Distribuciones continuas

Presentación del tema: "Distribuciones continuas"— Transcripción de la presentación:

1 Distribuciones continuas
de probabilidad

2 Recordamos que una variable aleatoria continua es una variable cuyo valor no puede predecirse con exactitud (aunque sí en términos “probabilísticos”, es decir, con determinado grado de incertidumbre) y que los valores que puede tomar son todos los números de un intervalo de números reales con más de un elemento.

3 y calculamos los porcentajes.
Ejemplo 1: Estudiamos el peso de los ejemplares de una cierta especie de pájaros; para ello, tomamos una muestra, agrupamos los datos en intervalos, y calculamos los porcentajes. % 3 8 20 40 23 5 2 100 40 20 150 155 160 165 170 175 180 185 Peso

4 tenga un peso superior a 170?
% 3 8 20 40 23 5 2 100 40 20 150 155 160 165 170 175 180 185 Peso ¿Cuál es la probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

5 tenga un peso superior a 170?
¿Cuál es la probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? Función de densidad % y = f(x) 170 Peso 170 Esa área es la probabilidad pedida; también puede interpretarse como el porcentaje total de pájaros (no sólo de mi muestra) con un peso superior a 170.

6 tenga un peso superior a 170?
¿Cuál es la probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? Función de densidad % y = f(x) 170 Peso 170 Si conocemos la expresión f(x), entonces el área se calcula como

7 DEFINICION (Función de densidad). Dada una variable
aleatoria continua X, decimos que f(x) es una función de densidad de X, si 1.- f(x)≥0 para todo valor de x 2.- 3.-

8 En estas condiciones, P(a ≤ X ≤ b) (es decir, la probabilidad de que
la variable X tome un valor entre los valores a y b) se calcula como: f(x) a b

9 IMPORTANTE: Por lo tanto, la probabilidad de que la variable X tome un valor determinado, digamos a, es CERO: También,

10 DEFINICION (Función de distribución). Dada una
variable aleatoria continua X, con función de densidad f(x), la función de distribución F(x) es la función que para cada valor de x nos da la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que x:

11 La función de distribución cumple:
La derivada de la función de distribución, es la función de densidad. 2. Se verifica:

12 MEDIA, VARIANZA, DESVIACION TIPICA
Variable aleatoria discreta X: Variable aleatoria continua X:

13 MEDIA, VARIANZA, DESVIACION TIPICA
Variable aleatoria discreta X: Variable aleatoria continua X: DESVIACION ESTÁNDAR (TÍPICA):

14 PRINCIPALES DISTRIBUCIONES CONTINUAS
Distribución Uniforme. Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución uniforme en el intervalo (a, b), a < b, si su función de densidad de probabilidad f está definida como Se tiene b a

15 Ejemplo 2. Se sabe que X es una variable aleatoria uniformemente distribuida entre 10 y 20. Trazar la gráfica de la función de densidad. Determinar P(X<15). Calcular P(12  X  18). Hallar el valor esperado, E(X). Encontrar la desviación estándar de X.

16 Distribución normal Sin duda la distribución continua de probabilidad más importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución normal, gaussiana o de Laplace- Gauss. Fue descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma distribución llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809), en relación con la teoría de los errores de observación astronómica y física. Pierre Simon de Laplace ( ) Karl F. Gauss ( )

17 Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,
Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...). Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen, ... Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco. Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media. Y en general cualquier característica que se obtenga como suma o promedio de muchos términos.  Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson se aproximan a la normal. Distribuciones binomiales con n grande (n>30) y ‘p ni pequeño’ (np > 5) ‘ni grande’ (n(1-p) > 5).

18 Distribución normal o gaussiana.
Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ, y la desviación estándar o típica, σ. Su función de densidad es: La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas por sus parámetros μ y σ.

19 Características de la distribución Normal
Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas Simétrica con respecto a la media () donde coinciden la mediana (Md) y la moda (Mo ) Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores    Puntos de inflexión     +   -   +  , Mo, Md

20 Distribución normal con
=0 para varios valores s 1.6 1.2 s=0.25 s=0.5 s=1 f(x) 0.8 0.4 -2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50 x

21 Curvas normales con distintas medias y desviaciones estándar.
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Curvas normales con distintas medias y desviaciones estándar. 9

22 La distribución normal con media μ y desviación estándar σ se denota como N(μ,σ)
Interpretación geométrica: Podemos interpretar la media como un factor de traslación. Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión,…

23 N(μ, σ): Interpretación probabilista
Entre la media y una desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 68%. Entre la media y dos desviaciones típicas aprox. 95% Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están… a distancia σ,  tenemos probabilidad 68% a distancia 2σ,  tenemos probabilidad 95% a distancia 3σ  tenemos probabilidad 99%

24 En general, no podemos calcular analíticamente el valor de F(x).
Podemos obtener la función de distribución F(x) integrando la función de densidad de probabilidad: De modo que la probabilidad de una variable aleatoria normal X en un intervalo a  x  b es: En particular: En general, no podemos calcular analíticamente el valor de F(x).

25 Es una traslación, y un cambio de escala de la variable original.
¿Cómo calcular probabilidades asociadas a una curva normal específica? Se tabulan algunos valores de F(x), pero dado que tanto  como  pueden asumir infinitos valores, lo que hace impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles distribuciones normales, se utiliza la distribución normal estándar o tipificada. x -  Se define la variable z =  Es una traslación, y un cambio de escala de la variable original.

26 La nueva variable Z tiene distribución NORMAL con media  = 0 y desviación estándar  = 1
Recordemos de nuevo que en cualquier distribución normal las probabilidades delimitadas entre : µ  es 68 % µ  2 es 95 % µ  3 es 99 % 68% 99% 95% 68% 95% 99% z

27 Estandarización. Dada una variable con media μ y desviación estándar σ, se denomina valor estandarizado z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones estándars, es decir: En el caso de una variable X normal, la interpretación es clara: asigna a todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la misma probabilidad por debajo. Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.

28 Ejemplo 3. Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes y se asignará al que tenga mejor expediente académico: El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(6,1). El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(70,10). No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan de modo normal, podemos estandarizar y observar las puntuaciones sobre una distribución de referencia N(0,1). Como zA > zB, podemos decir que el porcentaje de compañeros del mismo sistema de estudios que ha sido superado en calificación por el estudiante A, es mayor que el que ha sido superado por B. En principio A es mejor candidato para la beca.

29 Apliquemos el cambio de variable estandarizada a la función de distribución F(x):
Las probabilidades de la variable estandarizada Z están tabuladas para diferentes valores de la variable. Para calcular probabilidades, una vez transformado el valor x de la variable X en el valor z de la variable Z, se busca en una tabla el área correspondiente.

30 Características de la distribución normal estandar:
No depende de ningún parámetro. Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación estándar es 1. La gráfica de   (z)  es simétrica respecto al eje de las ordenadas y tiene su máximo en este eje. Tiene dos puntos de inflexión en  z =1 y  z = -1.

31 Hay varios tipos de tablas de la distribución normal
La que se explica aquí representa las áreas para los diferentes valores de z desde 0 hasta +∞ Los valores negativos de z NO están tabulados, ya que la distribución es simétrica +

32 *Margen izquierdo : Los enteros de z y su primer decimal.
La tabla consta de: * Margen superior: segundo decimal * Cuerpo de la tabla: áreas correspondientes, acumuladas, desde 0 hasta 3.99 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

33 EJEMPLOS. 4.-¿Cuál es la probabilidad de que un
valor de Z esté entre 0 y -2.03? 5.-¿Cuál es la probabilidad de que un valor de Z esté entre y +2.03? 7. Hallar P ( < Z < ) 6. Hallar P( Z >1.25 ) 8. Hallar P ( 0.34 < Z < 2.30 )

34 ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de Z esté entre 0 y -2.03?
Ejemplo 4. ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de Z esté entre 0 y -2.03? ? Cómo la curva es simétrica P (-2.03 < Z< 0) = P (0 < Z < 2.03) z

35 ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de Z esté entre 0 y -2.03?
Ejemplo 4. ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de Z esté entre 0 y -2.03? Se busca en la tabla el área correspondiente a z = 2.03 1 2 3 4 1.8 1.9 2.0 2.1 47. 88% z

36 Ejemplo 5. ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de Z esté entre y 2.03 ? En el ejemplo 1, vimos que la probabilidad de que Z estuviera entre 0 y 2.03 es La misma área hay entre 0 y , por lo tanto P ( -2.03< Z< 2.03) = 47.88% ? 47.88% 95.76% z

37 ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de Z sea mayor a 1.25 ?
Ejemplo 6. ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de Z sea mayor a 1.25 ? 1.- La probabilidad de que 0 < Z < + es 0.500 2.- La probabilidad de que 0 < Z < es 3.- La probabilidad de que Z > 1.25 es = 50% 39.44% 10.56% ? z

38 Hallar P( -0.34 < Z <  )
Ejemplo 7. Hallar P( < Z <  ) 63.31% P(0 < Z <0.34) = = P(-0.34 < Z < 0) P (0 < Z <  ) = P( < Z < ) = = 13.31% 50% z

39 Ejemplo 8. Hallar P( 0.34 < Z < 2.30)
35.62% z

40 EJEMPLO 9. Sea X una variable distribuida normalmente con media  = 4 y desviación estándar  = 1.5. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un valor X  6 (P(X  6 ))?

41  =  = 1.5 Hallar P ( X ≥ 6 ) 1.- transformar x en un valor de Z z = (6 - 4)/1.5 = 1.33 2.- Hallar P ( 0 < Z < 1.33) = = 0.5 ? x 6 z

42 ¿Cómo hallar un valor de X, dada la probabilidad?
Hasta ahora vimos como dado un valor x de la variable X, hallar probabilidades transformando (estandarizando) la variable en valores de X -   Z = ¿Cómo hallar un valor de X, dada la probabilidad? Ejemplo: Sea X una variable distribuida normalmente con  =4 y  =2 . Hallar el valor de X que deja por encima de él un % (0.3820) Se debe desestandarizar : X = Z  +  =  Se busca en la tabla el valor más aproximado : corresponde a z =+ 0.30 Se busca en la tabla de acuerdo al área. Con su signo 38.20% Sustituyendo en la fórmula (0.30)(2)+4 =4.60 x = ? 4.60

43 EJEMPLO 10.

44 Ejercicios. Supongamos que se desea establecer una restricción para el máximo número de personas que se pueden subir a un elevador. Un estudio del uso de los elevadores indica que si 8 personas ocupan el ascensor , la distribución de probabilidad del peso total de las ocho personas tiene una media igual a 1200 libras y una varianza de 9800 (libras)2. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de 8 personas exceda de 1300 libras? ¿1500? Suponga que la distribución de probabilidad es aproximadamente normal. La descarga de sólidos en suspensión de una mina de fosfatos tiene una distribución normal, la descarga diaria promedio es de 27 miligramos por litro (mg/l) y una desviación estándar de 14 mg/l. ¿Cuál es la cantidad de días en los cuales la descarga diaria será mayor de 50 mg/l? La vida útil de cierto tipo de lavadora tiene una distribución aproximadamente normal, con media de 3.1 y desviación estándar de 1.2 años. Si este tipo de lavadora tiene garantía de un año, ¿qué fracción de la cantidad vendida originalmente necesitará ser reemplazada?

45 EJERCICIOS. Las ventas diarias de (excluyendo los sábados) en un restaurante pequeño tienen una distribución de probabilidad que es aproximadamente normal, con media igual a $530 dólares por día y desviación estándar igual a $120. ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas excedan de $700 dólares en un día dado? El restaurante necesita ventas diarias de por lo menos $300 dólares para cubrir los gastos. ¿Cuál es la probabilidad de que, en un día dado, el establecimiento no cubra los gastos? Se puede ajustar una cargadora de granos para que descargue cantidades que tengan una distribución normal con una media de µ bushels y una desviación estándar de 25.7 bushels. Si una compañía quiere utilizar la cargadora para llenar unos contenedores cuya capacidad es de 2000 bushels de grano, y quiere sobrecargar solamente un contenedor entre 100, ¿a qué valor de µ se tendrá que ajustar la cargadora?

46 EJERCICIOS.

47 Distribución exponencial
Función de densidad:

48 Distribución exponencial.
µ=1/λ σ=1/λ Se utiliza con frecuencia para modelar la duración (vida de personas, animales o componentes físicos; duración de huelgas, recesiones eco- nómicas, etc.) o el tamaño (duración de llamadas, tamaño de yaci - mientos, etc.)

49 Distribución ji-cuadrada de Pearson con n grados de libertad.
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria donde son variables aleatorias independientes con distribución normal estándar, se llama ji-cuadrada con n grados de ilbertad.

50 Distribución ji-cuadrada de Pearson con n grados de libertad.
Media: n Varianza: 2n Es importante en inferencia estadística

51 Distribución ji-cuadrada de Pearson con n grados
de libertad. Está tabulada

52 Distribución t de Student con n grados de libertad.
Ji-cuadrada con n grados de libertad

53 Distribución t de Student con n grados de libertad.
Es SIMETRICA respecto al eje y Media: 0 Varianza: n/(n-2) (para n>2) Es importante en inferencia estadística

54 Distribución t de Student con n grados de libertad.
Está tabulada Es importante en inferencia estadística

55 Distribución F de Snedecor con n1, n2 grados de libertad :
Ji-cuadrada con n1 grados de libertad Ji-cuadrada con n2 grados de libertad

56 Distribución F de Snedecor con n1, n2 grados de
libertad : Está tabulada