($3.000.000/ $1.948.052 – 1)/0,03 = 18 meses L. González Soza 43

44 Interés Simple - Fórmulas Equivalencia de tasas: Tasa nominal o anual (i n ) = i p *n Donde n el número de períodos en un año. Igualmente, Tasa periódica (i p ) = i n /n L. González Soza 44

45 INTERÉS COMPUESTO – Idea…… Una persona invierte $1.000 a una tasa de interés compuesto mensual del 10%, durante un periodo de tres meses. Determine el monto a retirar luego de transcurrido el tiempo. L. González Soza 45 012 3 10% $1.000 $1.100 $1.331 $1.210 Fórmula

46 Interés Compuesto Relación entre valor presente (VP) y valor futuro (VF) L. González Soza 46 PeríodoCapital al inicio del período Interés del período Capital al final del período 1VPVP*iVP + VP*i = VP(1+i) 2VP(1+i)VP(1+i)*iVP(1+i)+VP(1+i)i=VP(1+i)(1+i)=VP(1+i) 2 3VP(1+i) 2 VP(1+i) 2 *iVP(1+i) 2 +VP(1+i) 2 i=VP(1+i) 2 (1+i)=VP(1+i) 3 * * nVP(1+i) n-1 VP(1+i) n-1 *iVP(1+i) n-1 +VP(1+i) n-1 i = VP(1+i) n-1 (1+i) = VP(1+i) n VF = VP(1+i) n

47 Interés Compuesto – Ejemplos Ejemplo: un depósito de $5.000.000 se mantiene por cuatro años en una financiera que capitaliza intereses y ofrece una tasa de interés del 1,5% mensual. ¿Cuánto se retira al final de los cuatro años? Desarrollo VF = $5.000.000*(1+0,015) 4*12 VF = $10.217.391 L. González Soza 47 VF = VP(1+i) n

48 Interés Compuesto - ejemplo Similarmente es posible determinar el VP a partir de la definición anterior:  VP = VF / (1 + i) n Ejemplo: ¿Cuánto debo invertir en la misma financiera anterior si quiero retirar $1.000.000 en 12 meses (i=1,5% mes)? VP=$1,000,000/(1.015) 12 =$836,387.42 L. González Soza 48 VF = VP(1+i) n

49 Interés Compuesto - Ejemplo Similarmente, despejando para obtener i  i = (VF / VP) 1/n – 1 Ejemplo: ¿Qué tasa de interés mensual triplica una inversión en un año? i = (3VP / VP) 1/12 – 1 = 3 1/12 – 1 = 0.0959 = 9.59% mensual L. González Soza 49 VF = VP(1+i) n

50 Interés Compuesto - Ejemplos Finalmente despejando para n  n = log(VF / VP) / log(1 + i) Ejemplo: ¿En cuánto tiempo se triplica una inversión al 3% mensual? n = log(3VP/VP) / log(1+0,03) = log(3)/log(1,03) = 37,17 meses L. González Soza 50 VF = VP(1+i) n

51 Ejemplo: L. González Soza 51

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53 Ejemplo: Algebra

54 Ejemplo:

55 L. González Soza 55

56 L. González Soza 56

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58 L. González Soza 58

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62 Solución siguiente lámina

63 L. González Soza 63

64 Método alternativo - solución de ecuaciones de 2° grado. L. González Soza 64 Ejemplo

65 L. González Soza 65 Ejemplo