LA HISTORIA DE UNA RAZÓN

Presentación del tema: "LA HISTORIA DE UNA RAZÓN"— Transcripción de la presentación:

1 LA HISTORIA DE UNA RAZÓN

2 Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro se mantenía constante, independientemente del tamaño de la misma. Euclides fue el primero en demostrar que las razones así definidas en distintas circunferencias forman proporción, es decir, es una cantidad constante que no depende del tamaño. Dicho de otra forma, el diámetro y la longitud de una circunferencia son magnitudes proporcionales. La razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.

3 Con el tiempo, a esta razón, que muchos siglos más tarde se demostró
que era irracional, la llamaron π (pi). En geometría euclidiana π (pi) es la razón (L/D) entre la longitud de una circunferencia=L y su diámetro=D.

4 donde C es la longitud de la circunferencia y D el diámetro.
Una primera referencia de su valor viene dada por la siguiente cita bíblica: "Hizo el Mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo y de cinco codos de altura; y ceñido todo alrededor de un cordón de treinta codos" (I Reyes 7,23).  Traducido al lenguaje algebraico: π = C/D = 30/10 donde C es la longitud de la circunferencia y D el diámetro.

5 Así, pues, por definición:
Letra griega pi. Símbolo adoptado en 1706 por William Jones y popularizado por Leonhard Euler. 1 3 2

6 Esta frase nos da las diez primeras cifras decimales de π:
En definitiva, cuenta cuántas veces cabe el diámetro d de una circunferencia en la longitud L de su perímetro. L Esta frase nos da las diez primeras cifras decimales de π:          Con 1 hilo y 5 mariposas, se pueden hacer mil cosas. = 3,1415… d d/10

7 Dicho de otra manera es la logitud de una circunferencia de diámetro 1

8 Así nos aproximamos al valor de

9 El método de Arquímedes
Arquímedes fue el primero que científicamente calculó el número π mediante aproximaciones sucesivas utilizando un método geométrico (ver figura), dando como valor: 223/71 < π < 220/70 es decir 3, < π < 3,142857 Con sólo unos 40 decimales del número pi se podría calcular la longitud de una circunferencia que abarcara a todo el universo visible, con un error menor que el radio de un átomo de hidrógeno.

10 Demostración gráfica de la fórmula que permite calcular el área del círculo
Círculo desplegado para conformar un triángulo

11 = Así, pues, la razón entre el área de un círculo de radio r y el
área de un cuadrado de lado r también es = r Es decir, el área del círculo es πr2

12 La cuadratura del círculo
Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático consistente en hallar —sólo con regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado. La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX, momento en que se demostró que este problema no tiene solución, lo que es equivalente a demostrar qe π es un número trascendente. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la "cuadratura del círculo" cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver. Como se muestra en la figura adjunta, cuadrar un círculo equivale a construir π mediante regla y compás, es decir, a demostrar que π es euclideano.

13 Las tentativas en la cuadratura del círculo han dado lugar a proximaciones geométricas de π
Según muestra la figura, partiendo del radio OF (dato) de la circunferencia a cuadrar se halla su mitad (punto A) y luego la mitad de esta, es decir la cuarta parte del radio, de modo que se obtenga un segmento igual a 5/4 del radio (segmento OB) y tomando como radio este segmento se traza una circunferencia con el mismo centro (O) de la circunferencia de partida: los puntos de corte de esta circunferencia con los ejes de coordenadas (C, D E y F) nos dan los cuatro vértices del cuadrado solución. Que da como aproximación de π Aproximación no tan pobre si se tiene en cuenta que se remonta al antiguo Egipto.

14 MÁS APROXIMACIONES GEOMÉTRICAS DE
                                                                                                                                                                                                                                   Método de Kochanski: Se dibuja una circunferencia de radio R. Se inscribe el triángulo equilátero OEG. Se traza una recta paralela al segmento EG que pase por A, prolongándola hasta que corte al segmento OE, obteniendo D. Desde el punto D y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la circunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BC es aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia. Demostración (suponiendo R = 1)                                                                                                                                                                                                          Sustituyendo en la primera fórmula:                                                                                                                                                           En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann probó que π es un número trascendente, lo que implica que es imposible cuadrar el círculo usando regla y compás, resolviendo completamente el problema. Las pruebas usuales usan álgebra (teoría de Galois por ejemplo) y variable compleja. ¡Una aproximación muy buena de π!

15 EN RESUMEN Es un número irracional trascendente y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente: π ≈ 3, Aún se siguen calculando decimales de π:

16 en la esfera

17 El volumen de una esfera es 2/3 del volumen del cilindro circunscrito a la esfera. Su base es un círculo del mismo diámetro que la esfera. Su altura tiene la misma medida que dicho diámetro:                                                 donde V es el volumen de la esfera y r el radio. Es posible calcular el volumen de una esfera con un margen de error aproximado al 0.04% sin utilizar el valor π

18 Arquímedes también demostró
que el área de la esfera es dos tercios respecto al del cilindro. Entonces:                                                                                                       

19 Además, π tiene varias representaciones en fracción continua:

20 Problema resuelto por Euler en 1735 :
en el Análisis Matemático Ahora veamos la forma en la cual se obtiene el valor del número π de una manera mucho más exacta que el valor que podamos obtener llevando a cabo mediciones con una cinta métrica. En los cursos superiores de matemáticas universitarias, se descubre mediante las herramientas del cálculo infinitesimal que el número pi puede ser calculado mediante una serie aritmética infinita como la serie Gregory-Leibniz:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              El problema de Basilea consiste en encontrar la suma exacta de los inversos de los cuadrados de los enteros positivos, esto es, la suma exacta de la serie. Problema resuelto por Euler en 1735 :                                                                                                           

21 El podium de los IRRACIONALES MÁS FAMOSOS