Lógica Proposicional Trabajo Práctico Nº 1 Lógica Proposicional 1) Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con p: “la comida.

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2 Lógica Proposicional

3 Trabajo Práctico Nº 1 Lógica Proposicional 1) Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con p: “la comida es buena” ; con q: “el servicio es bueno” y con r: “el restaurante es de tres estrellas”. Escribir simbólicamente las siguientes proposiciones : a)- La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas b)-La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas. c)-La comida es buena y el servicio no. d)- No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellas e)- Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de tres estrellas. f)- No es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen servicio. 2) Denotemos con p “el clima es agradable” y con q “vamos de día de campo”. Traducir las siguientes proposiciones al lenguaje coloquial. a) p  q b) p  q c) q  pd)  (p  q)

4 3) Construir las tablas de verdad de los siguientes esquemas proposicionales: a) (p  q)  p c) (q  p)  ( p  q) e) (p  q)  (  r) b) p  (p  q) d)  (r  r) 4) Los valores de verdad de las proposiciones p; q; y r; y s son respectivamente V ; F ; F y V. Obtener los valores de verdad de : i) [( p  q )  r]  sii) r  (s  p) iii) (p  r)  (r   s) 5) Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo. i) (p  q)  r ; r es V ii) (p  q)  (  p   q) ; q es V

5 6) Determinar, si es posible, el valor de verdad de las siguientes proposiciones : a) (p  q)  q si p  q es Falso b) p  (p  q) sip  q es Verdad c) [ (p  q)   q]  q sip es Verdad y  q es Verdad 7) Simplificar las siguientes proposiciones: a)  (  p   q) b)  (p  q)  (  p   q) c)  (p  q) 8) Negar los siguientes esquemas proposicionales y obtener expresiones equivalentes. i)  q  r iii) p  (q  r) ii) (p  q)  r iv)  (p  q)  (  p   q)

6 9) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas : i) ( p  q )  r iii) p  [ p  q ] ii) [ (p  q)  (q  r) ]  (p  r) iv) (p  r)  (r  p) 10) Cierto país está habitado por personas que siempre dicen la verdad o que siempre mienten, y que responderán preguntas solo con “si” o “no”. Un turista llega a una bifurcación en el camino, una de cuyas ramas conduce a la Capital y la otra no. No hay un letrero que diga qué camino seguir, pero hay un nativo, el señor z, parado en la bifurcación. ¿ Qué única pregunta deberá hacerle el turista para determinar qué camino seguir?.

7 PROPOSICION es una expresión de la cual se puede decir que es verdadera o que es falsa “El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes” es una proposición verdadera “Manuel Belgrano compuso el Himno Nacional”es una proposición falsa pero de la expresión: ¿ Vendrás hoy ? no puede decirse que sea verdadera, ni falsa; entonces, ésta no es una proposición. Vamos a denotar a las proposiciones con las letras minúsculas p, q, r, s, t, u... Entonces : p : El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes q : Manuel Belgrano compuso el Himno Nacional 1 a b 1 a b 1 e 1 e 1 c d 1 c d 1 f 1 f 2 a b 2 a b 2 c d 2 c d

8 NEGACION Si queremos negar una proposición debemos anteponer expresiones como No es cierto que...; No sucede que...; o insertar convenientemente en la expresión... NO.... así, la proposición “No es cierto que el Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes” es equivalente a decir : “El Gral. San Martín NO cruzó la cordillera de los Andes” Simbólicamente se antepone a la letra que denota la proposición, el símbolo  ó - también puede usarse   p : No es cierto que el Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes  p : El Gral. San Martín NO cruzó la cordillera de los Andes 1 e 1 e 1 f 1 f 2 a b 2 a b 2 c d 2 c d 1 a b 1 a b 1 c d 1 c d

9 CONECTORES LOGICOS Para vincular las proposiciones vamos a valernos de los conectores lógicos; ellos son:      conjunción disyunción incluyente disyunción excluyente implicación doble implicación Mediante el uso de los conectores y símbolos sintácticos (paréntesis, corchetes, llaves), podemos vincular dos o mas proposiciones entre sí 1 a b 1 a b 1 c d 1 c d 1 e 1 e 1 f 1 f 2 a b 2 a b 2 c d 2 c d

10 Dadas las proposiciones : P : El jueves es el examen q : El viernes viajo Podemos escribir las proposiciones compuestas : p  q “El jueves es el examen o el viernes viajo, o ambas cosas” p  q “El jueves es el examen o el viernes viajo, pero no ambas cosas” p  q “El jueves es el examen implica que el viernes viajo”o “Si el jueves es el examen, entonces el viernes viajo” p  q “El jueves es el examen si y solo si el viernes viajo p  q “El jueves es el examen y el viernes viajo” 1 e 1 e 1 f 1 f 2 a b 2 a b 2 c d 2 c d 1 a b 1 a b 1 c d 1 c d

11 1) a) En la expresión “La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas” Las proposiciones involucradas son p : La comida es buenaq : el servicio es bueno La expresión simbólica es : están vinculadas con el conector o ; debe considerarse que al final se especifica que pueden suceder ambas cosas el conector que corresponde es DISYUNCION INCLUYENTE (  ) 1 b) En la expresión “La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas” Las proposiciones involucradas son p : La comida es buenaq : el servicio es bueno La expresión simbólica es : están vinculadas con el conector o ; debe considerarse que al final se especifica que no pueden suceder ambas cosas corresponde el conector de DISYUNCION EXCLUYENTE (  ) p  q p  q o p  q 1e 1 c-d 1 c-d 1f Proposición Negación Operaciones Ejemplos

12 1 c) En la expresión “La comida es buena y el servicio no es bueno“ Las proposiciones involucradas son: p : La comida es buena q : el servicio es bueno p y  q están vinculadas con el operador y el operador que corresponde ahora es CONJUNCION (  ) pero la proposición “el servicio es bueno” está negada  q La expresión simbólica es : p   q 1 d) En la expresión : No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellas” Las proposiciones involucradas son: p : La comida es buena r : El restaurante es de tres estrellas“ pero el “que tanto“ es la negación de toda la expresión No es negación La expresión simbólica es :  (p  r) en ella, el “como que” sugiere una conjunción ( p  r ) 1e 1f Proposición Negación Operaciones Ejemplos

13 1 e) En la expresión : Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de tres estrellas. Las proposiciones involucradas son : p : La comida es buena q : El servicio es bueno r : El restaurante es de tres estrellas La expresión simbólica es : donde aparecerán involucradas dos proposiciones: la primera llamada antecedente y la otra llamada consecuente Si (antecedente) entonces (consecuente) vamos a detectar ahora cual es el antecedente y cual es el consecuente de la implicación. El antecedente es : Si (tanto la comida como el servicio son buenos) p  q El consecuente es : entonces (el restaurante es de tres estrellas) r ( p  q )  r La forma es : El Si....... entonces...... nos hace pensar en la implicación 1f Proposición Negación Operaciones Ejemplos

14 1 f) En la expresión : No es cierto que si el restaurante es de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen servicio. Las proposiciones involucradas son : p : La comida es buena q : El servicio es buenor : El restaurante es de tres estrellas detectaremos ahora cual es el antecedente y el consecuente de la implicación el consecuente es la conjunción Aparecen aquí tres operaciones la primera es una negación que afecta a toda la expresión que continúa se distingue también una implicación, aunque no aparezca aquí el clásico “si... entonces... “ sino “si....siempre significa.... “ el antecedente es la proposición r : el restaurante es de tres estrellas  [ r  ( p  q) ] p  q : la comida es buena y el servicio es bueno La expresión simbólica es : Proposición Negación Operaciones Ejemplos

15 2 a ) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable” q : “vamos de día de campo” La proposición compuesta p  q es la conjunción de las proposiciones p con q que en el lenguaje coloquial se expresa : “el clima es agradable y vamos de día de campo” La proposición compuesta p  q es la doble implicación de las proposiciones p con q que en el lenguaje coloquial se expresa : “el clima es agradable si y solo si vamos de día de campo” 2 b) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable” q : “vamos de día de campo” 2 c-d 2 c-d Proposición Negación Operaciones Ejemplos

16 2 c) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable” q : “vamos de día de campo” La proposición compuesta q  p es la implicación q implica p que en el lenguaje coloquial se expresa : “ Si vamos de día de campo entonces el clima es agradable” La proposición compuesta  (p  q) es la negación de la doble implicación de las proposiciones p con q que en el lenguaje coloquial se expresa : “No es cierto que el clima es agradable si y solo si vamos de día de campo” 2 d) Si las proposiciones son : p : “el clima es agradable” q : “vamos de día de campo” Proposición Negación Operaciones Ejemplos

17 La primera operación que vamos a tratar es la negación Tablas de Verdad Si p es verdad,  p es falso Si p es falso,  p es verdad p  p VF FV La tabla de verdad de la conjunción de proposiciones se resuelve : Verdadera si ambas proposiciones son verdaderas Falsa si alguna o ambas proposiciones son falsas p q p  q V V VV V FF F FF F F 3–4-5 6666 3 a-b 3 a-b 4444 5 i 5 i 6 i-ii 6 i-ii 3 c-d 3 c-d 3 e 3 e 5 ii 5 ii 6 iii 6 iii

18 La tabla de verdad de la disyunción de proposiciones se resuelve p q p  q V V VV V FV V FF F F verdadera a si alguna o ambas proposiciones son verdaderas falsa si ambas proposiciones son falsas La tabla de verdad de la disyunción excluyente de proposiciones se resuelve p q p  q V V VF V FV V FF F F verdadera si las proposiciones tienen valores de verdad diferentes falsa si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad 3–4-5 6666 3 a-b 3 a-b 3 c-d 3 c-d 3 e 3 e 4444 5 i 5 i 6 i-ii 6 i-ii 5 ii 5 ii 6 iii 6 iii

19 La tabla de verdad de la doble implicación se resuelve : p q p  q V V VV V FF F VF F F verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad falsa la s proposiciones tienen valor de verdad diferente La tabla de verdad de la implicación de proposiciones se resuelve p q p  q V V VV V FF V VF F F verdadera si ambas proposiciones son verdaderas si el antecedente es falso, no importa el consecuente, la implicación es verdadera falsa únicamente con antecedente (p) verdadero y consecuente (q) falso los términos antecedente – consecuente se usan exclusivamente en ésta operación 3–4-5 6666 3 a-b 3 a-b 3 c-d 3 c-d 3 e 3 e 4444 5 i 5 i 6 i-ii 6 i-ii 5 ii 5 ii 6 iii 6 iii

20 Las posibles combinaciones de valores de verdad entre dos proposiciones siempre se agotan en cuatro alternativas ; en caso que estén involucradas mas de dos proposiciones en una operación lógica, para averiguar la cantidad de alternativas posibles, usaremos la expresión : 2 n donde n es la cantidad de proposiciones. Si tengo que operar las proposiciones p ; q y r, las combinaciones posibles serán: 2 3 = 8 pqrresultado VVV VVF VFV VFF FVV FVF FFV FFF 3–4-5 6666 3 a-b 3 a-b 3 c-d 3 c-d 3 e 3 e 4444 5 i 5 i 6 i-ii 6 i-ii 5 ii 5 ii 6 iii 6 iii

21 3 a) Para hacer la tabla de verdad de ( p  q )  p debemos resolver primero p  q pq p  q(p  q)  p VV V V V F F V V F F F V F V V 3 b) Para hacer la tabla de verdad de p  ( p  q ) debemos resolver primero p  q pq p  qp  (p  q) VV V V V F F V V F F F V F V V considerando la columna obtenida como antecedente y la de como consecuente, resolvemos la implicación considerando la columna p  q obtenida como antecedente y la de q como consecuente, resolvemos la implicación y con la columna obtenida buscar el resultado final. 3 e 3 e 3 c-d 3 c-d Negación - Conjunción Negación - Conjunción Implicación Doble Implicación Doble Implicación Disyunción Excluyente Disyunción Excluyente

22 3 c) para resolver (q  p)  ( p  q) debemos resolver por separado las implicaciones (q  p) y ( p  q) ; y luego buscar el resultado final hallando una implicación entre esos dos resultados parciales p q V V VV V FF V VF F F V V V F V V V F q  pp  q(q  p)  (p  q) 3 d) Para resolver  ( r  r ) debemos resolver primero ( r  r ) ; cuando r (antecedente) es verdad, r (consecuente) también es verdad, idéntica situación cuando r es falso. r r V F VV FV F F y luego negar ( r  r ) r  r  ( r  r ) 3 e 3 e Negación - Conjunción Negación - Conjunción Implicación Doble Implicación Doble Implicación Disyunción Excluyente Disyunción Excluyente

23 3 e) En ( p  q )  (  r ) aparecen involucradas tres proposiciones,la tabla de verdad debe contemplar todas las posibles configuraciones de valores de verdad entre las tres proposiciones. También  r p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F  r F V F V F V F V Luego se resuelve ( p  q ) p  q V V F F F F F F y finalmente ( p  q )  (  r ) ( p  q )  (  r ) V V F V F V F V Negación - Conjunción Negación - Conjunción Implicación Doble Implicación Doble Implicación Disyunción Excluyente Disyunción Excluyente

24 4) Para resolver este ejercicio podemos confeccionar una tabla de verdad solamente para los valores asignados a las proposiciones i) [(p  q)  r]  s se resuelve: p q r s V F F V p  q V (p  q)  r V [(p  q)  r]  s V ii) r  (s  p) se resuelve: p r s V F V s  p V r  (s  p) V iii) (p  r)  (r   s) se resuelve: p r s V F V s F p  rr   s VF (p  r)  (r  s) F Negación - Conjunción Negación - Conjunción Implicación Doble Implicación Doble Implicación Disyunción Excluyente Disyunción Excluyente

25 Otra forma de resolverlo es usando tablas de verdad 5 i) Para saber el valor de verdad de 5 i) Para saber el valor de verdad de (p  q)  r ; cuando r es V Debemos considerar que la operación principal es una implicación, donde el consecuente ( r ) es verdad. Repasamos la tabla de verdad de la implicación: p q p  q V V V V F F F V V F F V Vemos que la implicación es falsa solo cuando el consecuente es falso y el antecedente verdadero. Si nuestro consecuente r es V, no importa si p  q es verdad o falso pqr Analizamos solamente cuando r es verdad V V V V V V V F V V V F ahora resolvemos como cualquier tabla de verdad p  q V F V F (p  q)  r V V V V (p  q)  r es verdad Negación - Conjunción Negación - Conjunción Implicación Doble Implicación Doble Implicación Disyunción Excluyente Disyunción Excluyente 5 ii 5 ii

26 Para saber el valor de verdad de 5 ii) Para saber el valor de verdad de (p  q)  (  p   q) cuando q es V Otra forma de resolverlo es usando tablas de verdad Debemos considerar que la operación principal es una doble implicación, donde las expresiones involucradas son (p  q) y (  p   q) si q es V cualquier disyunción donde esté q, será verdad, luego (p  q) es V pq pp qq Analizamos solamente cuando q es verdad V V V F y p puede ser V V  p   q F F al ser q “V” ; cualquier conjunción donde esté, será falso, al ser q “V” ;  q es F cualquier conjunción donde esté  q, será falso, Las expresiones (p  q) y (  p   q) tienen diferentes valores de verdad luego : (p  q)  (  p   q) es falso p  q(p  q)  (  p   q) F F F F luego (  p   q) es F verdadó falso V V Negación - Conjunción Negación - Conjunción Implicación Doble Implicación Doble Implicación Disyunción Excluyente Disyunción Excluyente

27 6 i) p  q es Falso solamente cuando p es V y q es F En (p  q)  q ; si p es V (p  q) es V nos queda una implicación de antecedente verdadero y consecuente falso entonces (p  q)  q es falso 6 ii) si p  q es Verdad puede pasar que: p sea V y q sea V p sea F y q sea V p sea F y q sea V p sea F y q sea F p sea F y q sea F Para hallar p  (p  q) confeccionamos tabla de verdad con las tres las alternativas posibles p q V V F V F F (p  q) V F V p  (p  q) V F V Los valores de verdad no son los mismos para todas las situaciones entonces no es posible determinar el valor de verdad con los datos proporcionados Negación - Conjunción Negación - Conjunción Implicación Doble Implicación Doble Implicación Disyunción Excluyente Disyunción Excluyente 6 iii 6 iii

28 6 iii) sabiendo que p es Verdad y  q es Verdad para hallar [ (p  q)   q]  q hacemos tabla de verdad para esos valores p q  q V V sabiendo que  q es verdad F hallamos p  q p  q V luego hacemos (p  q)   q (p  q)   q V finalmente resolvemos finalmente resolvemos [ (p  q)   q]  q [ (p  q)   q]  q F Resulta [ (p  q)   q]  qFalso Negación - Conjunción Negación - Conjunción Implicación Doble Implicación Doble Implicación Disyunción Excluyente Disyunción Excluyente

29 Para simplificar proposiciones apelaremos frecuentemente a : las Leyes de De Morgan “La negación de una disyunción de proposiciones es equivalente a la conjunción de la negación de cada una de las proposiciones” Simbólicamente  ( p  q)   p   q pq  p  qp  q  (p  q)  p   q  ( p  q)   p   q VVFFVFFV VFFVVFFV FVVFVFFV FFVVFVVV Podemos verificar la con una tabla de verdad de la doble implicación Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble implicación Si la doble implicación de las dos expresiones resulta, las expresiones son equivalentes Si la doble implicación de las dos expresiones resulta verdad en cualquier caso, las expresiones son equivalentes 7 a-b 7 a-b 8 i-ii 8 i-ii 7 c 7 c 8 iii 8 iii 8 iv 8 iv

30 Simbólicamente  ( p  q)   p   q “La negación de una conjunción de proposiciones es equivalente a la disyunción de la negación de cada una de las proposiciones” pq  p  qp  q  (p  q)  p   q  (p  q)   p   q VVFFVFFV VFFVFVVV FVVFFVVV FFVVFVVV Podemos verificar la con una tabla de verdad de la doble implicación Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble implicación Si la doble implicación de las dos expresiones resulta, las expresiones son equivalentes Si la doble implicación de las dos expresiones resulta verdad en cualquier caso, las expresiones son equivalentes 7 a-b 7 a-b 8 i-ii 8 i-ii 7 c 7 c 8 iii 8 iii 8 iv 8 iv

31 Otra equivalencia que nos conviene considerar es: “La implicación es equivalente a la negación del antecedente disyunción el consecuente” pq  p pp  q  p  q(p  q)   p  q VVFVVV VFFFFV FVVVVV FFVVVV Simbólicamente p  q   p  q Podemos verificar la con una tabla de verdad de la doble implicación Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble implicación Si la doble implicación de las dos expresiones resulta, las expresiones son equivalentes Si la doble implicación de las dos expresiones resulta verdad en cualquier caso, las expresiones son equivalentes 7 a-b 7 a-b 8 i-ii 8 i-ii 7 c 7 c 8 iii 8 iii 8 iv 8 iv

32 pq p  q q  p (p  q)  (q  p) p  q (p  q)  [(p  q)  (q  p)] VVVVVVV VFFVFFV FVVFFFV FFVVVVV Otra equivalencia que nos conviene considerar es: “La doble implicación es equivalente a la conjunción de las implicaciones recíprocas” Simbólicamente p  q  (p  q)  (q  p) Podemos verificar la con una tabla de verdad de la doble implicación Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble implicación Si la doble implicación de las dos expresiones resulta, las expresiones son equivalentes Si la doble implicación de las dos expresiones resulta verdad en cualquier caso, las expresiones son equivalentes 7 a-b 7 a-b 8 i-ii 8 i-ii 7 c 7 c 8 iii 8 iii 8 iv 8 iv

33 7 a)  (  p   q) La negación de una disyunción de proposiciones  es equivalente a la conjunción  de la negación de  p y de  q (  p) (  q) (en este caso las proposiciones de la disyunción son (en este caso las proposiciones de la disyunción son  p ;  q )  Pero la negación de la negación de una proposición es la afirmación Así el resultado final es  p  q p  q 7 b)  (p  q)  (  p   q)  la negación afecta solamente al primer paréntesis (  p   q) eliminamos una de las expresiones (  p   q) pues las dos son idénticas eliminamos una de las expresiones (  p   q) pues las dos son idénticas (propiedad de idempotencia)  p   q Así el resultado final es  p   q  (  p   q)  y el resto de la operación se escribe igual 7 c 7 c

34 7 c)  (p  q) tenemos la negación de una doble implicación   [ (p  q)  (q  p)] recuerde que recuerde que la doble implicación equivale a la conjunción de las implicaciones recíprocas   (p  q)   (q  p)   [(  p)  q]   [(  q  p)]  [  (  p)   q]  [  (  q)   p]  ( p   q)  ( q   p) Ley de De Morgan la implicación equivale a la disyunción de la negación del antecedente con el consecuente por De Morgan

35 8) Para negar cualquier expresión, escribimos la expresión que queremos negar 8 i) La encerramos entre paréntesis,  q  r y anteponiendo el signo de negación, negamos todo lo que está comprendido en el paréntesis.  (  q  r ) ( )  viene ahora la tarea de transformar la expresión obtenida buscando una expresión equivalente (leyes de De Morgan)   (  q )   r  q   r (p  q)  r La encerramos entre corchetes, y anteponiendo el signo de negación, negamos todo lo que está comprendido en el corchete viene ahora la tarea de transformar la expresión obtenida buscando una expresión equivalente  [ (p  q)  r ]   [    (p  q)  r ]   [    ( p  q ) ]     r  ( p  q )     r  p  q     r []  8 ii) Para negar 8 iv 8 iv 8 iii 8 iii

36 8 iii) escribimos la expresión que queremos negar p  (q  r) La encerramos entre corchetes, y anteponiendo el signo de negación, negamos todo lo que está comprendido en el corchete viene ahora la tarea de transformar la expresión obtenida buscando una expresión equivalente  [ p  (q  r ) ]   p   (q  r)   p   [ (  q )  r ]   p  [  (  q )   r ] []    p  ( q   r ) aplicamos ley de De Morgan La implicación es la disyunción de la negación del antecedente con el consecuente 8 iv 8 iv

37 8 iv) escribimos la expresión que queremos negar La encerramos entre corchetes,  ( p  q )  (  r   q ) y negamos todo lo que está comprendido en el corchete  [  ( p  q)  (  r   q ) ] []  viene ahora la tarea de transformar la expresión obtenida buscando una expresión equivalente La doble implicación es la conjunción de las implicaciones recíprocas   { [  ( p  q)  (  r   q ) ]  [ (  r   q )   ( p  q) ] }  La implicación es la disyunción de la negación del antecedente con el consecuente   { [ ( p  q)  (  r   q ) ]  [  (  r   q )   ( p  q ) ] }    [ ( p  q)  (  r   q ) ]   [  (  r   q )   ( p  q ) ]    [ ( p  q)   ( r  q ) ]   [ ( r  q )   ( p  q ) ]   [  ( p  q)  ( r  q ) ]  [  ( r  q)  ( p  q ) ] p  q     p  q

38 Tautología o Ley Lógica Tautología o Ley Lógica: es una proposición compuesta, cuyos valores de verdad son siempre verdad, cualquiera sean los valores de verdad de las proposiciones que la componen Contradicción. Si los valores de verdad de la proposición compuesta son falsos, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que lo componen, la proposición es una Contradicción. pqp  qp  p  q V V F F V F V F VVVFVVVF V V V V p  p  q Es tautología pq  pP  q  (p  q)  (p  q)   p VVFFVVFF VFVFVFVF FFVVFFVV VFVVVFVV FVFFFVFF F F F F 9 i 9 i 9 ii 9 ii 9 iii-iv 9 iii-iv

39 en este caso ( p  q )  r pqr p  q ( p  q )  r VVV VVF VFV VFF FVV FVF FFV FFF se realiza la tabla de verdad correspondiente 9 i) Para determinar si una proposición es ley lógica ó tautología, si todos los valores de verdad de la columna de los resultados fueran verdaderos, la proposición sería tautología V V F F F F F F V F V V V V V V en la segunda fila aparece un valor de verdad falso en la segunda fila aparece un valor de verdad falso esta proposición que tiene valores de verdad verdadero y valores de verdad falso (según sea p y/ó q) es una contingencia 9 iii-iv 9 iii-iv 9 ii 9 ii

40 pqr p  qq  r(p  q)  (q  r)p  r[ (p  q)  (q  r) ]  (p  r) VVV VVF VFV VFF FVV FVF FFV FFF toda la columna de resultados es verdad 9 ii) se realiza la tabla de verdad correspondiente VFVVVFVVVFVVVFVV V V F F V V V V V F F F V F V V VFVFVVVVVFVFVVVV V V V V V V V V [ (p  q)  (q  r) ]  (p  r) es tautología 9 iii-iv 9 iii-iv

41 9 iii) si p  [ p  q ] es tautología también podemos resolver con tabla de verdad pqp  qp  [ p  q ] V V F F V F V F V F F V V F F F La doble implicación es verdad cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad (las dos falsas ó las dos verdad) La conjunción es falsa si una de las proposiciones es falsa (o ambas) esta proposición que tiene valores de verdad verdadero y valores de verdad falso (según sea p y/ó q) 9 iv) 9 iv) (p  r)  (r  p) prp  rr  p(p  r)  (r  p) V V F F V F V F VFVVVFVV V V F V V F F V La implicación es falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso esta proposición tiene valores de verdad verdadero y valores de verdad falso (según sea p y/ó q) p  [ p  q ] es c cc contingencia (p  r)  (r  p) es c cc contingencia

42 10) El viajero se encuentra frente a dos caminos desea ir a la Capital, y el único que puede indicarle el camino correcto es el Sr. Z (que parece no estar muy dispuesto) Contesta las preguntas solo con “si” o con “no” y solo una pregunta y si es mentiroso, miente siempre... ¿ o siempre dice la verdad... ? Es un buen comienzo los caminos, al de la izquierda llamo camino A y al de la derecha camino B Es un buen comienzo diferenciar los caminos, al de la izquierda llamo camino A y al de la derecha camino B A B Supongamos que el camino A es el correcto si el viajero señala el camino A y pregunta: “Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?” Si es de los que dicen la verdad, como es el camino correcto responderá... SI ! Porque si el viajero hiciera la pregunta “¿ este es el camino que lleva a la Capital ?” piensa decir la verdad... SI ! SI SI

43 A B frente a la misma pregunta : Señalando el camino A “Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?” Si el Sr. Z es de los que mienten siempre dirá... SI ! él sabe que el camino señalado es el correcto, pero el viajero no pregunta por el camino que lleva a la Capital, sino por una posible respuesta a la pregunta “¿este es el camino que lleva a la Capital?”, recién entonces el Sr. Z dirá “no”. Pero tampoco perderá esta oportunidad de mentir y decir “si” sabiendo que luego, a la pregunta responderá “no” NO ! si el viajero preguntara (que no puede hacerlo) “¿este es el camino que lleva a la Capital?”, él piensa mentir... si el viajero preguntara (que no puede hacerlo) “¿este es el camino que lleva a la Capital?”, él piensa mentir... Aunque los dos pensaron cosas diferentes, dijeron idéntica respuesta “SI” Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso ó de los que dicen la verdad, responde SI, cuando se señala el camino correcto SI SI

44 Señalando ahora el camino B (camino equivocado) A B frente a la misma pregunta : “Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?” Si el Sr. Z NO ! es de los que dicen la verdad siempre dirá... porque si el viajero hiciera la pregunta “¿este es el camino que lleva a la Capital?”, piensa decir la verdad... Pero si el Sr. Z es mentiroso.... NO NO

45 A B frente a la misma pregunta : señalando el camino B “Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?” dirá... NO ! Z sabe que el camino señalado es el correcto, pero el viajero no pregunta por el camino que lleva a la Capital, sino por una posible respuesta a la pregunta “¿este es el camino que lleva a la Capital?”, recién entonces dirá “si” (para mentir). Pero tampoco perderá esta oportunidad de mentir y decir que va a responder (la verdad),que el camino no leva a la Capital”” SI ! si el viajero preguntara (que no puede hacerlo) “¿este es el camino que lleva a la Capital?”, él piensa mentir... si el viajero preguntara (que no puede hacerlo) “¿este es el camino que lleva a la Capital?”, él piensa mentir... Aunque los dos pensaron cosas diferentes, dijeron idéntica respuesta “NO” Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso o de los que dicen la verdad, responde NO si el camino señalado no es el correcto NO SI

46 Como la respuesta a la pregunta Es la misma, independientemente o del que miente... “Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?” Así nuestro viajero, que pudo formular una sola pregunta que descifra el enigma, encontró el camino correcto Y hacia la Capital se encamina, eso sí, algo perturbado por el esfuerzo que se trate del que dice la verdad...