VELOCITAT D’INVASIÓ EN CASOS DE SOLAPAMENT GENERACIONAL

Presentación del tema: "VELOCITAT D’INVASIÓ EN CASOS DE SOLAPAMENT GENERACIONAL"— Transcripción de la presentación:

1 VELOCITAT D’INVASIÓ EN CASOS DE SOLAPAMENT GENERACIONAL
DANIEL RODRÍGUEZ; TUTOR: JOAQUIM FORT Dept. Física, Universitat de Girona, 17071, Girona apliquem aquí ambdós models per descriure la dispersió del fraxinus excelsior, un arbre d’uns 150 anys de longevitat que madura entorn els 30 anys. Introducció Actualment, l’estudi de fronts de reacció-dispersió té una importància creixent en àmbits com la biofísica i els sistemes complexos. Entre les seves aplicacions hi ha el creixement de tumors, la epidemiologia o les invasions biològiques. La majoria de models computacionals, però, assumeixen que les diferents generacions d’una població mai no se superposen. En canvi, a la realitat aquesta condició no es compleix sempre. Un exemple el trobem al regne vegetal, on degut a la gran longevitat, un individu pot estar reproduint-se al mateix temps que ho fa un dels seus descendents. L’objectiu d’aquest treball ha estat crear un model informàtic que estudiï el cas de generacions que se solapen. Per a aquesta primera versió, el model contempla un espai d’una única dimensió (1D) on s’enregistren valors de densitat de població. Als primers apartats d’aquest pòster es mostra el grau de concordament dels resultats del simulador amb el corresponent anàlisi teòric. Finalment es presenta una aplicació pràctica per al cas del fraxinus excelsior, un arbre que pobla les regions humides del territori europeu. Així, contrastarem els resultats de dos models (generacions solapades i no solapades) i els compararem amb la velocitat d’expansió observada a la realitat. (2) Fig. 1: Representació gràfica de la discretització espacial que utilitza el simulador. La malla a(x) registra els valors de densitat de població dels punts representats. En realitat, es considera que la densitat de població del punt x és representativa de tota la cel·la que l’envolta (àrea ombrejada). Malgrat que estrictament es tractaria de segments (doncs és un simulador que treballa en un espai 1D), s’ha utilitzat la representació en cel·les per aconseguir una visualització més intuïtiva. Fig. 4: Velocitat d’invasió del fraxinus excelsior en funció de la fecunditat segons els dos tipus de simuladors. S’ha utilitzat una longitud de cel·la de 3067m i una persistència de 0,93 (valors mitjos registrats al Regne Unit). La longitud de la cel·la correspon a la component de llarga distància, fonamental en el càlcul de velocitats d’invasió (3). on, els diferents elements regeixen tan l’envelliment com la reproducció de cada any de vida. La demostració explícita de cada terme matricial es fa utilitzant el mètode de Caswell et al. (2), segons el qual s’ha de trobar la solució real (y0) del determinant de M, per tal de trobar la velocitat d’invasió com: El pas clau en cada càlcul consisteix en registrar la densitat produïda durant la reproducció en una segona malla b(x): (1) Observem que aquí intervé la variable R0, anomenada fecunditat. Podem entendre-la com el nombre de llavors (per progenitor i reproducció) que sobreviuran fins l’edat adulta. A l’equació (1) veiem que b(x) s’ha generat a partir de la reproducció de la població a(x) i les cel·les adjacents a(x+1) i a(x-1). Les generacions de l’espècie no se solapen perquè, abans de cada reproducció, eliminem els valors antics de a(x) i els substituïm pels valors b(x) que acabem de calcular. La figura 2 mostra la correspondència entre les simulacions i l’equació teòrica (1) per a diversos valors de la fecunditat R0. (3) A la figura 4 podem observar com la velocitat de generacions solapades supera la de no solapades (excepte per valors grans de fecunditat, doncs totes dues tendeixen a la mateixa asímptota). La fecunditat mitjana del fraxinus excelsior és de 10 llavors/any i la velocitat registrada és de 200m/any(4). Les velocitats predites són de 100 m/any (v. solapada de la figura 4) i 82 m/any (v. no solapada). Malgrat hi ha una diferència notable respecte el valor real; el simulador amb solapament aporta una correcció del 22%, millorant així el resultat. Simulador (1D, solapament generacional) La modificació més important a l’hora de construir un simulador per generacions solapades ha estat la introducció de noves matrius que distingeixin classes d’individus. Així, a part de la densitat de població total, és possible comptar la densitat de població jove (incapaç de reproduir-se) i la madura (que morirà al superar la longevitat característica). Això ens permet realitzar càlculs de freqüència anual, en comptes de generacional, de forma que cada individu pot participar en múltiples reproduccions. La figura 3 mostra com concorda la solució teòrica de l’equació (3) amb les simulacions. Conclusions Fig. 2: Representació gràfica de la velocitat d’invasió (salts per generació) en funció de la fecunditat (producció d’arbres nous per progenitor i generació). La línia vermella representa la velocitat teòrica (2), mentre que els punts negres s’han obtingut amb el simulador. S’ha d’entendre un salt com la distància entre dos nodes de la malla, que pot ser convertida a una distància real quan s’analitzi un procés biològic. En aquest treball hem elaborat dos simuladors per calcular la velocitat d’invasió d’una espècie biològica. Especialment en casos de solapament generacional, els simuladors són molt útils degut al grau de complexitat de les equacions teòriques. Com podem observar a la figura 4 un model de generacions solapades sempre presenta velocitats superiors (excepte per fecunditats molt grans). A més, aquest tipus de model pot suportar fecunditats més petites que la unitat (degut a l’efecte acumulatiu de les reproduccions anuals). En canvi, un model no solapat no funciona en aquests casos. Els models que s’han elaborat són una primera versió del treball. Amb l’objectiu de millorar els resultats, en el futur es preveuen modificacions (espai en 2D, salts a distàncies múltiples...). Generacions no solapades (1D): El primer objectiu en el nostre treball va ser crear un simulador per casos de generacions no solapades. Donat que existeix una àmplia bibliografia(1,2) que proporciona la resolució teòrica de generacions no solapades, ens seria senzill comprovar els resultats del simulador eren satisfactoris. Per entendre el funcionament del programa, hem d’imaginar un espai 1D dividit en cel·les (o segments). Concretament, el simulador utilitza una malla de 1000 punts, a(x), on es registren els valors de densitat de població de cada cel·la. A l’instant inicial, només existeix una certa densitat a la cel·la central de la xarxa a(500). La resta de cel·les són buides. Mitjançant un procés iteratiu, es van succeint els episodis de reproducció i dispersió: considerem que les llavors produïdes poden quedar a la cel·la d’origen (amb probabilitat ρ, anomenada persistència) o ser desplaçades a les cel·les adjacents (probabilitat 1- ρ). La figura 1 explica gràficament la distribució i l’ús de a(x). Generacions solapades (1D) Raonament teòric Per descriure matemàticament un procés de generacions solapades podem utilitzar la teoria de dispersió d’estats específics (2). Segons aquesta, la informació de la demografia i dispersió d’una espècie pot expressar-se de forma matricial. En la nostra aplicació, s’ha d’entendre cada any reproductiu de l’espècie com un estat diferent. Un cas senzill seria el d’una espècie que visqués tres anys, poguent-se reproduir només durant els últims dos anys de vida. En aquest cas, la matriu que definiria el sistema seria: Fig. 3: Comparació de la teoria i el simulador de generacions solapades. L’exemple estudiat correspon al descrit per la matriu (2) (individus que viuen tres anys). Veiem representada la velocitat d’invasió en funció de la fecunditat. Observem que les diferències mai superen el 0.5% del valor de la velocitat, confirmant així el bon funcionament del simulador. Referències (1) H. Caswell and M. G. Neubert, Ecology 81(6), pp (2000). (2) H. Caswell, R. Lensink and M. G. Neubert, Ecology 84(8), pp (2003). (3) J. Fort, Journal of Applied Physics 101, (2007). (4) J. Fort, R. Nathan, G.G. Katul and N. Horvitz, J. Biogeography submitted (2008). Exemple Un model com el que presentem aquí pot ser de gran ajuda si s’estudia la dispersió d’espècies arbòries. En concret,