Ing° Civil Mario Carranza Liza NUMEROS COMPLEJOS UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA.

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1 Ing° Civil Mario Carranza Liza NUMEROS COMPLEJOS UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

2 Ing° Mario Carranza Liza C R I Q Z LOS CONJUNTOS NUMERICOS N

3 Ing° Mario Carranza Liza 1. DEFINICION Parte Imaginaria Im (Z) Parte Real Re (Z) Es aquel par ordenado de componentes reales denotado por:

4 Ing° Mario Carranza Liza a)Si: a=0Z=(0;b) Complejo Imaginario Puro Cuando la parte real es nula b)Si: b=0Z=(a;0) Complejo Real Cuando la parte imaginaria es nula c)Si: a=b=0Z=(0;0) Complejo Nulo Parte Real e Imaginaria es nula A) Clases de Números Complejos

5 Ing° Mario Carranza Liza a)Forma Binomica o Cartesiana B) Formas de Representar un Números Complejo b)Forma Polar o Trigonométrica c)Forma Exponencial

6 Ing° Mario Carranza Liza I Forma BINOMICA Parte Imaginaria Im (Z) Parte Real Re (Z) Llamada también CANONICA ó CARTESIANA ComplejoParte RealParte Imaginaria

7 Ing° Mario Carranza Liza 2) UNIDAD IMAGINARIA Se da este nombre al radical que se representará con el símbolo i, según la notación de Gauss.

8 Ing° Mario Carranza Liza A) Potencias de la Unidad Imaginaria La Unidad imaginaria elevada a una potencia múltiplo de cuatro ( ) siempre será igual a la unidad. a) La unidad Imaginaria elevada a una potencia múltiplo de cuatro más un residuo, siempre será igual a la unidad imaginaria elevada a ese residuo. b) La suma de las cuatro primeras potencias de i es CERO. c)

9 Ing° Mario Carranza Liza Eje Real Eje Imaginario 3) REPRESENTACION GRÁFICA b a Parte Real Parte Imaginaria afijo

10 Ing° Mario Carranza Liza Eje Real Eje Imaginario 2460-2-4-6 2 4 6 -2 -4 -6 Representar Gráficamente

11 Ing° Mario Carranza Liza Eje Real Eje Imaginario 2460-2-4-6 2 4 6 -2 -4 -6 Representar Gráficamente

12 Ing° Mario Carranza Liza Eje Real Eje Imaginario 2460-2-4-6 2 4 6 -2 -4 -6 Hallar el área determinada por los afijos de: El área es: 32

13 Ing° Mario Carranza Liza 3) RELACIONES ENTRE COMPLEJOS A) IGUALDAD ySean: Si: a = m Real : b = n Imaginaria:

14 Ing° Mario Carranza Liza B) COMPLEJOS CONJUGADOS Sea: Su conjugada es: Re (Z) Im (Z) b a a -b Simétrico

15 Ing° Mario Carranza Liza C) COMPLEJOS OPUESTOS Sea: Su opuesto es: Re (Z) Im (Z) b a a -b Simétrico

16 Ing° Mario Carranza Liza COMPLEJOabCONJUGADAOPUESTO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

17 Ing° Mario Carranza Liza Eje Real Eje Imaginario 2460-2-4-6 2 4 6 -2 -4 -6 Hallar el área determinada por los afijos de: El área es: Su complejo y conjugado

18 Ing° Mario Carranza Liza 3) OPERACIONES CON COMPLEJOS ySean: A) ADICION Re (Z) Im (Z)

19 Ing° Mario Carranza Liza Sean: Suma: Ejercicio 2 Sean: Suma: Ejercicio 5

20 Ing° Mario Carranza Liza Z1Z1 Z2Z2 1 2 3 4 5 6 7 8

21 3) OPERACIONES CON COMPLEJOS ySean: B) SUSTRACION Re (Z) Im (Z)

22 Ing° Mario Carranza Liza Sean: Diferencia: Ejercicio 2 Sean: Diferencia: Ejercicio 5

23 Ing° Mario Carranza Liza Z1Z1 Z2Z2 Diferencia 1 2 3 4 5 6 7

24 Ing° Mario Carranza Liza 3) OPERACIONES CON COMPLEJOS ySean: C) MULTIPLICACION

25 Ing° Mario Carranza Liza Sean: Producto: Ejercicio 2 Sean: Producto: Ejercicio 5

26 Ing° Mario Carranza Liza Z1Z1 Z2Z2 Producto 1 2 3 4 5 6 7

27 Ing° Mario Carranza Liza Multiplicar

28 Ing° Mario Carranza Liza 3) OPERACIONES CON COMPLEJOS ySean: D) DIVISIÓN

29 Ing° Mario Carranza Liza Sean: División: Ejercicio 2 Sean: División: Ejercicio 5

30 Ing° Mario Carranza Liza Z1Z1 Z2Z2 División 1 2 3 4 5 6 7

31 Ing° Mario Carranza Liza 3) OPERACIONES CON COMPLEJOS Sea: E) POTENCIACIÓN

32 Ing° Mario Carranza Liza Sea: Potencia: Ejercicio 2 Sea: Potencia: Ejercicio 5

33 Ing° Mario Carranza Liza Z1Z1 Potencia 1 2 3 4 5 6 7

34 Ing° Mario Carranza Liza 3) OPERACIONES CON COMPLEJOS Sea: F) RAIZ CUADRADA

35 Ing° Mario Carranza Liza Z1Z1 Raiz 1 2 3 4 5 6 7

36 Ing° Mario Carranza Liza II Forma POLAR Parte Imaginaria Im (Z) Parte Real Re (Z) Llamada también TRIGONOMETRICA

37 Ing° Mario Carranza Liza b Re (Z) Im (Z) A) Relación entre la forma Cartesiana y Polar b a Eje Polar Sustituyendo polo Coordenadas Polares Por Trigonometría

38 Ing° Mario Carranza Liza 1) OPERACIONES CON COMPLEJOS Sean: A) MULTIPLICACION también:

39 Ing° Mario Carranza Liza Z1Z1 Z2Z2 Multiplicación 1 2 3 4 5 6

40 Ing° Mario Carranza Liza 1) OPERACIONES CON COMPLEJOS Sean: B) DIVISION también:

41 Ing° Mario Carranza Liza Z1Z1 Z2Z2 División 1 2 3 4 5 6

42 Ing° Mario Carranza Liza 1) OPERACIONES CON COMPLEJOS Sean: C) POTENCIACION también:

43 Ing° Mario Carranza Liza Z1Z1 Potenciación 1 2 3 4 5 6

44 Ing° Mario Carranza Liza 1) OPERACIONES CON COMPLEJOS Sean: D) RADICACION también: Donde: k = 0, 1, 2,..., (n-1)

45 Ing° Mario Carranza Liza Relaciones trigonométricas

46 Ing° Mario Carranza Liza Ejercicio 6

47 Ing° Mario Carranza Liza Ejercicio 5