GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Presentación del tema: "GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA"— Transcripción de la presentación:

1 GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
U.D * 1º BCT GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

2 ECUACIÓN NORMAL Y PUNTO-PENDIENTE
U.D * 1º BCT ECUACIÓN NORMAL Y PUNTO-PENDIENTE @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

3 Apuntes 1º Bachillerato CT
ECUACIÓN NORMAL VECTOR PERPENDICULAR A UNA RECTA Sea la recta de ecuación Ax + By + C = 0 El vector director de dicha recta es u = (-B, A) Un vector v perpendicular a dicha recta será aquel cuyo producto escalar con u de cero. Operando: u.v = -B.A+A.B = 0 Luego un vector perpendicular a la recta es v(A, B) Ejemplo: Sea r: 4x – 5y + 7 = 0 El vector director es: u(5, 4) Un vector perpendicular será: v(-4, 5) Pues u.v = (5,4).(-4,5) = = 0 y r v u P(x,y) x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

4 Apuntes 1º Bachillerato CT
ECUACIÓN NORMAL Sea la recta de ecuación Ax + By + C = 0 Sea un vector perpendicular v(A, B) Sea un punto cualquiera de r, Q(a,b) Sea un punto general de r, P(x,y) Tenemos: v.PQ = 0 Por ser v y PQ vectores perpendiculares. (A, B).(x – a, y – b) =0 A(x – a)+B(y – b) = 0 Que es la ecuación normal de la recta. Si se desarrolla queda: Ax + By – Aa – Bb = 0 Dividido entre el módulo de v queda: A B C r: x y = 0 √(A2+B2) √(A2+B2) √(A2+B2) y r P(x,y) v u P(a,b) x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

5 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplo 1 Hallar la ecuación normal y la normal canónica de r: 3x – 4y + 8 = 0 Un punto de la recta es el Q(0, 2) y un vector perpendicular v(3, -4) 3(x – 0)+(-4)(y – 2) = 0  3x – 4(y – 2) = 0 Que es la ecuación normal de la recta. El módulo del vector v es: √(A2+B2) = √(9+16) = 5 r: x – y = 0 , r: 0’6x – 0’8y + 1’3 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación normal y la normal canónica de r: 8x + 6y – 10 = 0 Un punto de la recta es el Q(-1, 3) y un vector perpendicular v(8, 6) 8(x + 1) + 6(y – 3) = 0 El módulo del vector v es: √(A2+B2) = √(64+36) = 10 r: x y – = 0 , r: 0’8x + 0’6y – 1 = 0 que es la canónica. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

6 ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE
Partimos de la ecuación continua de la recta: x - xo y - yo = y despejamos y - yo a b b. ( x - xo ) b y – yo = ; y - yo = ( x - xo ) a a Como m = b / a es la pendiente de la recta, tenemos: r: y - yo = m. ( x - xo ) Ecuación que, para su empleo, exige conocer la pendiente de la recta, m y un punto A(xo , yo ) por donde pase. Pero si nos dan un vector director v = (a,b), sabemos que m = b / a @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

7 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplo 3 Hallar la ecuación punto pendiente de una recta si su ecuación continua es: x y + 5 = De la ecuación dada obtenemos un punto A de la recta y su vector director: A(4, - 5) y v=(3, 2) La pendiente es m= b/a = 2 / 3 La ecuación punto-pendiente será: y - yo = m.( x – xo )  y + 5 = (2/3). ( x – 4) Ejemplo 4 Hallar la ecuación punto-pendiente de una recta cuya ecuación general es x + y = 0 En la ecuación general dada: A= 1, B=1 y C=0 La pendiente m de la recta es m = A / (-B) = 1 / (-1) = -1 Un punto de la recta es el A(3, -3)  y + 3 = - 1. ( x – 3) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

8 Apuntes 1º Bachillerato CT
ECUACIÓN EXPLÍCITA (1) ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA Si partimos de la ecuación general: A.x + B.y + C = y despejamos y: - A.x + C y = = ( - A / B).x + ( C / B) B Renombrando coeficientes queda: r: y = m. x + n Pues m = - A / B y n = C / B, que es la ordenada en el origen. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

9 Apuntes 1º Bachillerato CT
ECUACIÓN EXPLÍCITA (2) ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA Si partimos de la ecuación punto-pendiente y despejamos y, queda: y - yo = m. ( x - xo )  y = m. x – m.xo + yo Llamando n a la expresión de valor conocido (– m.xo + yo ) queda: r: y = m. x + n @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

10 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplo 5 Hallar la ecuación explícita de una recta si su ecuación continua es: x y + 3 = Operamos para despejar y, quedando: 3.(x - 1) = - 2.(y + 3)  3.x – 3 = - 2.y – 6  2.y = - 3.x – 3 y = (-3 / 2).x + (- 3 / 2) , donde m = - 3 / 2 y n = - 3 / 2 Ejemplo 6 Hallar la ecuación explícita de una recta cuya ecuación paramétrica es: x = t y = 3 – 5.t Despejando t en ambas: t = x , t = (y – 3) / (- 5) Igualando ambas: x = (y – 3) / (- 5)  x = y – 3 Despejando finalmente y queda: y = - 5.x , donde m = - 5 y n = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT