APLICACIONES DE LAS PROBABILIDADES CONDICIONALES: Prof. Héctor Bejarano Benites.

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1 APLICACIONES DE LAS PROBABILIDADES CONDICIONALES: Prof. Héctor Bejarano Benites

2 APLICACIONES DE LAS PROBABILIDADES CONDICIONALES: - APLICACIONES DEL TEOREMA DE BAYES - EVALUACION DE PRUEBAS DE TAMIZAJE - EVALUACION DE FACTORES DE RIESGO DE UNA ENFERMEDAD

3 .. 1. APLICACIONES DEL TEOREMA DE BAYES

4 Ejemplo 1 de aplicación del teorema de Bayes La probabilidad de que una unidad de sangre proceda de un donante remunerado es de 0.67. Si el donante es remunerado, la prob. de que la unidad contenga el suero de hepatitis es 0.0144 Si el donante es no remunerado, la prob. de que la unidad tenga el suero de hepatitis es 0.0012 Si un paciente recibe una unidad de sangre y contrae el suero de hepatitis, ¿cuál es la probabilidad de que el donante sea remunerado?

5 APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BAYES R : Donante sea remunerado R’: Donante no es remunerado P(R)= 0.67, P( R’)=0.33 H : La unidad de sangre contiene suero de hepatitis H/R : Tenga hepatitis dado que es donante remunerado H/R’: Tenga hepatitis dado que no es donante remunerado P( H/R) = 0.0144; P( H/R’)= 0.0012. Por consiguiente: P( R)* P( H/R) P( R)*P( H/R) P( R/H) = ------------------------ = ------------------------------------ P (H) P (R)* P (H/R) + P (R’)* P( H/R’) 0.67*0.0144 P( R/H) = -------------------------------------- = 0.961 0.67*0.0144 + 0.33*0.0012 APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BAYES R : Donante sea remunerado R’: Donante no es remunerado P(R)= 0.67, P( R’)=0.33 H : La unidad de sangre contiene suero de hepatitis H/R : Tenga hepatitis dado que es donante remunerado H/R’: Tenga hepatitis dado que no es donante remunerado P( H/R) = 0.0144; P( H/R’)= 0.0012. Por consiguiente: P( R)* P( H/R) P( R)*P( H/R) P( R/H) = ------------------------ = ------------------------------------ P (H) P (R)* P (H/R) + P (R’)* P( H/R’) 0.67*0.0144 P( R/H) = -------------------------------------- = 0.961 0.67*0.0144 + 0.33*0.0012 R’ H RHRH R’  H R

6 Ejemplo 2 de aplicación del teorema de Bayes En la comunidad San Crespo la probabilidad de que una persona tenga tuberculosis es de 0.20. Dado que tiene TBC, la probabilidad de que este presente ciertos síntomas es de 0.35. Dado que no tiene TBC, la probabilidad de que este presente ciertos síntomas es de 0.10 Se elige una persona al azar y ciertos síntomas están presentes, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga tuberculosis?

7 APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BAYES T : Presente la enfermedad de TBC T’: No presente la enfermedad de TBC P(T)= 0.20, P(T’)=0.80 S : Presencia de ciertos síntomas S/T: Presencia de ciertos síntomas dado que tiene TBC S/T’: Presencia de ciertos síntomas dado que no tiene TBC P(S/T) = 0.35; P(S/T’)= 0.10. Por consiguiente: P(T)* P(S/T) P(T)* P(S/T) P(T/S) = ------------------------ = ------------------------------------ P(S) P(T)* P(S/T) + P(T’)* P(S/T’) 0.20*0.35 P(T/S) = -------------------------------------- = 0.47 0.20*0.35 + 0.80*0.10 APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BAYES T : Presente la enfermedad de TBC T’: No presente la enfermedad de TBC P(T)= 0.20, P(T’)=0.80 S : Presencia de ciertos síntomas S/T: Presencia de ciertos síntomas dado que tiene TBC S/T’: Presencia de ciertos síntomas dado que no tiene TBC P(S/T) = 0.35; P(S/T’)= 0.10. Por consiguiente: P(T)* P(S/T) P(T)* P(S/T) P(T/S) = ------------------------ = ------------------------------------ P(S) P(T)* P(S/T) + P(T’)* P(S/T’) 0.20*0.35 P(T/S) = -------------------------------------- = 0.47 0.20*0.35 + 0.80*0.10 T’ s TSTS T’  S T

8 EJEMPLO 3.- Supóngase que una persona se pone muy enferma en la mitad de la noche y le pide a su adormilada esposa que vaya a buscarle alguna medicina en el gabinete de los medicamentos, donde hay tipo A y B. Solo hay cuatro frascos en el gabinete; uno contiene A y los otros B. Si se toma A, hay el 90% de probabilidades de tener vértigos; pero si se toma B dichas probabilidades solamente es del 10%. Disgustada de verse despertada la esposa toma algunas píldoras y le da a su esposo sin saberse si es A ó B. Minutos después el enfermo tiene grandes vértigos. ¿Cuál es la probabilidad de que el medicamento tomado fuese A?

9 SOLUCION A : El frasco contiene el medicamento A; P(A) = 0.25 B : El frasco contiene el medicamento B; P(B) = 0.75 V: Tenga vértigos P(V) = P(A)*P(V/A) + P(B )*P(V/B )..............(1) V/A : P(V/A) = 0.9 B/A´ : P(V/B) = 0.1 reemplazando en (1): P(V)=(0.25)*(0.9)+(0.75)*(0.1)= 0.3 P(A )* P(V/A ) 0.25*0.9 P(A/V) = --------------------- = ----------------- = 0.75 P(V) 0.3

10 EJEMPLO 4.- Una enfermedad puede estar producido por dos virus A y B. En el laboratorio hay 3 tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos con el virus B. La probabilidad que el virus A produzca la enfermedad es de 1/3, que la produzca B es de 2/3. Se inocula un virus a un animal y contrae la enfermedad. ¿ Cuál es la probabilidad de que el virus que se inocule sea el B? SOLUCION n (  ) = 5 A : Sea con el virus A n(A) = 3 P(A) = 3/5 A´: Sea con el virus B n(B) = 2 P(A´) = 2/5 E: Contrae la enfermedad P(E) = P(A)*P(E/A) + P(A´ )*P(E/A´ )...(1) E/A : P(E/A) = 1/3 E/A´ : P(E/A´ ) = 2/3 reemplazando en (1): P(E) = (3/5)*(1/3) + (2/5)*(2/3) = 0.467 P(A´ )* P(E/A´ ) 2/5 * 2/3 P(A´/E) = --------------------- = ----------------- = 0.571 P(E´) 0.467

11 2. - EVALUACION DE UNA PRUEBA DE TAMIZAJE EN ESTUDIOS: TRANSVERSAL y CASO-CONTROL

12 Prueba de Tamizaje. Población aparentemente sana Aplica prueba dx Resultado + Resultado - V+F+V- F- Prueba confirmatoria Pasan a tratamiento Paradero desconocido No Aplica prueba dx ¿?

13 EVALUACION DE UNA PRUEBA DE TAMIZAJE EN UN ESTUDIO TRANSVERSAL. EJEMPLO: Supongamos que la prueba es aplicada a una muestra de 100 personas. Los resultados de esta prueba se presentan en la siguiente tabla: ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Resultado Estado de la Enfermedad TOTAL Prueba Presente (E ) Ausente (E’). Positiva (+) 7 (VP) 4 (FP) 11 Negativa (-) 3 (FN) 86 (VN) 89. TOTAL 10 90 N = 100 Se pide calcular la prevalencia, sensibilidad, especificidad, valor predictivo positivo y valor predictivo negativo de la prueba E : tiene la enfermedad P(E)= 10/100 = 0.1 P(+/E) = VP/(VP+FN) = 7/10 = 0.70 ( SENSIBILIDAD) P(-/ E’) = VN/(FP+VN) = 86/90 = 0.96 ( ESPECIFICIDAD) VP 7 VN 86 VPP= P(E /+)= --------------- = ----- = 0.64 ; VPN = P(E’ /-) = ------------- = -------=0.97 VP + FP 11 FN + VN 89

14 SENSIBILIDAD Verdaderos positivos 7 Falsos positivos 4 Falsos negativos 3 Verdaderos negativos 86 ENFERMEDAD Presente (E) Ausente (E’) Positivo (+) RESULTADO Negativo (-) SENSIBILIDAD = P(+/E) = 7 / 10 = 0.70  70% 100

15 ESPECIFICIDAD Verdaderos positivos 7 Falsos positivos 4 Falsos negativos 3 Verdaderos negativos 86 ENFERMEDAD Presente (E) Ausente (E’) Positivo (+) RESULTADO Negativo (-) ESPECIFICIDAD = p(- /E’) = 86 / 90 = 0.96  9 6% 100

16 VALOR PREDICTIVO POSITIVO Verdaderos positivos 7 Falsos positivos 4 Falsos negativos 3 Verdaderos negativos 86 EPILEPSIA Presente (E) Ausente (E’) Positivo (+) EEG Negativo (-) VALOR PREDICTIVO POSITIVO = 7/ 11 = 0.64  64% 800

17 Cálculo del VP+ según elaboración tabla 2x2 Tamaño de la población de estudio de 5000 niños. Si la epilepsia tiene una prevalencia de 20/ 1000 Encefalograma (EEG) tiene una sensibilidad de 98% y especificidad de 99% Si de esta población se elige un niño al azar y resulta con EEG positivo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga epilepsia? (VPP)

18 EVALUACION DE UNA PRUEBA DE TAMIZAJE EN UN ESTUDIO CASO- CONTROL Resultados de una prueba de tamizaje según un estudio caso - control ------------------------------------------------------------------------------------------- Resultado Estado de la Enfermedad Prueba Presente (casos) E Ausente ( controles) E’ Positiva (+) Verdaderos Positivos(VP) Falsos Positivos (FP) Negativa (- ) Falsos Negativo (FN) Verdadero Negativo (VN) TOTAL VP+FN FP+VN Sea E: tiene la enfermedad y P(E): Prev. Real enfermedad (TRANSVERAL) P(+/ E ) = VP / (VP+FN) : SENSIBILIDAD P(- / E ) = FN / (VP+FN) : 1-SENSIBILIDAD P(+/ E’) = FP / (FP+VN) : 1-ESPECIFICIDAD P(- / E’) = VN / (FP+VN) : ESPECIFICIDAD INTERES : P(E/+)= VVP =? PREV. *SENSIB. VPP= P(E/+)= ------------------------------------------------------------- PREV. *SENSIB + (1-PREV.) *(1-ESPECIF.)

19 EJEMPLO Supongamos que la prueba es aplicada a una muestra de 1000 personas que tienen la enfermedad y una muestra de 1000 que no la tienen. Los resultados de esta prueba se presentan en la siguiente tabla. ------------------------------------------------------------------------------------- Resultado Estado de la Enfermedad Prueba Presente (casos)E Ausente ( controles) E’ Positiva (+) 950 (VP) 10 (FP) Negativa (-) 50 (FN) 990 (VN) TOTAL 1000 1000 Suponemos que la prevalencia de dicha enfermedad en la comunidad es del 10%. Se pide calcular la sensibilidad, especificidad y el valor predictivo positivo de la prueba E : tiene la enfermedad P(E)= 0.1 P(+/E) = VP/(VP+FN) = 950/1000 = 0.95 ( SENSIBILIDAD) P(-/ E’) = VN/(FP+VN) = 990/1000 = 0.99 ( ESPECIFICIDAD) 0.1 * 0.95 VPP= P(E/+)= ------------------------------------------ = 0.913 0.1*0.95 + (1-0.1) *(1-0.99) EJEMPLO Supongamos que la prueba es aplicada a una muestra de 1000 personas que tienen la enfermedad y una muestra de 1000 que no la tienen. Los resultados de esta prueba se presentan en la siguiente tabla. ------------------------------------------------------------------------------------- Resultado Estado de la Enfermedad Prueba Presente (casos)E Ausente ( controles) E’ Positiva (+) 950 (VP) 10 (FP) Negativa (-) 50 (FN) 990 (VN) TOTAL 1000 1000 Suponemos que la prevalencia de dicha enfermedad en la comunidad es del 10%. Se pide calcular la sensibilidad, especificidad y el valor predictivo positivo de la prueba E : tiene la enfermedad P(E)= 0.1 P(+/E) = VP/(VP+FN) = 950/1000 = 0.95 ( SENSIBILIDAD) P(-/ E’) = VN/(FP+VN) = 990/1000 = 0.99 ( ESPECIFICIDAD) 0.1 * 0.95 VPP= P(E/+)= ------------------------------------------ = 0.913 0.1*0.95 + (1-0.1) *(1-0.99)

20 EN GENERAL RELACION ENTRE LA PREVALENCIA DE ENFERMEDAD Y EL VALOR PREDICTIVO POSITIVO DE UNA PRUEBA --------------------------------------------------------------------------------------------------------- PREVALENCIA VALOR PREDICTIVO POSITIVO DE UNA PRUEBA DE SENSIBILIDAD Y SENSIBILIDAD Y ENFERMEDAD ESPECIFICIDAD ESPECIFICIDAD (%) DEL 95% DEL 99% --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.1 1.9 9.0 1.0 16.1 50.0 2.0 27.9 66.9 5.0 50.0 83.9 50.0 95.0 99.0 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Del cuadro se observa que la relación positiva entre la prevalencia de la enfermedad y el valor predictivo positivo de la prueba cuando se mantiene constante la sensibilidad y especificidad a niveles del 95% y 99%, es decir, cuando de incrementa el valor predictivo positivo.

21 3. EVALUACION DE FACTORES DE RIESGO EN ESTUDIO COMPARATIVO

22 EN LOS ESTUDIOS EPIDEMIOLOGICOS ORIENTADOS A LA BUSQUEDA DE FACTORES DE RIESGO, SE DEBEN ESTABLECER MEDICIONES QUE EXPRESEN EL GRADO O LA FUERZA DE ASOCIACION ENTRE LOS FACTORES SOSPECHOSOS Y LA ENFERMEDAD EN CUESTION. FACTORES SOSPECHOSOS ENFERMEDAD EN CUESTION EDAD JOVEN DE LA MADRE BAJO PESO AL NACER  20 (MADRE JOVEN)  2500 (BAJO PESO) > 20 > 2500 EXPOSICIóN A PESTICIDA ABORTO SI SI NO NO IRRADIACION LEUCEMIA > 5 radiaciones SI < 5 radiaciones NO HABITO DE FUMAR Ca PULMON FUMA SI NO FUMA NO CONSUMO DE ESTROGENOS Ca MAMA SI SI NO NO…..

23 LAS MEDIDAS DE FRECUENCIA RELATIVA SOLAMENTE EXPRESAN EL RIESGO ABSOLUTO DE ENFERMAR. SE TIENEN DOS TIPOS BASICOS DE MEDICIONES PARA MEDIR LA FUERZA DE ASOCIACION:.- RIESGO RELATIVO y.- ODDS RATIO LA FORMA DE OBTENER MEDIDAS DE RIESGO DEPENDE DEL TIPO DE ESTUDIO QUE SE TIENE:.- PROSPECTIVO (o COHORTE).- RETROSPECTIVO (CASO – CONTROL)

24 EVALUACION DE FACTORES DE RIESGO EN ESTUDIO COMPARATIVO DE COHORTE (prospectivo) FACTOR (Radiación) ENFERMEDAD (Leucemia) SI (E) NO (E’) TOTAL SI (F) 10 9901000 NO (F’) 1 9991000 INTERES: EVALUAR SI EL FACTOR RADIACION ES UN FACTOR DE RIESGO DE HACER LEUCEMIA P(E/F) = 10/1000 : riesgo de hacer la enfermedad en aquellos que tienen el factor P(E/F’) = 1/1000 : riesgo de hacer la enfermedad en aquellos que no tienen el factor

25 P (E/F) 10/1000 RR = --------- = ------------ = 10 P (E/F’) 1/1000 RR = 10 : El riesgo de hacer leucemia en aquellos que están expuesto a la radiación es 10 veces más en relación a los que no están expuestos NOTA: Si : RR < 1 : FACTOR PROTECTOR RR = 1 : SIN EFECTO RR > 1 : FACTOR DE RIESGO

26 EVALUACION DE FACTORES DE RIESGO EN ESTUDIO COMPARATIVO DE CASO - CONTROL (retrospectivo) FACTOR Habito Fumar ENFERMEDAD (Cáncer Pulmón) SI(E) NO (E’) SI (F) 70 20 NO (F’) 30 80 TOTAL 100 100 INTERES: ¿FUMAR CIGARRILLO ES UN FACTOR DE RIESGO DE HACER CANCER PULMON? ODDS : Es una medida de riesgo de experimentar la enfermedad en estudio cuando el factor está presente. P(A) ODDS = --------- : razón de probabilidad de cualquier evento P(A’) sobre la probabilidad del complemento.

27 P (F/E) 70/100 7 ODDS 1 = -------- = ----------- = ---- P (F’/E) 30/100 3 P (F/E’) 20/100 2 ODDS 2 = -------- = ----------- = ---- P (F’/E’) 80/100 8 ODDS 1 7/3 OR = ----------- = ------- = 9.3 ODDS 2 2/8 Interpretación del OR El riesgo de hacer cáncer de pulmón en los que fuman cigarrillos es 9.3 veces mas en relación a los que no fuman.

28 OTROS EJEMPLOS: Una enfermedad puede estar producido por tres virus A,B, y C. En el laboratorio hay 3 tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos con el virus B y 3 tubos con el virus C. La probabilidad que el virus A produzca la enfermedad es de 1/3, que la produzca B es de 2/3 y que la produzca el virus C es de 1/7. Se inocula un virus a un animal y contrae la enfermedad. ¿ Cuál es la probabilidad de que el virus que se inocule sea el C? SOLUCION n (  ) = 8 A: Sea con el virus A n(A) = 3 P(A) = 3/8 B: Sea con el virus B n(B) = 2 P(B) = 2/8 C: Sea con el virus C n(C) = 3 P(C) = 3/8 E: Contare la enfermedad P(E) = P(A)*P(E/A) + P(B)*P(E/B) + P(C)*P(E/C)...(1) E/A : P(E/A) = 1/3 E/B : P(E/B) = 2/3 E/C : P(E/C) = 1/7 reemplazando en (1): P(E) = (3/8)*(1/3) + (2/8)*(2/3) + (3/8)*(1/7) = 0.3452 P(C)* P(E/C) 3/8 * 1/7 P(C/E) = ------------------- = ----------------- = 0.155 P(C) 0.3452

29 EJEMPLO En un bioterio existen tres razas de ratones (R1, R2, R3) en las proporciones: 25%, 30% y 45% respectivamente. Sabemos que cierta enfermedad ataca al 5% de los ratones de la raza R1, al 10% de R2 y al 15% de los de R3. Se elige un ratón al azar. Si el ratón elegido está afectado de la enfermedad. Cuál es la probabilidad de que sea de la raza R1? SOLUCION Sea: A1: Sea de la raza R1 P(A1) = 0.25 A2: Sea de la raza R2 P(A2) = 0.30 A3: Sea de la raza R3 P(A3) = 0.45 B: tiene cierta enfermedad P(B) = ? B/A1: tiene la enfer. Dado raza1 P(B/A1)= 0.05 B/A2: tiene la enfer. Dado raza2 P(B/A2)= 0.10 B/A3: tiene la enfer. Dado raza3 P(B/A3)= 0.15 A1/B: sea raza1 dado tiene enfer. P(A1/B) = ? 0.25*0.05 P(A1/B) = -------------------------------------------- = 0.114 0.25*0.05 + 0.30*0.10+0.45*0.15 INTERPRETACION : Si el ratón elegido está afectado de la enfermedad, la probabilidad de que sea de la raza R1 es de 0.114