2/22/2019 SISTEMAS NO LINEALES.

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1 2/22/2019 SISTEMAS NO LINEALES

2 Un sistema de ecuaciones no lineales tiene la forma:
En la siguiente figura se muestra una representación geométrica de un sistema no lineal cuando n=2 2/22/2019

3 Podemos definir el sistema de la siguiente manera:
En notación vectorial el sistema anterior se puede escribir: Donde las funciones son las coordenadas de la función Definición Sea 𝑭:𝑫⊆ ℝ 𝒏 ⟶ ℝ 𝒏 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑭 𝒙 = 𝒇 𝟏 𝒙 , 𝒇 𝟐 𝒙 ,…, 𝒇 𝒏 𝒙 lim 𝒙⟶ 𝒙 𝟎 𝑭 𝒙 =𝑳= 𝑳 𝟏 , 𝑳 𝟐 ,…, 𝑳 𝒏 𝒕 ⟺ lim 𝒙⟶ 𝒙 𝟎 𝒇 𝒊 𝒙 = 𝑳 𝒊 ∀𝒊=𝟏,𝟐,…𝒏 2/22/2019

4 Una función 𝑮:𝑫⊆ ℝ 𝒏 ⟶ ℝ 𝒏 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒇𝒊𝒋𝒐 𝒑∈𝑫. Si G(p)=p.
Definición Una función 𝑮:𝑫⊆ ℝ 𝒏 ⟶ ℝ 𝒏 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒇𝒊𝒋𝒐 𝒑∈𝑫. Si G(p)=p. Teorema Sea ∀𝒊=𝟏,…,𝒏. Supongamos que G es una función continua en 𝑫⊆ ℝ 𝒏 con la propiedad: 𝑮 𝒙 ∈𝑫 ∀𝒙∈𝑫. Entonces G tiene un punto fijo en D. Además si todas las derivadas parciales de las componentes de G están acotadas, es decir: ∃ 𝑲<𝟏 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝝏 𝒈 𝒊 𝒙 𝝏 𝒙 𝒋 ≤ 𝑲 𝒏 ∀ 𝒙 ∈𝑫. Entonces la sucesión definida como a partir de cualquier semilla, converge al único punto fijo 𝒑∈𝑫 𝒚 2/22/2019

5 Y esto tiene convergencia cuadrática si: y asumiendo que
Método de Newton En el caso de una variable el algoritmo adecuado para resolver el problema de hallar el punto fijo de una función fue plantear: Y esto tiene convergencia cuadrática si: y asumiendo que Que efectivamente es el método de Newton Raphson en una variable. Entonces a partir de lo anterior se genera la sucesión: 𝒑 𝒏+𝟏 = 𝒑 𝒏 − 𝒇 𝒑 𝒏 𝒇 ′ 𝒑 𝒏 2/22/2019

6 En el caso n-dimensional aparece una matriz de funciones tales que:
la matriz A debe ser no singular y garantizar la convergencia cuadrática. La matriz que resuelve el problema es la matriz Jacobiana de la función que denotamos como: 2/22/2019

7 Por lo tanto con esta elección resulta:
La iteración se expresa entonces como: Que es el METODO DE NEWTON para sistemas no lineales. Tiene una convergencia cuadrática siempre y cuando se conozca un valor inicial suficientemente preciso y exista En la práctica se evita calcular 𝐽 −1 𝑥 𝑘−1 dado que implica el cálculo de la inversa de una matriz, en todos los casos se prefiere calcular la solución del sistema: 2/22/2019

8 Entonces el problema se resuelve planteando:
Veamos un ejemplo Sea el siguiente sistema no lineal: 2/22/2019

9 La matriz Jacobiana de F es
Definimos Donde: Y La matriz Jacobiana de F es 2/22/2019

10 Tomando como semilla: resulta
Y Resolviendo ahora el sistema Obtenemos: 2/22/2019

11 Continuando el procedimiento
Donde Los resultados para las distintas iteraciones se muestran en la siguiente tabla: 2/22/2019

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13 La cual se usa para determinar 𝑥 2
La mejor matriz 𝐴 1 es: La cual se usa para determinar 𝑥 2 2/22/2019

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15 4) Repetir los pasos 1 a 3 para el nuevo valor 𝑥 1
El método del descenso más rápido para buscar un mínimo local se puede describir intuitivamente como: 2/22/2019 4) Repetir los pasos 1 a 3 para el nuevo valor 𝑥 1

16 2/22/2019 Cuya definición es: La derivada direccional en la dirección de máximo decrecimiento se muestra en el siguiente gráfico

17 Quiere decir entonces que:
2/22/2019 Quiere decir entonces que:

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19 Sea el siguiente sistema:
Ejemplo: Sea el siguiente sistema: Tomamos como semilla a 𝑥 0 = La función g es: 2/22/2019

20 Por lo tanto su gradiente es:
Para la semilla obtenemos: Definimos: Con tenemos: 2/22/2019

21 Tomamos arbitrariamente y tenemos:
Dado que elegimos obteniendo Ahora buscamos el polinomio de grado dos que interpola en los puntos: (0, ), (1, ) y (0.5, ). Obteniendo, mediante diferencias divididas: 2/22/2019

22 Buscamos el mínimo de dicho polinomio: Que se alcanza en: Siendo:
Obtenemos entonces: Y La siguiente tabla muestra el resto de las iteraciones 2/22/2019