Teoría cinética de los gases UTN Argentina2019 G Bender.

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1 Teoría cinética de los gases UTN Argentina2019 G Bender

2 Contenido Modelo del gas ideal Interpretación microsocópica de la temperatura Calor específico de un gas ideal Procesos adiabáticos para un gas ideal Equipartición de la energía Ley de distribución de Boltzmann

3 Modelo molecular del gas ideal El número de moléculas es grande, así como la separación promedio entre ellas comparada con sus dimensiones. Las moléculas obedecen las leyes del movimiento de Newton, pero como un todo se mueven aleatoriamente. Las moléculas están sujetas a colisiones elásticas entre ellas y con las paredes del recipiente que en promedio son elásticas. Las fuerzas entre moléculas son despreciables excepto durante una colisión. El gas bajo consideración es una sustancia pura. Al desarrollar este modelo, haremos las siguientes suposiciones:

4 Una caja cúbica con lados de longitud d que contiene un gas ideal. Una molécula choca elásticamente con la pared del recipiente.  p x =  mv x  (mv x ) =  2 mv x F 1  t  p = 2 mv x xx

5 El cambio de momento debido a una molécula es :  p x =  mv x  (mv x ) =  2 mv x La fuerza que se ejerce en la pared es: F 1  t  p = 2 mv x Así, la fuerza de cada partícula sobre la pared es: Presten atención al 1/3!!

6 Si usamos el resultado de conservación de energia…. … y la fuerza que hacen sobre la pared Reagrupando y usando que n=N/V

7 Interpretación molecular de la temperatura Es posible ver ahora el significado de la temperatura si escribimos la ecuación anterior la escribimos como: Comparándola con la ecuación de estado de un gas ideal: Encontramos que PV = Nk B TPV = nRT Definimos la constante de Boltzmann k= R/N A

8 Podemos despejar la energía cinética molecular como: Puesto que, El siguiente teorema, llamado el teorema de la equipartición de la energía, establece que: La energía de un sistema en equilibrio térmico se divide por igual entre todos los grados de libertad. se concluye que

9 La energía cinética traslacional de N moléculas es simplemente N veces la energía promedio por molécula, entonces: La raíz cuadrada de se conoce como velocidad cuadrática media de las moléculas (rms, por sus siglas en inglés). Para la velocidad rms tenemos: Esto es la energía interna..

10 Gas Masa molecular (g/mol) v rms a 20ºC (m/s) H2H2 2.021,902 He4.01,352 H2OH2O18637 Ne20.1603 N 2 o CO28511 NO30494 CO 2 44408 SO 2 64338 Algunas velocidades rms

11 Ejemplo Un tanque usado para inflar globos de helio tiene un volumen de 0.3 m 3 y contiene 2 moles de helio a 20ºC. Suponga que el helio se comporta como un gas ideal a)¿Cuál es la energía cinética traslacional total de las moléculas del gas? b)¿Cuál es la energía promedio por molécula?

12 Tarea Un recipiente cúbico sellado de 20.0 cm de lado contiene tres veces el número de Avogadro de moléculas de He (masa molecular = 4 g/mol, v rms = 1352 m/s) a una temperatura de 20.0°C. Encuentre la fuerza ejercida por el gas sobre una de las paredes del recipiente.

13 Para discutir…. ¿Quiénes viajan con más rapidez en un recinto, en promedio, las moléculas de oxígeno o las de nitrógeno? Cuando se calienta un gas, ¿permanece igual la proporción de moléculas rápidas, decrece o aumente? ¿podemos asignar temperatura a una sola molécula? Explique su respuesta.

14 Calor específico de un gas ideal Se definen dos calores específicos para dos procesos que ocurren con frecuencia: cambios a volumen constante y cambios a presión constante. Definimos los calores específicos asociados a estos procesos mediante las siguientes ecuaciones: Q = nC V  T (volumen constante) Q = nC P  T (presión constante) Donde C V es el calor específico molar a volumen constante, y C P es el calor específico molar a presión constante.

15 La energía térmica total U de N moléculas o (n moles) de un gas monoatómico ideal es: Si se transfiere calor al sistema a volumen constante, el trabajo realizado por el sistema es cero. Por lo tanto de la primera ley tenemos que: El proceso a volumen constante de i a f se describe en la figura, donde DT es la diferencia de temperatura entre las dos isotermas.

16 De la definición de calor específico dada antes obtenemos El cambio de energía interna de un gas ideal puede expresarse como: En el límite de cambios infinitesimales encontramos que el calor específico molar a volumen constante es igual a

17 Supongamos ahora que el gas se toma a lo largo de la trayectoria de presión constante i  f‘, como se muestra en la figura. El calor que se transfiere al gas en este proceso es Q = nC P  T. Como en este proceso el volumen aumenta, el trabajo realizado por el gas es p  V. La aplicación de la primera ley produce:  U = Q  W= nC P  T  p  V(1) En este caso la energía añadida al gas o extraída del gas se transfiere en dos formas. Parte de ella realiza el trabajo sobre los alrededores mediante el movimiento del émbolo, y el resto se transfiere como energía térmica del gas.

18 Pero el cambio de energía interna correspondiente al proceso i  f ‘ es igual al cambio en el proceso i  f debido a que U depende sólo de la temperatura para un gas ideal, y  T es la misma en cada proceso. Además, puesto que P  V = nR  T. La sustitución de este valor para P  V en la ecuación (1) con  U = nC V  T produce nC V  T = nC P  T  nR  T C P – C V = R Esta expresión se aplica a cualquier gas ideal. Indica que el calor específico molar de un gas ideal a presión constante es mayor que el calor específico molar a volumen constante en una cantidad R. Puesto que, entonces. La razón de las capacidades caloríficas es una cantidad adimensional  :

19 Calores específicos

20 Ejemplo Un cilindro contiene 3 moles de gas He a una temperatura de 300 K a) si el gas de calienta a volumen constante ¿cuánta energía debe transferirse por calor al gas para incrementar su temperatura hasta 500 K? b) ¿cuánta energía debe transferirse por calor al gas a presión constante para incrementar su temperatura hasta 500 K? c) ¿cuál es el trabajo hecho por el gas en ese proceso isobárico? A volumen constante: Q 1 = n C V  T = (3)(12.5)(200) = 7.5 x 10 3 J A presión constante: Q 2 = n C P  T = (3)(20.8)(200) = 12.5 x 10 3 J El trabajo es:W = Q 2 – Q 1 = 5 x 10 3 J También el trabajo es:W = P  V = nR  T = (3)(8.314)(200) = 5 x 10 3 J

21 Tarea Un mol de gas hidrógeno se calienta a presión constante desde 300 hasta 420 K. Calcule a) la energía transferida por calor al gas, b) el aumento en su energía interna, y c) el trabajo hecho por el gas. C p = 28.8, C V = 20.4 A volumen constante: Q = n C P  T A presión constante: U = n C V  T El trabajo es:U = Q – W

22 Procesos adiabáticos para un gas ideal Un proceso adiabático reversible es aquel que es suficientemente lento para permitir que el sistema siempre esté cerca del equilibrio, pero rápido comparado con el tiempo que tarda el sistema en intercambiar energía térmica con sus alrededores. Consideremos un cambio infinitesimal en el volumen igual a dV y el cambio infinitesimal en la temperatura como dT. El trabajo efectuado por el gas es PdV. Puesto que la energía interna de un gas ideal depende sólo de la temperatura, el cambio en la energía interna es dU = nC V dT

23 Por lo tanto la ecuación de la primera ley, se vuelve dU = nC V dT =  PdV Tomando la diferencial total de la ecuación de estado del gas ideal, PV = nRT, vemos que PdV + VdP = nRdT Eliminando dT de las dos ecuaciones PdV + VdP =  RPdV/C V De aquí es fácil llegar a

24 integrando se obtiene ln P +  ln V = constante o PV  = constante Mediante el empleo de la ecuación del gas ideal se puede llegar fácilmente a TV  = constante Diagrama PV para una expansión adiabática reversible. T f < T i Isotermas Adiabáticas P V PiPi PfPf ViVi VfVf i fTiTi TfTf

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26 Ejemplo El aire en un cilindro de un motor Diesel a 20°C se comprime desde una presión inicial de 1 atm y un volumen de 800 cm 3 hasta un volumen de 60 cm 3. Suponga que el aire se comporta como un gas ideal con  = 1.40 y que la compresión es adiabática. Encuentre la presión final y la temperatura. P 1 V 1  = P 2 V 2  P 1 V 1 /T 1 = P 2 V 2 /T 2

27 Tarea Dos moles de un gas ideal (  = 1.40) se expanden lenta y adiabáticamente desde una presión de 5.00 atm y un volumen de 12.0 L hasta un volumen final de 30.0 L. a) ¿Cuál es la presión final del gas? b) ¿Cuáles son las temperaturas inicial y final? c) Encuentre Q, W y  U. P 1 V 1  = P 2 V 2  P 1 V 1 /T 1 = P 2 V 2 /T 2 dU = nC V dT =  PdV

28 Equipartición de la energía Consideremos un gas diatómico, en el cual las moléculas tiene la forma de una pesa (figura). En este modelo, el centro de masa de la molécula puede trasladarse en las tres direcciones x, y y z. Además, la molécula puede girar en torno de tres ejes mutuamente perpendiculares. Si los átomos de consideran como masas puntuales, entonces I y es igual a cero. Así pues, hay cinco grados de libertad: tres asociados al movimiento de traslación y dos asociados al movimiento de rotación. Puesto que cada grado de libertad contribuye, en promedio, con ½ k B T de energía por molécula, la energía total de N moléculas es

29 Podemos usar este resultado y la ecuación de C V para obtener el calor específico molar a volumen constante: De acuerdo con los resultados anteriores, encontramos que

30 El calor específico molar del hidrógeno como una función de la temperatura.

31 Distribucion de velocidades Maxwell Boltzmann

32 Que es una distribucion? Cuantas partículas de cada energía hay en un gas Una función de distribución, (una densidad de probabilidad) permite calcular la probabilidad de hallar una partícula en un determinado estado. Queremos ver cuál es la distribución de energías de un gas ideal…o dicho de otro modo el nro de partículas con cada energía Veamos un ejemplo sencillo para empezar…

33 Variación de la presión en la atmósfera Un gas ideal obedece la relación PV = Nk B T. Es conveniente rescribir la ecuación en función del número de partículas por unidad de volumen del gas, n = N/V. Nuestra meta es determinar cómo cambia n V en nuestra atmósfera. Podemos expresar la ley del gas ideal como P = n k B T. La presión en la atmósfera disminuye a medida que aumenta la altitud debido a que una capa de aire dada tiene que soportar el peso de toda la atmósfera sobre ella; cuanto mayor sea la altitud, tanto menor será el peso del aire sobre esa capa, y por tanto menor la presión.

34 Si la masa de una molécula de gas en la capa es m, y hay un total de N moléculas en la capa, entonces el peso de la capa es peso = mgN = mgnV = mgnAdy. Para que esté en equilibrio, vemos que PA – (P + dP) A = mgnAdy … o sea…… dP = mgndy Como P = nk B T, y ya que T es constante, vemos que dP = k B Tdn.

35 Al sustituir esto en la expresión anterior, obtenemos Integrando se obtiene: n 0 es el nro de partículas en y = 0..(en el piso)

36 Debido a que la presión es p = nk B T, entonces donde p 0 = n 0 k B T. Como nuestra atmósfera contiene diferentes gases, cada uno con diferentes masas moleculares, uno encuentra una concentración más alta de moléculas más pesadas a alturas más bajas, en tanto que las moléculas más ligeras se encuentran a mayores alturas.

37 Concentración de gases en la atmósfera Altura concentración

38 Ejemplo ¿Cual es la densidad numérica del aire a una altura de 11.0 km comparada con la densidad numérica al nivel del mar? Suponga que la masa molecular promedio es de 28.9 u = 4.8 x 10 –26 kg, k B = 1.38 x 10 –23 J/K. La presión al nivel del mar es P 0 = 1 atm = 1.013 x 10 5 Pa. P 0 = n 0 k B T.

39 Tarea ¿Cual es la presión del aire a una altura de 1600m, 2400 m y 10000 m en atm y Pa? Suponga que la masa molecular promedio es de 28.9 u = 4.8 x 10 –26 kg, k B = 1.38 x 10 –23 J/K.

40 Ley de distribución de Boltzmann A medida que examinemos la distribución de partículas en el espacio encontraremos que las partículas se distribuyen por sí solas entre estados de energía diferente de un modo específico el cual depende exponencialmente de la energía, como fue observado por primera vez por Maxwell y ampliado por Boltzmann.

41 La función exponencial puede interpretarse como la distribución de probabilidad que produce la probabilidad relativa de encontrar una molécula de gas a cierta altura y. De este modo, la distribución de probabilidad p(y) es proporcional a la distribución de densidad n(y). Esto nos permite determinar muchas propiedades del gas, como la fracción de moléculas debajo cierta altura o la energía potencial promedio de una molécula. La altura promedio de una molécula en la atmósfera a la temperatura T. La expresión para esa altura promedio es:

42 Después de efectuar las integraciones indicadas, encontramos : Con un procedimiento similar podemos determinar la energía potencial gravitacional promedio de una molécula de un gas. Debido a que la energía potencial gravitacional de una molécula a una altura y es U = mgy, vemos que U = mg(k B T /mg) = k B T. Esto muestra que la energía potencial gravitacional promedio de una molécula depende solo de la temperatura y no de m o g.

43 Distribución de velocidades Boltzmann Como la energía potencial gravitacional de una molécula de altura y es U = mgy, podemos expresar la ley de distribución como Esto significa que las moléculas en equilibrio térmico se distribuyen en el espacio con una probabilidad que depende de la energía potencial gravitacional de acuerdo con un factor

44 Esto puede expresarse en tres dimensiones, pero observando que la energía potencial gravitacional de una partícula depende en general de tres coordenadas. Es decir, U(x,y,z), por lo que la distribución de las partículas en el espacio es: Este tipo de distribución se aplica a cualquier energía que las partículas tengan, como la energía cinética. En general el número de relativo de partículas que tienen energía E es Esta se conoce como ley de distribución de Boltzmann y es importante al describir la mecánica estadística de un gran número de partículas.

45 Distribución de velocidades moleculares Si N es el número total de moléculas, entonces en número de moléculas con velocidades entre v y v + dv es dN = N v dv. Este número también es igual al área del rectángulo sombreado en la figura La expresión fundamental que describe la distribución más probable de velocidades de N moléculas de gas es: Podemos interpretar la función a partir de su grafico

46 Como se indica en la figura, la velocidad promedio, es un poco menor que la velocidad rms. La velocidad más probable, v mp, es la velocidad a la cual la curva de distribución alcanza un máximo. Utilizando la ecuación anterior encontramos que La ley de distribución de Maxwell-Boltzmann muestra que la distribución de velocidades moleculares de un gas depende de la masa así como de la temperatura. A una temperatura dada, la fracción de partículas con velocidades que exceden un valor fijo aumenta a medida que la masa disminuye. Esto explica qué las moléculas más ligeras, como el hidrógeno y el helio, escapan con más facilidad de la atmósfera de la tierra que las moléculas más pesadas, como el nitrógeno y el oxígeno.

47 Función de distribución para N= 10 5 moléculas, a 300 K y 900 K. 300 K 900 K v RMS v prom v mp m/s NvNv

48 Ejemplo Una muestra de 0.5 moles de H está a 300 K, encuentre la rapidez promedio, rms y más probable. Encontrar el número de moléculas con velocidad entre 400 y 401 m/s,

49 tarea A que temperatura la rapidez promedio de los átomos de helio sería igual a a) la velocidda de escape de la tierra 1.2x10 4, b) la rapidez de escape de la Luna 2.37x10 3, m He = 6.64x10 -27 kg. k B = 1.38 x 10 –23 J/K

50 Aparato de haz molecular Vacío Haz de moléculas Gas

51 Selector de velocidades v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 v5v5 rotación detector motor colimador Horno de moléculas

52 Ejemplo Una mezcla de dos gases se difunde a través de un filtro con rapidez proporcional a la rapidez rms de los gases. a) encuentre la relación de la rapidez para los dos isótopos de 35 Cl y 37 Cl conforme se difunden a través del aire. b) ¿cuál isótopo se mueve más rápido?

53 Ejemplo Nueve partículas tienen rapidez de 5, 8, 12, 12, 12, 14, 14, 17, 20 m/s. a) Encuentre la rapidez promedio. b) encuentre la rapidez rms. b) Encuentre la rapidez mas probable.

54 Tarea Doce partículas tienen rapidez de 34, 36, 37, 37, 40, 40, 40, 42, 42, 43, 44, 45 m/s. a) Encuentre la rapidez promedio. b) encuentre la rapidez rms. c) Encuentre la rapidez mas probable.