Fundamentos de Control

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1 Fundamentos de Control
Realimentado Clase 13 a 16 Versión Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2013

2 Lugar de las Raíces Contenido: 2 Método, Objetivo y Utilidad del LR
Principio y parámetros de influencia - Ejemplos Condición de Fase Reglas para la construcción del LR - Ejemplos Diseños de Sistemas de Control con LR - Ejemplos

3 3 Método y Objetivo Es un método de análisis y diseño de Sistemas de Control desarrollado por Walter. R. Evans (publicado en 1948) El Método Lugar de Raíces o Lugar de las Raíces (del inglés, root locus), es la traza de la posición geométrica de los polos de una FT de LC a medida que se varía un parámetro del sistema (típicamente la ganancia de la FT de LA K) en un determinado intervalo Esta traza de los polos de la FT se grafica en el plano “s” Es un método basado en reglas fijas. Puede construirse a mano alzada EL punto de partida es la Ecuación Característica de la FT de LC y uno o más parámetros de ella que designamos de antemano, por ejemplo una ganancia o un coeficiente de la FT de LA.

4 Principio del LR 4 1 + K L(s) = 1 + K b(s)/a(s) = 0. a(s) + K b(s) = 0
Sea la FT del sistema de Lazo Cerrado: sensor FT de LA y su Ecuación Característica (Función Racional): Seleccionamos un parámetro, por ejemplo la ganancia K de DGH(s), es decir DGH(s) = K L(s) = K b(s)/a(s) que nos conduce a: 1 + K L(s) = 1 + K b(s)/a(s) = 0. Para esta elección de parámetro, L(s) es proporcional a DGH(s), Similarmente, en la forma de Polinomio Característico se llega a: a(s) + K b(s) = 0

5 Principio del LR 5 a(s) + K b(s) = 0,
Variando K desde cero a infinito en: a(s) + K b(s) = 0, podemos analizar las raíces de la misma, que son los polos de la FTLC y dan lugar a un lugar geométrico continuo en K en el plano s para cada valor de K. ¿Por qué esta traza representa a los polos de la FTLC? Pues 1 + K L(s) = 1 + DGH(s) = 0 es la EC del SCLC Desarrollando los polinomios componentes a(s) y b(s) y luego factorizando el polinomio característico en sus raíces, se tiene: donde r1=f1(K), r2=f2(K),...,rn=fn(K) son los polos de la FTLC en función de la ganancia K del sistema de control de LC: Go = K L(s) / [1 + K L(s)] = DG(s) / (1 + DG(s)), con H(s)=1

6 Otras formas de la Ecuación Característica
6 Otras formas de la Ecuación Característica K L(s) = -1 La ubicación de los polos de la FTLC para cada valor de K revela propiedades dinámicas del Sistema de Control en función de K: su estabilidad, su performance, su robustez. Para K siendo un parámetro del controlador, tenemos un DISEÑO. Para K siendo un parámetro de la planta, esto implica un ANÁLISIS de su sensibilidad a dicho cambio.

7 Primer ejemplo: Análisis del robustez de un Motor de CC
7 Primer ejemplo: Análisis del robustez de un Motor de CC La FT de un Motor de CC desde la tensión de armadura a la posición angular del eje es (Problema de Servomotor): Ahora cerramos el lazo con un controlador proporcional de kp=1 y la Ecuación Característica nos queda: 1 + A / (s(s+c))= o bien s(s+c) + A = 0 , Nos interesa analizar la incidencia del parámetro A=K con c=1 c.vacío Resultando finalmente:

8 - 8 Primer ejemplo: Análisis del robustez de un Motor de CC 1
Las raíces de esta EC de segundo grado son: 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 1.5 -2 2 jw s ¿De cuál sistema dinámico son las raíces r1 y r2? K= K=A nominal y DK=DA=10% 1 Y(s) R(s) U(s) E(s) - s (s+1) K K K=1/4 K=0 K=0 K s2+s+K K T = DG(s) / (1 + DG(s)) = K=

9 Segundo ejemplo: Diseño de un Control de Posición en Motor de CC
9 Segundo ejemplo: Diseño de un Control de Posición en Motor de CC Se quiere fijar los polos de lazo cerrado, con A=1, c=1 y un controlador kp=K tal que z tenga el valor de 0.5 es decir arcsen(30o). 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 1.5 -2 2 jw s La solución exige la intersección de las rectas: s = -1/2 w = -s tg(60o) z=0.5 Es el mismo LR que con K=A ! K=1 30o s=-1/2 Estas intersectan en: w=wd=0.86 K=1 =0.86 z=0.5 dando: K=kp=1

10 Resumen - 10 K L(s) = D(s)G(s) = kp=K1 K s (s+1) A=K2 s (s+1)
Se partió de un sistema a lazo abierto: K L(s) = D(s)G(s) = K s (s+1) Primero se abordó el análisis de robustez del sistema de control que consistió en elegir K=A y determinar cómo variaban los polos de LC ante una incertidumbre hipotética de A. Luego se abordó un diseño de un controlador P con K=kp para que la respuesta del sistema controlado tenga una relación de amortiguación 0.5. kp=K1 Y(s) R(s) U(s) E(s) - s (s+1) A=K2 La construcción de los LR se hizo secuencial en base a las raíces de las EC´s, y la determinación de los K (en cada caso) se logró mediante una solución analítica-geométrica. El cálculo fue sencillo por tratarse de una EC de 2do grado.

11 Tercer ejemplo: Análisis del robustez de un Motor de CC
11 Tercer ejemplo: Análisis del robustez de un Motor de CC Sea la EC del mismo sistema anterior con A=1 y kp=1. = 0 Se desea investigar la dinámica del Sistema de Control con distintos polos de la planta p=- c. Ahora el parámetro de influencia no es una ganancia, sino un coeficiente del modelo dinámico de la planta, es decir K=c. Por lo tanto la EC es: s2 + c s + 1 = 0 de donde resulta: (s2 + 1) + c s = 0 , con: a(s)=s2+1, b(s)=s L(s) = s s2 + 1 con ceros: z1=0 y polos: p1=j y p2=-j Fijando K=c, queda finalmente una EC del SLC: (s2 + 1) + K s = 0

12 - 12 Tercer ejemplo: sigue… jw s p1,2 =± j K=0 (s2 + 1)= 0 p1 =0
1 0.5 -0.5 -1 -1.5 1.5 -2 2 jw s K K=0 Son los polos y ceros de L(s) para K=0 K= K= K=2 K=0 K K= (s2 + 1)= 0 p1,2 =± j La EC es: (s2 + 1) + K s = 0 , luego: p1 =0 K= s = 0 r1,r2= -K 2 + - K2 - 4 p2 =- con raíces :

13 Tercer ejemplo: sigue…
13 Tercer ejemplo: sigue… Volviendo al parámetro c=K, las raíces del PC son: 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 1.5 -2 jw s c c=0 c= c=2 -1 = 0, con c=2, El punto de quiebre se cumple para: y de aquí se desprende que sus coordenadas son: s=-c/2=-1

14 Aplicación de Matlab con LR para Análisis
14 Aplicación de Matlab con LR para Análisis Retomamos el ejemplo visto. Sea la misma FT de lazo abierto anterior: kp G(s) = kp A s (s+c) para la cual la EC es: s(s+c) + Akp = 0 ANÁLISIS: en el último caso asumimos: kp=1 y A=1 y c=K. Luego: s K s = 0 en donde L(s) = s/s2+1 Esto implica un analisis de la sensibilidad del lazo de control siguiente ante un conjunto de valores posibles de K=c (en un intervalo chico alrededor de su valor nominal) cuando kp y A son fijos e igual a 1: kp=1 Y(s) R(s) U(s) E(s) - s (s+K) A=1 L(s) no es ninguna FT del SC

15 HERRAMIENTA de MATLAB 15 j  s2+ s + 0.9 + K s = 0
en donde L(s) = s/s2+s+0.9 En MATLAB, se cuenta con la función rlocus(SYS) que calcula y grafica simultáneamente el Lugar de las Raíces para un L(s) dado, denominado SYS, es decir SYS=tf([bo, …,bm],[ao,a1,…,an]). Aquí se asume un intervalo de K=[0,] K Polos de lazo cerrado  Mp n También se puede emplear rlocus([num], [den], K) con K siendo un vector prefijado explícitamente, por ejemplo K=[3:0.1:10] Para visualizar detalles en un periodo dado, se especifica por ej. K=[3.5:0.0001:4], aumentando la resolución localizada del LR en la zona deseada Una vez construido el LR, el usuario puede cliquear en un punto de la curva y se imprimirán los datos de K y de los polos de LC en forma de ganancia K, coordenadas cartesianas de los polos de LC, amortiguamiento , frecuencia d y sobrepico Mp.

16 Utilidad del LR 16 Se emplea ventajosamente en diseños muy complejos,
es decir polinomios de la FTLC con órdenes n y m altos Pueden analizarse dos o más parámetros en el LR interacti- vamente. El procedimiento es iterativo y apropiado para diseño de una variedad de controladores, por ejemplo PI, PID, etc. Pero también Se puede construir el lugar geométrico a mano alzada, usando reglas fijas. Luego se puede perfeccionar este dibujo empleando la denominada “condición de fase” La efectividad del LR con FTLC con retardos puros, es decir con factores e-sTd, es baja y necesita circuitos de Padé Un sistema de control analógico trasladado al dominio digital conduce a un PC en la variable discreta z y puede aplicársele LR en el plano z, con el eje imaginario siendo una circunferencia.

17 yi -fi = 180º + 360o(l-1), l=1,2,… Condición de Fase del LR
17 Condición de Fase del LR Sea la EC expresada en la forma: 1 + K L(s) = 0 Si se lleva a la expresión: K L(s) = -1 en donde K es positiva, se deduce que la función compleja L(s) debe tener una fase Igual a 180 grados para puntos so que pertenezcan al LR. La convención de ángulos positivos en sentido de giro antihorario m n Luego, factorizando L=k(s-zi) / (s-pi), se cumple que para cualquier punto so de LR, la fase de L (que es 180°) es función a las fases de los factores con su signo respectivo, es decir: yi -fi = 180º + 360o(l-1), l=1,2,… yi y fi son las fases de los vectores (so–zi) y (so–pi) donde so es un un punto del LR, zi son los ceros y pi los polos de L(s), respectivamente, es decir, los ceros y los polos de L(s).

18 Ejemplo de la Condición de Fase del LR
18 Ejemplo de la Condición de Fase del LR Sea: 2 1 -1 -2 -3 3 -6 6 jw s f3=0 Sea so un punto arbitrario en el plano s so Se trazan segmentos horizontales a la derecha de cada polo y cero f1 f2 y1 Se dibujan los vectores (rayos) de polos y ceros a so f4 Se miden los ángulos entre segmentos y rayos de forma antihoraria ? La CF para so es: y1 - f1 f2 f3 f4 = 180o (¿Pertenece so al LR?) Pertenece sii la CF se cumple, es decir, es 180º (más múltiplos de 360º)

19 SPIRULE, regla de W.R. Evans para trazar
19 SPIRULE, regla de W.R. Evans para trazar el LR basado en la Condición de Fase El agujero en el centro de la spirule representa un punto so de manera tal que se marca con un lápiz mientras se trabaja Los vectores (so-zi) y (so-pi) contribuyen con ángulos positivos y negativos respectivamente, haciendo girar la rueda a derecha e izquierda totalizando el ángulo definitivo que deberá ser próximo a 180º en caso de que so pertenezca al LR

20 20 Regla 1 Lugar de las Raíces

21 Reglas para la construcción del LR a mano alzada
21 Reglas para la construcción del LR a mano alzada Regla 1: Enunciado y ejemplo El LR tiene n ramas que comienzan en los n polos de L(s). Un número m de ellas termina en los m ceros de L(s) Sea la Ecuación Característica: 1 + K L(s)= a(s) + K b(s)=0 2 1 -1 -2 -3 3 -6 jw s Comienzo: K=0 Sea por ejemplo una L con n=3 polos y m=2 ceros se llega a: a(s)=0 son los polos de L 2 K=0 Son n=3 ramas, 1 1 Si K= K= K=0 lim 1/K=L(s)=0 K  2 3 K= satisface: L(s)=0 K=0 3 Es decir en los 2 ceros de L(s), ter- minan m=2 ramas

22 22 Regla 2 Lugar de las Raíces

23 Reglas para la construcción del LR
23 Reglas para la construcción del LR Regla 2: Enunciado Las ramas que están sobre el eje real existen siempre a la izquierda de todos los ceros y polos reales cuyo número es impar. No existe rama si ese número es par o cero. 2 1 -1 -2 -3 3 -6 jw s ¿Por qué? Aplicar la Condición de Fase! La fase aportada por este cero es : y1=180 f1 f2 so f1+f2=0 Todos los demás polos y ceros aportan: i=0 y yi =0 Por el contrario, para el nuevo so mostrado, el único elemento que aporta fase es el cero a la derecha Para el so mostrado, los polos y ceros complejos conjugados aportan, cada par, sólo ángulos cero o múltiplos de 360º. y1 so Sea por ejemplo una L(s) con 4 polos y 3 ceros Los polos y ceros reales, que están a la izquierda, no aportan nada en la fase Por lo tanto este punto so pertenece al LR Corroborar en los otros intervalos

24 24 Regla 3 Lugar de las Raíces

25 Reglas para la construcción del LR
25 Reglas para la construcción del LR Regla 3: Primera parte del enunciado n-m>0 ramas del LR terminan en s= y para K=. Estas ramas son asintóticas a semi-rectas o son semi-rectas de ángulos las cuales tienen un punto de confluencia en s=.  l Cuando n>m, existen n-m ceros en infinito y m ceros finitos. 2 1 -1 -2 -3 3 -6 jw s Ejemplo Si si tiende a , Como existen n ramas del LR, m ramas terminan en ceros finitos, mientras que n-m mueren en los n-m ceros en infinito so por CF: -1 -2 = -180o +360º = 180o 1 2 = = 90o La primera parte sobre la existencia de los n-m ceros en infinito se prueba así: f2 f1 Por la CF,  debe estar en el punto medio de los polos, o sea =-2 lim K - 1 K  b(s) = lim a(s) |s|  1 = lim sn-m |s|  = 0 =-2 triángulo isósceles que es como L(s) se comporta en los confines del plano complejo s Finalmente, por la CF, las 2 ramas son verti- cales y coinciden con sus 2 asíntotas Es decir, existen n-m ramas que se dirigen a puntos del plano s en infinito. A los n-m puntos extremos del LR se los llama ceros en infinito.

26 Reglas para la construcción del LR
26 Regla 3: Segunda parte de enunciado La segunda parte del enunciado de la regla 3 dice que: Los ángulos de cada una de las n-m asíntotas y su punto de confluencia en la recta real, se calculan como: l a l l=1,2,…,n-m Para probar estas ecuaciones se considera un nuevo L0(s) que coincide con el L(s) original para s en los confines y Simultáneamente para un K tendiendo a infinito. Por ello vale: 1+K L(s) 

27 Reglas para la construcción del LR
27 Reglas para la construcción del LR Regla 3: Demostración Es fácil ver a través de un ejemplo que esta configuración de polos múltiples describe un LR cuyas ramas son semi-rectas que confluyen en s0=a y están espaciadas en ángulos iguales, es decir forman una estrella de n-m rayos simétricos respecto a s0=-α. j  Por ejemplo, sean 3 polos múltiples. s0 Por la condición de fase, se demuestra ¿Y por qué estas semi-rectas son asíntotas de un sistema de grado relativo n-m=3? Veamos. f1 =f2 =f3 = 180° f1 =f2 =f3 = 60° s0 -a f1 =f2 =f3 = -60° x s0

28 Reglas para la construcción del LR
28 Reglas para la construcción del LR Sea el siguiente sistema con grado relativo 3. Encontramos el LR con ayuda de la Condición de Fase: s0 En el límite todos los rayos son paralelos, es decir: j  f1 = f2 =f3 =j1 = 60° 2 3 1 1 x 1 5 4 y s0 está en el LR y en la asíntota simultáneamente. 2 3 1 Similarmente si tomamos un s0 en las otras dos ramas, los rayos para s0 en infinito serán paralelos a esas asíntotas. 3 2 Se deduce que los ángulos de las asíntotas son:. l =(180º +360º (l-1)/ 3 1=60º , 2=180º y 3=300º

29 Reglas para la construcción del LR
29 Reglas para la construcción del LR Regla 3: continúa demostración Ahora sólo falta demostrar la expresión para el cálculo de . Para ello se analiza el polinomio característico: sn + a1 sn-1 + … + an + K (b0 sm + b1 sm-1 + … + bm-1 s + bm) = 0 el cual es equivalente a: (s – r1) (s – r2) (s – rn-1) … (s – rn) = 0 siendo ri los polos del sistema de lazo cerrado. Si el grado relativo cumple n-m>1 (es el más general para la regla 3), resulta de propiedades de polinomios mónicos que: a1 = -  ri = -  pi donde pi son los polos de L(s) o sea las raíces de a(s). Este resultado es independiente de K pues los pi no dependen de este parámetro. Por otro lado, la EC se puede aproximar a la siguiente EC para s y K infinitamente grandes:

30 Reglas para la construcción del LR
30 Reglas para la construcción del LR Regla 3: continúa demostración 1+ K (s- )n-mb(s) a(s) = 0 pues la nueva L(s) actúa como si tuviera otros n-m ceros en infinito. Finalmente, para este LR equivalente se cumple: a(s)+ K (s- )n-mb(s) = 0 y las raíces de esta EC son los ceros de (s- )n-mb(s) que coinciden con nuevas raíces ri en |s| y K infinitos a1 = -  ri = -  pi = - (n-m) -  zi de donde se desprende el resultado último de la regla 3:  pi -  zi n-m  =

31 Patrones de polos múltiples aislados
31 Patrones de polos múltiples aislados Reglas 1-2-3: Ejemplos (sin ceros ni otros polos en las proximidades) j  x j  x L(s) = 1/(s+a) L(s) = 1/(s+a)2 -a -a L(s) = 1/(s+a)3 L(s) = 1/(s+a)4 j  x j  x -a -a El LR coincide con las asíntotas y  coincide con la posición del polo múltiple!

32 Patrones: Polos múltiples y pares cero-polo
32 Patrones: Polos múltiples y pares cero-polo Regla 1-2-3: Otro ejemplo: se agrega un par de polo-cero 2 1 -1 -2 -3 3 -6 6 jw s Asíntotas: n-m 180º + 360º (l-1) l = 2=180o 1=60o  pi -  zi n-m  = =-2.6 3=300o El cero que está cerca del punto de confluencia , lo atrae hacia él con respecto al caso anterior pero repele las ramas.

33 Patrones: Polos múltiples y pares cero-polo
33 Patrones: Polos múltiples y pares cero-polo Regla 1-2-3: Otro ejemplo: se intercambia posición del par polo-cero 2 1 -1 -2 -3 3 -6 6 jw s Asíntotas: n-m 180º + 360º (l-1) l = f2=180o f1=60o  pi -  zi n-m  = =-3.3 f3=300o Ahora el polo, al estar a la izquierda, repele el punto de confluencia  pero atrae las ramas.

34 34 Regla 4 Lugar de las Raíces

35 Reglas para la construcción del LR
35 Reglas para la construcción del LR Regla 4: Enunciado El ángulo de partida de una rama desde un polo simple (real o conjugado) o múltiple con multiplicidad q, es: con l=1,2,…,n-m y el ángulo de llegada de una rama a un cero simple (real o conjugado) o múltiple con multiplicidad q, es: con l=1,2,…,n-m Notar que ambas fórmulas posee el signo cambiado, es decir, los ángulos de partida y llegada difieren en 180º/q

36 yi +fi Reglas para la construcción del LR f1,dep f1,dep f1,dep= -
36 Reglas para la construcción del LR Regla 4: Demostración La demostración es muy sencilla pues puede usarse la inducción. Sea un sistema de 3 polos. 2 1 -1 -2 -3 3 -6 jw s f1,dep Dibujamos una de sus ramas y marcamos un punto s0 cerca de p1 f2 f3 f1 p1 so Definimos el ángulo de partida Si p1 = s0 , se cumple: f1,dep = f1 Entonces: f1,dep= L(s0) L(p1) - = 180° - yi +fi i=1

37 Reglas para la construcción del LR
37 Reglas para la construcción del LR Reglas : Ejemplo: Sistema de 3 polos 2 1 -1 -2 -3 3 -6 6 jw s (n-m)=3  3 asíntotas a=pi/3=-6/3=-2 p1 p2 p3 1=60o, 2=60o+120o=180o 3=60o+120o+120o=300o f1,dep 2 90º 153º f3,dep 3 1  f2,dep f1,dep=-90o-153o-180o=-63o f2,dep=-270o-206o-180o=63o f3,dep=-150o-210o-180o=180o yl,arr no aplica pues no existen ceros finitos

38 Reglas para la construcción del LR
38 Reglas para la construcción del LR Reglas : Ejemplo de ceros complejos conjugados 2 1 -1 -2 -3 3 -6 6 jw s 315o 0o 45o y1,arr=270o f1,dep=315º+45º-180o =180o f1,dep=180º f2,dep=0o f2,dep=225º+135º-180º-180o =0o y2,arr=90o =135o+45o-90o+180o =270o y1,arr =135o+45o-270o+180o =90o y2,arr

39 Reglas para la construcción del LR
39 Reglas para la construcción del LR Reglas : Ejemplo de ceros/polos complejos conjugados múltiples jw s -2 -1 1 2 -1.8 -1.4 -1.0 -0.6 -0.2 0.2 Función L(s): (s2+1)2 ((s+1.5)2+1)2 L(s)= f1,dep=45o y1,arr=135o q=2. Ángulos de salida: f2,dep=225o =45o f1,dep= (2*45+2*180-2*90-180) 2 y2,arr=315o f2,dep=f1,dep+360/2=225o Ángulos de llegada: (2*135+2*180-2*90+180) y1,arr= 2 =135o y2,arr=y1,dep+360/2=315o

40 40 Regla 5 Lugar de las Raíces

41 Reglas para la construcción del LR
41 Reglas para la construcción del LR Regla 5: Enunciado El LR cruza el eje imaginario en puntos en que el criterio de Routh muestra transición de raíces desde el semiplano izquierdo al derecho. Ejemplo: Sea la siguiente ecuación característica: s((s+1)2+1) K 1 + 0 = 1+ K L(s) = En donde el polinomio numerador es: p(s) = s3 + 2s2 + 2s + K s3 K s2 Criterio de Routh (4-K)/ s1 s0 K

42 Reglas para la construcción del LR
42 Reglas para la construcción del LR Regla 5: Sigue ejemplo de condición para SCLC estable (4-K)>0 K<4 Condiciones de estabilidad K>0 K>0 Cruce de 2 ramas por el eje imaginario pues con K*+DK hay 2 cambios de signo K*=K=4 s3 K= s2 s1 s0 K= Criterio de Routh Otra forma más rigurosa de probarlo: Una última forma de calcular las raíces sobre el eje imaginario es: El polinomio denominador para K*=4 es: a(s) = s3 + 2s2 + 2s + 4 Si sustituimos en a(s) la variable imaginaria s=jw en a(s), queda: s2+2=0 a(jw) = j(2w - w3) + (4 + 2w2) = 0 y ambos componentes son 0 s1=0 + j 2 4+2w2 = 0 w =  -2 2 raíces: s2=0 - j 2 s1,2=± j 2 (s3 + 2s2 + 2s + 4) / (s2+2) = (s+2) 3º raíz: s3=-2

43 Reglas para la construcción del LR
43 Reglas para la construcción del LR Regla 5: Sigue ejemplo de Cruce por el eje imaginario 2 1 -1 -2 -3 3 jw s K*=4 j 2 L(s) = s((s+1)2+1) 1 =- 0.66 -2 K*=4 -j 2 K*=4

44 Reglas para la construcción del LR
44 Reglas para la construcción del LR Regla 5: Ejemplo de Doble Cruce por el eje imaginario Sea la EC de un sistema definida por: (s+1)(s+2)(s+3) (s2+4s+100) 1+ K = 0 L(s) posee 2 ceros y 3 polos 1+ K L(s) = La EC para L(s) con el parámetro K es: (s+1)(s+2)(s+3) + K(s2+4s+100) = s3+(6+K)s2 + (11+4K)s + (6+100K) = 0 Aplicando Criterio de Routh: s3 (11+4K) s2 (6+K) (6+100K) (6+K)(11+4K)-(6+100K) (6+K) s1 s0 (6+100K)

45 Reglas para la construcción del LR
45 Reglas para la construcción del LR Regla 5: : Sigue ejemplo de doble cruce por el eje imaginario s3 (11+4K) s2 (6+K) (6+100K) (6+K)(11+4K)-(6+100K) (6+K) s1 s0 (6+100K) Analizar cambios de signo en la primera columna (6+K) >0 es decir K>-6 (6+K)(11+4K)-(6+100K) = K2 - 65/4 K + 15 >0 es decir: 0<K<0.98 y K>15.26 (6+100K) >0 es decir: K>-6/100=-0.06 En resumen queda para K positivos: 0 < K < y < K < 

46 Reglas para la construcción del LR
46 Reglas para la construcción del LR Regla 5: Sigue ejemplo de doble cruce por el eje imaginario -4 -3 -2 -1 1 -10 -8 -6 2 4 6 8 10 K *2= K *2 (s+1) (s+2) (s+3) (s2+4s+100) L(s) = K *1 = K *1 Este sistema se llama: “Condicionalmente Estable”

47 47 Regla 6 Lugar de las Raíces

48 Reglas para la construcción del LR
48 Reglas para la construcción del LR Regla 6: Enunciado El LR posee puntos de bifurcación (raíces múltiples de 1+Kb/a=0, para un K>0 específico) los cuales cumplen la condición: y las ramas en el punto de bifurcación parten con ángulos: l=1,2,…,q Y, al igual que las asíntotas, las diferencias de ángulos de partida de ramas consecutivas son iguales. Notar que existen también q ángulos de llegada, y están simétricamente ubicados respecto a los ángulos de partida formando una estrella de 2q rayos.

49 Reglas para la construcción del LR
49 Reglas para la construcción del LR Regla 6: Ejemplo de cálculo de ángulos de partida y entrada El punto de bifurcación so tiene: x j  - multiplicidad 4 fi,be 4 ángulos de partida: f1,bp=180/4=45º fi,bp f2,bp=135º f3,bp=225º f4,bp=315º so 4 ángulos de entrada: f1,be=f1,bp+180/4=90º f2,be=180º f3,be=270º f4,be=360º Notar que las semirectas tangentes de partida junto a las semirectas tangentes de entrada forman una estrella simétrica de 2q rayos.

50 Reglas para la construcción del LR
50 Reglas para la construcción del LR Regla 6: Otro ejemplo de cálculo de ángulos de partida 2 1 -1 -2 -3 3 -6 jw s f1,a=60o  En este ejemplo, la multiplicidad se produce para K=0 f1,bp=60o Por lo tanto, las asíntotas poseen los ángulos que coinciden con los ángulos de partida de las q ramas Notar además que no existen ángulos de entrada, pues K=0.

51 Reglas para la construcción del LR
51 Regla 6: Demostración Supongamos que para un valor K1 existe una raíz múltiple r1. Factorizamos el PC en la raíz múltiple y el resto, quedando: = 0 Si derivamos respecto a s: = 0 Y en los únicos si que ambos términos se hacen cero simulta- neamente, son en las raíces múltiples, es decir en si=r1 Además, para s=r1 se cumple que: Y con éste K1 en la derivada se llega a:

52 Reglas para la construcción del LR
52 Reglas para la construcción del LR Regla 6: Continúa demostración De: se calcula la raíz múltiple r1 Con r1 se calcula K1 a través de: Luego, para demostrar las ecuaciones de los ángulos de partida de las ramas en r1 en K=K1 se emplea el siguiente artilugio. Se hace K=K1+K2 y se calcula un nuevo LR con a(s)+(K1+K2)b(s)=0, y se toma [a(s)+K1b(s)]+K2b(s), que es equivalente a a´(s)+K2b(s)=0 con K20 y cuyo LR coincidirá con el LR original pero a partir de r1 En particular para K2=0 los ángulos de partida de bifurcación son los encontrados en la regla 4 para ángulos de partida de las ramas: q

53 Reglas para la construcción del LR
53 Reglas para la construcción del LR Volvemos al ejemplo anterior – Interpretación de K1 y K2 j  x r1 j  r1 x En K=K2=0 empieza el LR: [a(s) + K1 b(s)] + K2 b(s) = 0 En K=K1 se forman 4 raíces múltiples r1 del LR: a(s) + K b(s) = 0 a´(s) + K2 b(s) = 0

54 Reglas para la construcción del LR
54 Reglas para la construcción del LR Regla 6: Ejemplo de cálculo de una bifurcación y su ganancia Sea la EC: a(s) + K b(s) = s2 + s + K = 0 b(s) = 1, a(s)= s2 + s  2s + 1 = 0 a db/ds - b da/ds = 0 s = -1/2 K1 = - a(-1/2) / b(-1/2) = -1/4 + 1/2 =0.25 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 1.5 -2 2 jw s Para K=K1+K2 con K1=0.25, y K=K2 las ramas comienzan en las raíces de a(s) f1,bp=90o s=-1/2 Los fi,be son calculados como parte de una estrella simétrica de 2q=4 rayos f2,bp=270o K1 =0.25 f1,be=180º y f2,be=0o

55 Reglas para la construcción del LR
55 Reglas para la construcción del LR Regla 6: Excepciones a la regla Sea el sistema L(s) tal que: a(s) + K b(s) = s3 + 2s2 + 2s + K da(s)/ds = 3 s2 + 4s + 2 = 0 Da como polos múltiples a: s0=2/3  j 8 /3 Pero dichos polos no son ni múltiples de una bifurcación del LR ni tampoco pertenecen al lugar de la raíz! La regla 6 da una condición necesaria pero no suficiente!

56 Reglas para la construcción del LR
56 Reglas para la construcción del LR Regla 6: Representación del ejemplo de excepción 2 1 -1 -2 -3 3 jw s Presuntos polos múltiples (el grado de a(s) es 3 no 4) so L(s)= 1 / s(s2 + 2s + 2)

57 Bifurcaciones múltiples
57 Bifurcaciones múltiples Ejemplo: Nota: no es el caso de L(s) en página 49 Sea: 1ra. bifurcación s -2 -3 2 1 3 -1 jw Hay 3 puntos de bifurcación. con dos raíces múltiples cada uno. Dos de ellos son complejos conjugados. 2da. y 3ra. Bifurcación Hay 1 valor de K para la ocurrencia de la multiplicidad real y otro para una doble multiplicidad compleja respecti- vamente.

58 Diseño de Sistemas de Control
58 Diseño de Sistemas de Control basados en LR

59 Diseño de un Sistema de Control con LR
59 Diseño de un Sistema de Control con LR Ejemplo: Control de orientación de un satélite Sea un sistema de orientación de satélite y considérese el caso de un control de orientación del mismo con un Controlador PD La ecuación característica es: Sistema satélite Controlador PD Nos interesa por el momento analizar el efecto de kD=K en la dinámica de lazo cerrado mientras se mantiene la relación kP/kD constante igual a 1. 1 + kD [kP / kD+ s] = 0 s2 1 en donde: a(s) = s2 b(s) = (s+kP/kD) = (s+1)

60 Continua: Diseño de un Controlador PD para un Satélite
60 Continua: Diseño de un Controlador PD para un Satélite 2 1 -1 -2 -3 3 jw s L(s) = s + 1 s2 K=kD y kP /kD=1 b a =0 db ds da (s+2)=0 Punto de bifurcación s=-2

61 Continua: Diseño de un Controlador PD para un Satélite
61 Continua: Diseño de un Controlador PD para un Satélite Nos interesa ahora otro valor de relación fija con: kP /kD=cte K=kD a(s)= s2 b(s)=(kP /kD+s) b a =0 db ds da Punto de bifurcación s=-2 kP /kD -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2 2.5 LR kp /kD=1 kp /kD=2 kp /kD=3 kp /kD=0.5 x

62 Diseño de un Sistema de Control con LR
62 Diseño de un Sistema de Control con LR Continua: Diseño de un Controlador PD para un Satélite -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2 2.5 kP /kD=2 kP /kD=3 kP /kD=0.5 x kP/kD=1 X  ts= (1%) 4,6 s M = e -pz/ 1- z2  X Supongamos que nos interesa que el Sistema de Control posea una dinámica sub-amortiguada z1 z z2 con un tiempo de establecimiento ts1 ts ts2. Con ello se apunta a tolerancias en el transitorio y sobrepico. Esto significa definir regiones para  y  , y elegir dos polos en ellas Concluimos que kP /kD=2 sería una buena elección, pero K=kD habría que leerlo de la curva de su LR para un punto dentro de esas regiones. Con ello, el diseño del PD quedaría concluido.

63 ¿Cómo leer la ganancia K sobre un LR?
63 ¿Cómo leer la ganancia K sobre un LR? Ejemplo: Sistema de múltiples polos y ceros K = |L(s)| 1 Para ganancias positivas se cumple: s -4 -6 -5 4 2 6 -2 -2.5 jw s0 Como L(s) es una función racional, se puede expresar como: |s-p1|2 |s-p3 | K = |L(s)| 1 = |s-p1||s-p2|…|s-pn| |s-z1|…|s-zm| -p3 -p2 -p1 -z1 |s-z3 | Sea el siguiente LR Dado un s=s0 arbitrario sobre él, se puede calcular 1/ |L(s0 )| como: K(s0) = |s0-p1|2 |s0-p3| |s0-z1|

64 Diseño de un Sistema de Control con LR
64 Diseño de un Sistema de Control con LR Retomando una vez más el ejemplo del Satélite El diseño quedó así: -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2 2.5 kP /kD=2 x X K=5.1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2 2.5 kP /kD=2 kP /kD=3 kP /kD=0.5 x kP/kD=1   X a2 b K = a2 b  5.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.2 0.4 0.6 0.8 Respuesta al escalón del SC PD Diseño del PD: kD=5.1 y kP=2 x 5.1=10.2

65 Lugar de las Raíces Negativo
65 Lugar de las Raíces Negativo No siempre un diseño se define con ganancias K positivas. Además, puede suceder que para ningún valor positivo de K se obtenga estabilidad, pero sí para un valor negativo (ver el ejemplo de control de altitud de un avión en la página 67) Se denomina LR negativo al lugar de valores s que satisfacen: con -   K 0 1 + K L(s) = 0, Esto es equivalente a: L(s) = 1 |K| para   K 0 La condición de fase que cumple L(s) es:

66 Lugar de las Raíces Negativo (Complementario)
66 Lugar de las Raíces Negativo (Complementario) Las reglas se definen con esta nueva condición de fase. Son seis reglas para la construcción del LR negativo, todas son similares y deducibles con la misma argumentación teórica. Ambos LRs comienzan en los polos de L(s) y mueren en los ceros de L(s), y eventualmente también en (n-m) ceros infinitos. Si K representa a la ganancia del Sistema de Lazo Abierto, es decir: 1 + K D(s)G(s)=0, entonces podría ser que para ese sistema la estabilidad se dé con un K negativo en lugar de uno positivo, o incluso un sistema tal que sea estable tanto para un K positivo como negativo. Si K representa a un parámetro de la planta, podría ser que el estudio de sensibliidad se base en una variación del mismo parámetro tanto en intervalos positivos como negativos .

67 Diseño de un Sistema de Control con LR
67 Diseño de un Sistema de Control con LR Ejemplo: Avión – Control de altitud Sea el sistema dinámico de altitud de un avión. Se desea analizar la estabilidad del mismo con un controlador P. El sistema dinámico es: G(s) = Entonces analizamos primero el LR para un controlador P. Por lo tanto la ecuación característica es:

68 Diseño de un Sistema de Control con LR
68 Diseño de un Sistema de Control con LR Diseño de un Controlador P para la altitud de un avión K  0 K  0 -4 -6 -5 15 5 10 s 4 2 6 -2 jw K  0 K  0 -5 15 5 10 s jw K  0 =1 Si K es negativo Si K es positivo K  0 s=10

69 Diseño de un Sistema de Control con LR
69 Diseño de un Sistema de Control con LR Diseño de un Controlador P para un avión con LR neg./positivo K  0 K  0 -4 -6 -5 15 5 10 s 4 2 6 -2 jw K  0 K  0 -4 -6 -5 15 5 10 s 4 2 6 -2 jw =1 Un controlador proporcional puede estabilizar el lazo para una ganancia baja negativa Un controlador proporcional no puede estabilizar el lazo con ninguna ganancia positiva Pero si agrego un cero inestable al controlador, sí puedo estabilizar con ganancias positivas. PROBAR !

70 Diseño de un Sistema de Control con LR
70 Diseño de un Sistema de Control con LR Diseño de un Controlador P para un avión con LR neg./positivo K  0 K  0 -4 -6 -5 15 5 10 s 4 2 6 -2 jw K  0 K  0 -4 -6 -5 15 5 10 s 4 2 6 -2 jw Un controlador proporcional puede estabilizar el lazo para una ganancia baja negativa Un controlador proporcional no puede estabilizar el lazo con ninguna ganancia positiva Pero si agrego un cero estable al controlador, también se puede estabilizar con ganancias negativas Pero si agrego un cero inestable al controlador, sí puedo estabilizar con ganancias positivas.

71 Diseño de un Sistema de Control con LR
71 Diseño de un Sistema de Control con LR Diseño de un Contr. P para un Satélite con LR neg./positivo K 1/s2 - R(s) Y(s) SC Tipo 2 ! K  0 K  0 -4 -6 -5 15 5 10 s 4 2 6 -2 jw K  0 K>0 t y Oscilante K  0 Exponencialmente inestable K<0 t y

72 Diseño de un Sistema de Control con LR
72 Diseño de un Sistema de Control con LR Diseño de un Contr. PD para un Satélite con LR neg./positivo K/s2 - R(s) Y(s) kP+kDs SC Tipo 2 ! s -5 -7.5 -10 10 5 2 7.5 -2.5 jw Exponencialmente estable kP=1, kD=0.2 K>0 t y K  0 Exponencialmente inestable K  0 K<0 t y

73 Diseño de un Sistema de Control con LR
73 Diseño de un Sistema de Control con LR Rediseño de un Contr. PD modificado para un Satélite con LR positivo Para un mejor rechazo del ruido del sensor se adiciona un polo en el controlador PD (compensador de adelanto) 1/s2 - R(s) Y(s) s+p K s+z SC Tipo 2 ! s -4 -6 -15 15 7.5 4 2 6 -2 -7.5 jw Supongamos primeramente que el polo p está bien alejado del cero z ! K4>K3>K2>K1 K  0 K1 K2>K1 K3>K2>K1 Hay 2 puntos de bifurcación en el LR. En total 4 ángulos de entrada y 4 de salida.

74 Diseño de un Sistema de Control con LR
74 Diseño de un Sistema de Control con LR Diseño de un Contr. PD real para un Satélite con LR positivo 1/s2 - R(s) Y(s) s+p K s+z SC Tipo 2 ! s -4 -6 -5 5 2.5 4 2 6 -2 -2.5 jw Ahora supongamos que el polo p está más cerca del cero z ! K  0 No hay bifur- caciones.

75 Diseño de un Sistema de Control con LR
75 Diseño de un Sistema de Control con LR Diseño de un Contr. PD real para un Satélite con LR positivo 1/s2 - R(s) Y(s) K s+z s+p SC Tipo 2 s -4 -6 -10 10 5 4 2 6 -2 jw El polo p no está ni tan cerca ni tan lejos del cero z ! K  0 Hay un solo punto de bifur- cación

76 Diseño de un Sistema de Control con LR
76 Diseño de un Sistema de Control con LR Controlador PI para un Satélite con LR positivo 1/s2 - R(s) Y(s) K s+z s SC es tipo 3 a R(s) y tipo 1 a W(s) s -4 -6 -10 10 5 4 2 6 -2 -5 jw El punto de encuentro de las asíntotas  se corre hacia la derecha por acción del cero -z polo que se aleja! z=0 =0    Nunca se logra estabilidad del sistema de control para ningún valor de la ganancia K, ni para ningún cero -z.

77 Diseño de un Sistema de Control con LR
77 Diseño de un Sistema de Control con LR Controlador PI para un Satélite con LR positivo 1/s2 - R(s) Y(s) K s+z s s -4 -6 -10 10 5 4 2 6 -2 -5 jw El sistema de control es inestable para cualquier valor de K! (tanto positivo como negativo) K  0 K  0

78 Diseño de un Sistema de Control con LR
78 Diseño de un Sistema de Control con LR Controlador PID para un Satélite con LR positivo 1/s2 - R(s) Y(s) K (s+z1)(s+z2) s SC es tipo 3 a R(s) y tipo 1 a W(s) s -4 -6 -15 5 -5 4 2 6 -2 -10 jw z=- K  0 Para una ganancia crítica K* positiva en adelante, el sistema de control puede estabilizarse. K  0 Esta propiedad ocurre para cualquier posición de los ceros finitos. Notar en cambio que no se consigue estabilización con ganancias negativas en ninguna posición de los ceros debido la rama en el eje real positivo. Cuando un cero se desplaza a -, se pierde la estabilización completamente.